沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷特训09解直角三角形在二次函数中的应用(原卷版+解析)

特训09解直角三角形在二次函数中的应用

一、解答题

I.已知顶点为例(-2,-1)的抛物线经过点。(0,3),与轴交于、西点(点在点的左侧).

1

O1X

⑴求这条抛物线的表达式；

(2)联结AC、MC,求的正切值；

(3)点在班的延长线.匕如果/MPC=45。，求点的坐标.

2.如图，在直角坐标系xOy中，勉物线)，=内2-2仆+3过。。3),顶点为。,

~=7＞与x轴交于48两点(A在3左侧)，对称轴交工轴为。，联结C8.

»4

⑴求抛物线的解析式，并求出尸的坐标；

⑵若对称轴交C8于点E,延长OE交8尸于点尸，求cos/EFB的值；

(3)点G为抛物线上的一点，过G作GO_L/&•于点Q，若篝=g，请求出G的坐标.

3.如图，二次函数丁=-，7储+2的+3的图象与x轴交于A,8两点(点A在点8的左侧)，与y轴交于点C,

顶点为。.其对称轴与线段BC交于点£,与元轴交于点R连接AC,BD,已知cotNACO=3.

⑴求，〃的值:

(2)求NC3。的正切值；

(3)若点P在线段8。上，且NF尸8=NC48,请直接写出点P的坐标.

4.如图，在平面直角坐标系xO.v中，抛物线y=-(x-〃2)2+Z与x轴相交于原点。和点4(4,0),点人(3,b)

(I)求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；

(2)求tanZA8O的值；

(3)点。在抛物线上，如I果N8O£)+N8=90。，求点。的坐标.

a

5.在平面直角坐标系中，抛物线，=-1/+版+。与丁轴交于点40,3),与x轴的正半轴交于点例5,0),点

。在线段。8上，且。。=1,联结AO,将线段A。绕着点D顺时针旋转90。，得到线段过点£作直线

/_Lx轴，垂足为H,交抛物线于点尸.

(1)求抛物线的表达式；

⑵联结DF,求cotNED产的值；

⑶点尸在直线/上，且求点P的坐标.

6.如图，在平面直角坐标系1。)，中，已知二次函数)，=办2+队+c的图像经过点A(0,一3)、8(1,0)、

C(3,0),联结AB、AC.

oX

⑴求这个二次函数的解析式；

⑵点。在线段人C上，联结BD,若S^ABD:SABCD=3:2,求tanNOBC的值；

(3)点E在该二次函数图像的对称轴上，当AC平分N84E时，求点E的坐标.

7.如图，已知在平面直角坐标系xO.v中，抛物线产经过点A(-2,0).与点C(0,4).与"山

的正半轴交于点艮

(1)求抛物线的表达式；

DF

⑵如果D是抛物线.匕一点,AD与线段BC相交于点且AD将四边形ABDC分成面积相等的两部分，求.

AE

的值；

(3)如果尸是x轴上一点，ZPCB=ZACO,求NPCO的正切值.

8.在平面直角坐标系xQy中，已知抛物线＞以+6(。工0)经过点4(4,0),顶点为H(2,4),对称

轴，'与x轴交于点凡点C、P是抛物线上的点，且都在第一象限内.

(1)求抛物线的表达式；

(2)当点C位于对称轴左侧，NCHB=NCAO,求点。的坐标；

(3)在(2)的条件下，已知点P位于对称轴的右侧，过点P作PQ〃C//,交对称轴/于点Q且Spg：S碎=1：5,

求直线PQ的表达式.

9.如图，在平面直角坐标系X。),中，直线1y=-;x+2与x轴、,地分别交于点A、8.抛物线y=-g/+加:+c

经过点A、8顶点为C.

(1)求该抛物线的表达式；

(2»各抛物线沿y轴向上平移.平移后所得新抛物线顶点为。.如果/8/»〕=/OA从求平移的距息：

(3)设抛物线上点M的横坐标为也将抛物线向左平移3个单位，如果点M的对应点。落在043内，求〃?

的取值范围.

10.在平面直角坐标系中，抛物线)，=；/+云-1与x轴交于点A和点仪点A在“轴的正半轴上)，与)，

轴交于点C,已知tan/CAB=；.

⑴求顶点2和点8的坐标；

(2)洛抛物线向右平移2个单位，得到的新抛物线与)'轴交于点M,求点M的坐标和尸例的面积；

(3)如果点N在原抛物线的对称轴上，当RWV与/3C相似时，求点N的坐标.

H.如图，在平面直角坐标系X0Y中，直线丁=x-3分别交汇轴、》轴于A、8两点，抛物线1y=f+Zu-+c

⑴求抛物线的表达式；

(2)求—84。的正切值；

(3)点。在抛物线上，若NPAC=NBAD,求点。的坐标.

(4)连接BC,延长。4交％轴于点E,点。是直线y=x-3上的动点，如果△Q8C与△AEO是相似三角形,

求点。的坐标.

12.已知直线，=反+〃经过点八(-2,0),8(1,3)两点，抛物线y二aP-4袱+从与已知直线交于C、。两点(点

C在点。的右侧)，顶点为P.

y

oX

（i）求直线）仁心+〃的表达式；

（2）若抛物线的顶点不在第一象限，求〃的取值范围；

（3）若直线。P与直线A8所成夹角的余切值等于3,求抛物线y=ax2-4ax-¥b的表达式.

77

13.如图，已知直线），=-§x+2与x轴交于点A,与），轴交于点8,抛物线y=--x2+bx+c^HA.8两点.

⑴求这条抛物线的表达式；

（2）直线x=/与该抛物线交于点C,与线段/W交于点。（点/）.与点A、B不重合），与x轴交于点石，联结

AC、BC.

z，DEAE.小人…

①当二时，求/的值；

CDOE

②当C。平分NAC8时，求二48c的面积.

14.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=a£+/，x+2G（aH（））经过％轴上的点4-2,0）和点8（点A在

点8左侧）及,，轴上的点C,经过8、C两点的直线为），=当…，顶点为。，对称轴与x轴交于点Q.

(1)求抛物线的表达式；

(2)连接AC8C.若点P为直线8。上方抛物线上一动点，过点〃作PE〃y轴交8c于点E,^PFVBC

于点E过点/3作8G〃AC交)，轴于点G.点从K分别在对称轴和)，轴上运动，连接

①求！Q石厂的周长为最大值时点P的坐标；

②在①的条件下，求尸，+“K+且KG的最小值及点H的坐标.

2

15.如图，抛物线y=-/+2》+3与x轴相交于A8两点，与)，轴交于点C,顶点为。，抛物线的对称轴与

4c相交于点区与x轴相交于点F.

(1)求线段DE的长.

(2)联结0E,若点G在抛物线的对称轴上，且跖G与..CO£相似，请直接写出点G的坐标.

(3)设点P为x轴上的一点，且ND4O+N力PO=Na,tana=4时，求点尸的坐

标.

16.如果抛物线到+G与力的顶点关于原点对称，则称它们是关联抛物线.已知

y=ax2+b/+q经过点(*9)且与y轴交于点C((),5),对称轴为直线x=l.

(1)求抛物线,的关联抛物线力的解析式；

(2)记抛物线片与x轴交点为A、8(A在3左侧)，与)，轴交于点£,顶点坐标为区求tanZA/^的值;

(3)在为的对称轴上找一点G,使tan/E8G=；,求点G的坐标.

17.已知：y=；d+bx+c经过点A（-2,-1）,B（0,-3）.

⑴求函数解析式；

⑵平移抛物线使得新顶点为玖〃?,〃）（〃>0）.

①倘若S^0B=3,且在x=々的右恻，两抛物线都上升，求攵的取值范围；

②P在原抛物线上，新抛物线与）轴交于Q,N8PQ=120时，求。点坐标.

18.如图，在平面直角坐标系火力中，抛物线），=。-+8.一|经过点它的对称轴与工轴相交于点8.

（1）求点3的坐标；

（2）如果直线y=x+l与此抛物线的对称轴交于点C、与抛物线在对称轴右侧交于点。，且NBDC=ZACB,

求此抛物线的表达式；

（3）在（2）的条件下，若尸为抛物线上一点，且NPDC=NZ）8C+45。，直接写出点尸坐标.

19.如图，在平面直角坐标系中，抛物线产-『+姒十。与x轴相交点A（-1,0）和点6（3,0）,与），轴相交

于点C,抛物线的顶点为点。，对称轴交x轴于点E,点Q为线段。上上一点，联结4c

(1)求这条抛物线的表达式及对称轴；

5

⑵当NAC。:NQOE时，求”空■的值；

^,ACO

(3)当ZACO=ZQOC时，判断四边形ACQO的形状：

(4)(附加题)^ZACO=^ZAQEmt求N8Q£的余切值;

⑸(附加题)当NAC0=NC'8Q时，判断ABCQ的形状.

特训09解直角三角形在二次函数中的应用

一、解答题

1.已知顶点为“(-2,-1)的抛物线经过点C(O,3),与轴交于、两点(点在点的左侧).

1■

*

o~\X

⑴求这条抛物线的表达式；

⑵联结AC、MC,求ZACM的正切值；

(3)点在区4的延长线上，如果NMPC=45。，求点的坐标.

【答案】(l)y=V+4x+3

吗

(3)P(-3-V6,0)

【分析】(1)设抛物线解析式为y=+2)2-1,把C(0,3)代入解析式，确定a值即叽

(2)设直线MC与x轴的交点为点F,且设直线MC的解析式为¥=6+〃，把C(0,3),

”(-2,-1)代入解析式，确定F的坐标，过点F作少6八AC于点G,根据0A=OC得到等

腰直角三角形47F,根据勾股定理，确定AC=3攻，AG—GF力AF—h迎,

2224

计算CG=AC—AG=3&-逑=逑.根据正切的定义tanZACM=其计算即可.

44CG

(3)过点M作MN/A8于点N,则N(-2,0),从而得到乂4=-2-(-3)=I=MW=0-(-1),

得到等腰直角三角形AMV,得到N24M=NC4O=45。，ZE4M=ZC4P=135°,结合已知

和外角性质，得到NM?C=45o=NCB4+NAPM=/C40=NCQ4+NACQ,得证

ApAM

ZAPM=^ACP,从而证明一APA/s/CP,列比例式嗓=黑，求得代入计

ACAP

算出小，计算P0即可碓定坐标.

【解析】(1)因为顶点为〃(-2,-1)的抛物线经过点。(0,3),

设抛物线解析式为y=a(x+2「-1,

把C(0,3)代入解析式，

得3=々—1,

解得a=l,

所以抛物线的解析式为y=(x+2-—1即)，=f+叙+3.

(2)设直线MC与x轴的交点为点F,且设直线MC的解析式为)，=去+〃，把C(0,3),

/、.一.//_24+〃=_1

”(-2,-1)代入解析式，得〃=3，

=2

解得八寸

b=3

所以直线解析式为y=2x+3,

所以F的坐标为(-±0),

因为),=12+4.v+3,

所以0=42+4X+3,

解得X=T,％2=-3,

所以点A(-3,0),B(T,0),

所以Q4=OC,

所以NO4C=NO6=45,

过点F作尸6人AC于点G,

所以等腰直角三角形4GF,且4F=-?-(-3)=|,

所以46=6产=也从产=①乂3=逑，

2224

根据勾股定理，得40=配工=3及，

所以CG=AC-AG=3a—^=^.

44

根据正切的定义tan/4CM=0L逑+述」.

CG443

(3)过点乂作加2_/48于点N,则N(—2,0),

所以帅=-2-(-3)=1=内加=0-(-1),

所以等腰直角三角形4W呼，AM二五，

所以NNAM=ZCAO=45°,

所以NWW=NC4P=135。，

所以NMPC=45°=ZCPA+ZAPM=ZCAO=ZCPA+ZACP,

所以NAPM=NACP,

所以..APMSIACP,

,APAM

所cri以就=病，

所以左=AC-AM=3万&=6，

解得尸4=",=一后(舍去)，

所以P0=3+G，

因为点P在x轴的负半轴上,

所以点P(-3-G,0).

【点睛】本题考查了抛物线的解析式，对称性，三角形杓似的判定和性质，勾股定理，等腰

直角三角形的判定和性质，一次函数的解析式，抛物线、一次函数与x轴的交点坐标，熟练

掌握待定系数法，三角形相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键.

2.如图，在直角坐标系屹\，中，抛物线产”2_2,代+3过C(0,3),顶点为P,

—与x轴交于AB两点(A在B左侧)，对称轴交X轴为。，联结C8.

»4

(1)求抛物线的解析式，并求出产的坐标;

(2)若对称轴交C4于点E,延长0E交3。于点尸，求cosNEFB的值；

(3)点G为抛物线上的一点，过G作GO_L/8c于点Q,若除=当,请求出G的坐标.

【答案】⑴丁一+2x+3,P(l,4)

3

(2)cosZ.EFB=—

(3)C

【分析】(1)根据二次函数的顶点坐标的关系即可求解:

(2)构造直角三角形，将放在直角三角形中，利用锐角三角形函数的关系即可求解;

(3)分类讨论，根据动点请运动情况分为四种情况，图形结合分析(具体过程见详解)，即

可求出答案.

(1)

解：•・•抛物线)，="-2仆+3过C(0,3),顶点为人&

y?4

-2a.\2a-4a2,

"一丁=],y=-----------=3-a,

2ap4a

为顶点,

••・P(L3-a),

・・文」

•力4

,•红=户=1a=-\

yP3-a4

AP(L4),入抛物线得：＞，=-9+21+3,

故答案是：y=-x2+2x+3；P(l,4).

(2)

解：根据(I)得，画图如下,

抛物线y=T、2x+3与X轴的两个交点坐标分别是4T0),仅3,0),

•・•直线展过点及C,

，直线展的解析式是：y=-x+3,

;对称轴交5c于点E,

/.£(1,2),且P(L4),

・•・直线G的解析式是：y=2x,直线鱼的解析式是：)，=-2x+6,

3

联立解得：x=p

，尸过户作于〃，过。作。于"，如图所示,

•・・B(3,0),即是等腰三角形，

7

IIgafc1

:•s•Vw»<*1=-OB・FH=-x3x3=—，KBF=—B,V*S()H,=-OM-BF

.八A，6石□a口3百

••OM=----->JI.OF=BF=------,

52

3

故答案是：cos/EFB=3.

(3)

解:如图所示，过点G作G”_LA8交8C延长线于“，过点。作QK±GH于点K,作QT，x

轴于点了，

二•点G在抛物线了=-丁+2]+3上，点〃在直线展y=r+3上,

・,•设6&-产+2,+3),则HQ,T+3),

*/^ABC=45°，G〃J_x轴，

・・・N8”G=45。，GQJ.8C,即一GQ"是等腰直角三角形，NGQK=90。,

:.QK1GH,点K是GH边上的中点，即QK=GK=HK,

.J-『+2,+3-，+3),即小

/.K/,----------------------

2

・•・可知。的纵坐标是一/+/+6(t1-t-r+r+6>

根据）,=r+3得,

22-，

VQTLx轴，且NABC=45。

且Q7=ST=_:+/+6

iZ)2

在RtBQT中，BQ=®QT=^(T°：+6),

在RtK(2G中，===

..GB_s/5

・GQ~~2"

设GB=#)a»GQ=2a,

VGQ2+BQ2=GB2,

•••(2a)2+BQ2=(6a)2,

22

/.BQ=a,BQ=a,GQ=2BQ=2af

・•・&2-引)=2'&(1+/+6),解方程得,

22

,Q4

"3,G=--,

J

当r=3时，如下图所示,

点B,G,Q三点重合，不符合题意,

乙=3要舍去；

・♦・/＞3要舍去；

4

当/＜一§时，如卜图所示,

不符合题意，

4

・・・，＜-3要舍去,

*/^ABC=45°,GH_Lx轴，

・・・4”G=45。，GQLBC,UP,.GQH是等腰直角三角形，NGQK=90°,

：,QK上GH,息K是GH边上的中点，即QK=GK=HK,

,4p「p2+2p;3-p+3)即小,若£斗

，可知。的纵坐标是土产根据"一+3得，0（勺弋P+6）,

VQTLx轴，且NA8C=45。

产M，且。7=*=—p'p+6,

72)2

在Rt.BQT中，BQ=6QT=＞(-P2+。十，),

p2-py_y/2(3p-p2)

在RtKQG中，GQ=6QK=6\p_

22

・・GB后

•~GQ~~'

设GB二片,GQ=2b,

VGQ2+BQ2=GB2,

A(2b)2+BQ2=(45b)2,

/.BQ2=h2,BQ=a,GQ=2BQ=2b,

d-~~—~~~-2xd—(-»解方程得，

22

Pi=3(舍去)，P2=T(舍去)，即一：＜，＜3,不存在会=乎;

32

4

综上所述，，=-葭

工点GQ,-/+2,+3）的纵坐标是,一（一g）+2x-g卜3=一装,即G（一g，一9}

（413、

故答案是：G.

I»"）

【，点:睛】本题主要考查动点在二次函数中的几何变换，解题的关键是图形结合分析题意，对

二次函数图像的性质，一次函数图形的性质，直角二角形中锐角二角形函数的埋解和掌握.

3.如图，二次函数5=-m/+2〃犹+3的图象与文轴交于人，8两点（点A在点8的左测），

与y轴交于点G顶点为》其对称轴与线段交于点E,与工轴交于点F,连接AC,BD,

已知cotZACO=3.

⑵求NC8。的正切值；

(3)若点P在线段8。匕且NF尸8=NC4B,请直接写出点。的坐标.

【答案】(1)〃?=1

(2)tanZ.CBD=—

【分析】(1)由题意易得点。(。,3),则有。4=：OC=1,即4(7,0),然后代入函数解析式

进行求解即可；

(2)连接C。，由(1)可知二次函数解析式为,，=-/+2%+3,则有8(3,0),0(1,4),然后

可得bC=3夜,CD=&,BD=26，进而问题可求解；

(3)分别过点尸作PG_LO8于点G,过点/作切_LH?于点”，由(1)(2)可知

or

DF=4,BF=2,BD=2\/5»tanZ.CAB=-----=3,然后可得

OA

sinZFBD=—=^,tanZFBD=—=2,"=空左=生叵，进而根据解直角三角形

BD5BFBD5

可进行求解.

【解析】(1〉解：由题意可令x=0,代入二次函数y=-/收2+2〃?x+3得；＞=3,

・•・C(O,3),

oc

VcotZACO=3,即cot/ACO=—=3,

OA

：.OA=-OC=\,

3

・••A(—l,0),

•••一〃/—2〃[+3=0,

解得：m=\t

（2）解：连接C7）,如图所示:

・•・顶点。(1,4),

当丁=。时，则一f+2x+3=0,

解得：％=7/2=3,

・•・8(3,0),

•・,C(0,3),

ABC=^(3-O)2+(O-3)2=3x/2,BD=^/(3-l)2+(0-4)2=2>/5,

CD=7(l-0)2+(4-3)2=及，

/.BC2+CD2=20=BD2.

・•・ABCD是直角三角形，即/BCD=90°,

tanZ.CBD—=—；

BC3

(3)解：分别过点p作PGJ_04于点G,过点r作加_1_尸8于点从如图所示:

.•,/_DF2岳，EDC_DF、“BFDF4也

••sin/FBD=---=----,tanNFBD==2,FH=--------=----♦

BD5BFBD5

•：/FPB=NCAB,

tanZ.FPB=tanZ.CAB=3，

;=/南=哈，BH=益标=号

，BP=BH+PH=—

3

，PG=BPsin/FBD=-,BG=———=-

3tanNFBD3

7

・•・OG=OB-BG=-

3

【点睛】本题主要考查二次函数与几何的综合及解直角三角形，熟练掌握二次函数的性质及

三角函数是解题的关键.

4.如图，在平面直角坐标系屹)，中，抛物线y=-(x-“)2M与x轴相交于原点。和点以4,0),

点43,勿在抛物线上.

(1)求抛物线的表达式，并写出它的对称轴;

⑵求【an/A8O的值;

(3)点。在抛物线上，如果N38+N8=90。，求点。的坐标.

【答案】⑴3=4+4%,直线42

(2)3

⑶呜，/或呜，一争

【分析】(1)将点0(0,0)和点次4,0)代入抛物线解析式，即可求出6和％的值，即得出其

表达式，再根据其性质即可直接得出对称轴；

(2)过点A作AC_Lx轴F点C,由(1)所求表达式可求出A点坐标，即得出AC和0c的

长，进而可求出8C的长，再根据正切的定义即可求出tanN/W。；

(3)由(2)可求tan/84C=生=1.又易证N88=N8AC,即得出tan/30。=1.分

AC33

类讨论：①当点。在4轴上方时，设抛物线对称轴与x轴交于点F,0D与抛物线对称轴交

EF1

于点E,即得出tanNEO/u^uq,从而可求出E点坐标，进而可求出直线。。的解析式,

OF3

再联立直线。。的解析式和抛物线解析式，求出解，即得出。点坐标；②当点。在x轴下

方时，由①同理可求出此时D点坐标.

(1)

将点。(0,0)和点8(4,0)弋入〃『+左，得:

0=-(0-w)2+k

0=-(4-/??)2+k'

m=2

解得：

&=4

:.抛物线的表达式为)，=-(-V-2)2+4=-X2+4X,

，它的对称轴为直线x=2.

(2)

•••点43,b)在抛物线上,

**•b=-32+4x3=3,

・•・4(3,3),

AAC=3,OC=3.

*：B(4Q),

・・・O8=4,

・••BC=OB-OC=4-3=\t

Ar3

・••tanNABO=tan/4BC=—=—=3；

BC1

（3）

BC1

由（2）可知tan/BAC=—.

AC:3

,/ZBOD+ZB=90°,ZBAC+ZB=90°,

，/BOD=/BAC,

：.tanZBO/9=-.

3

分类讨论：①当点。在x铀L方时，如图，设抛物线对称轴与x轴交于点忆与抛物线

对称轴交于点E,

FF1

・•・tanZEOF=——=-.

OF3

TO尸=2,

EF=-

3

2

:.£（2，§）.

设直线。。的解析式为：y=ar（4W。）,

21

A-=2a,解得：«=",

33

・•・直线。。的解析式为：y=

联立

），=-x2+4x

②当点。在x轴下方时，如图,

由①同理可求出此时直线。。的解析式为：y=

13

y=-%x,=—

联立，3,解得：卜二，•3

[y—+4xt>'=°13'

•・•畔今.

11111313

综上可知，如果/次加+"=90。，点。的坐标为（7,5）或（1,-7）.

【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，解直角三角形，一次

函数图象与二次函数图象的交点问题等知识，较难.利用数形结合和分类讨论的思想是解题

关键.

5.在平面直角坐标系中，抛物线y=-Tf+A'+c与）'轴交于点40，3），与工轴的正半轴交

于点以5.0）,点。在线段07?上，且OQ=1,联结4D,将线段4D绕着点£）顺时针旋转90。，

得到线段。E，过点E作直线轴，垂足为〃，交抛物线于点尸.

⑴求抛物线的表达式；

（2）联结。F,求cotN£Z）r的值：

（3）点。在直线/上，且NEOP=45。，求点夕的坐标.

【答案】=3+£19X+3；

(2)cotZEDF=2；

⑶(4,6)或(4,-万).

【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题；

(2)证明再根据全等三角形的性质得==1,DH=OA=3,可得

E(4,l),尸(4,3),求出/7/=W/=3,则NO/77=45。，DF=3近，过点E作EK_LOF于K,

根据等腰直角三角形的性质可得KF=KE=Vi,则。K=0尸-K"=2上,在RlADKE中，根据

余切的定义即可求解；

(3)分两种情形①点尸在点E的上方时；②点P在点E的下方时，根据相似三角形的判定

和性质即可解决问题.

(1)

解：把点40,3),点仇5,0)代入)，=-?2+饭+。，

八f-15+5/>+c=0

得：一，

。=3

；12

h=—

解得：5,

c=3

719

「•抛物线的解析式为y=~x2+(x+3；

JJ

(2)

解：如图：

ZAOD=ZADE=ZDHE=90°,

/.ZAZX)+ZCZ4£>=90°,ZAZX)+ZEDH=90°,

4OAD=4EDH,

:AD=DE,

^OAD^AHDE(MS),

:.EH=OD=\,DH=OA=3,

「.£(4,1),

7io

・过点E作直线/_Lx轴，垂足为〃，交抛物线y=++3于点F.

JJ

/(4,3),

:.FH=3,

:.FH=DH=3,

.4DHE=%。，

"DFH=45°,DF=3,2，

过点E作EKJ.DF于K,

EF=3-\=2,

:.KF=KE=yf2，

:.DK=DF-KF=2yf2,

CKo/o

在RtADKE中，cotZFDF=—=牛=2；

KEV2

(3)

解：①当点P在点E的上方时，

Z£DP=HH=45。，NDEP是公共角，

:./SEDFsgpD,

EFED

..——=——,

EDEP

:m=EFEP，

设P(4,y),则EP=y-l,

又EF—2，ED=力?+1?=V10»

.".IO=2(>-I),解得y=6,

...点尸的坐标为(4,6)；

②当点尸在点E的下方时，

/EDP=/DFP=45。,NO尸产是公共角，

..APED^^PDF,

PEDP

：.——=——,

PDFP

;.Df^=PEPF，

设P(4,y),则EP=l-y,FP=3-y,。尸=历了，

3

•-9+r=(l-y)(3->,)>解得y=

点"的坐标为(4,-5)；

综上所述，当NED尸=45。时，点/，的坐标为(4,6)或(4.-6.

【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的应用、旋转变换、全等三角形的判定和性

质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，三角

形相似的判定及性质.

6.如图，在平面直角坐标系xQv中，已知二次函数>=加+队+。的图像经过点A(0,-3)、

B(1,0)、C(3,0),联结A3、AC.

~O»x

⑴求这个二次函数的解析式；

(2)点。在线段AC上，联结8D,若SMBD：SABCD=3：2,求lan/。8c的值；

⑶点E在该二次函数图像的对称轴上，当AC平分N84E时，求点E的坐标.

【答案】⑴产一一+44_3

7

(3)E(2,-y)

【分析】(1)将人、B、C的坐标直接代入产加+公+c即可；

(2)过点D作DHtBC于H,在中，设4C边上的高为力，求出AD与。C的比，证

ACHD^ACOA,可求出CH,DH,8H的长，可根据正切定义求出结果；

(3)求出抛物线对称轴为直线x=2,设直线户2与x轴交于点G,过点A作4/垂直于直线

x=2,垂足为尸，证NQ4C=NOC4=45°,NMC=/OC4=45。，推出NB4O=NE4尸，证

LOAB^/XFEA,即可求出AF的长，E/的长，EG的长，即可写出点E的坐标.

(1)

解：将4(0,-3)、B(1,0)、C(3,0)代入广加+历+c,

c=-3

得，a\b\c=0,

9a+3b+c=0

a=-\

解得，<〃=4,

c=-3

・•・此抛物线的表达式是产-x2+4x-3；

(2)

解：过点。作O〃_L〃C于〃，

在△ABC中，设AC边上的高为〃，则

AD，b

S^Bl)_2_AD_3

S{^BCD1DC»h002

2

又平行于y轴,

:•△CHDS^COA,

.CHDC_DH_2

'~OC~~AC~~OA~~5

)A

：.CH=DH=-x3=~,

55

64

：,BH=BC-CH=2--=-,

55

/.(anZDBC==—

BH2

解：・・・)=-/+4.。3=-(x-2)2+1,

工对称轴为直线x=2,设直线x=2与x轴交于点G,过点A作4尸垂直于直线A-2,垂足为F,

图2

•・Q=0C=3,/AOC=90°,

：,ZOAC=ZOCA=45°t

TA厂平行于彳轴，

物C=NOC4=45。，

〈AC平分N8AE,

：,ZBAC=ZEAC,

VZBAO=ZOAC-ABAC,ZEAF=ZFAC-ZEAC,

：.ZBAO=ZEAF,

:ZAOB=ZAFE=90°,

:.丛OABs丛FEA,

•..-O-B-=--E-F=一\,

OAAF3

VAF=2,

皿，

27

，EG=GF-EF=AO-EF=3一一=-,

33

：.E(2,-g).

【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质等，解

题关键是能够由题意作出适当的辅助线构造相似三角形.

7.加图，已知在平面直角坐标系r0\，中，抛物线产-d+〃计「经过点斗(一2,0).与点C

(0,4).与x轴的正半轴交于点B.

(I)求抛物线的表达式；

(2)如果。是抛物线上一点，4。与线段BC相交于点E,且47)将四边形ABOC分成面积相

等的两部分，求D写F的值：

AE

(3)如果P是x轴上一点，ZPCB=ZACO,求NPC。的正切值.

【答案】⑴抛物线解析式为尸品-2+x+4；

6DE_1

⑵元一a

(3)NPCO的正切值;或3.

【分析】(1)利用待定系数法可求得抛物线解析式:

(2)设。(m・3标+什4),根据A。将四边形ABDC分成面积相等的两部分可得S呼6

ABDC=SXA0C+S&D0C£AB0D=2SXABD,可得关于〃的方程，解方程求得。的值，可得

点。的坐标，过。作。/〃AB,可得ADE尸S/^AEB,根据相似三角形的性质即可求解：

(3)分两种情况：根据锐角三角函数以及等腰直角三角形的性质即可求解.

(1)

-2-2/?+c=0b=\

解:由题意可得＜，解得

c=4e=4

:,抛物线解析式为尸y«+户4；

(2)

解：连接OQ,

•・•抛物线解析式为产-g/+x+4,

令y=0，则0=-y/+x+4,解得x=・2或4,

，A(-2,0),B(4,0),

：.AB=6,

设Q(a,-a2+a+4),

•••A。将四边形A8。。分成面积相等的两部分，

S西边影ABDC=S2AOC+S〉DOC+SABOD=2SAABD,

••二X2X4+!X4a+!X4(-^-a2+i/+4)=2x，6(-a2+«+4),

222222

化简得/-a-6=0,解得。尸-2(舍去),02=3f

:.D(3,-),

2

可过D作DF//AB交BC于凡

:.ADEFsAAEB,

.DEDF

4k+in=0

设直线BC的解析式为产区+〃?，把B点和C点坐标代入得

m=4

攵二一1

解得/,

直线/的解析式为产-x+4,

*：DF//AB,D(3,-),

2

53

当)=不时，-^=7，

22

:.F(-,|),

22

3

:・DF=j

2

3

:・DE=DF=3J；

~AE~^B~~6~4

(3)

解：①当点。在点B左侧时，如图，作PM_LBC于点M,

•:B(4,0),C(0,4).

•：OB=OC,BC=4叵，

：.ZOCB=ZOBC=45%

：.NBPM=NOBC=45。,

♦：/PCB=/ACO,

：.tanZPCB=tanZACO,

PMOA\

•t•=="™，

CMOC2

：.CM=2PM=2BM,

VBCM72,

：・CM+BM=3BM=46,

：.BM=PM=—,

3

Q

:・BP二&BM=q,

84

；・OP=4-BP=4--二一，

33

4

AtanZPCO=OP_3_1；

0C=I=3

②当点P在点8右侧时，如图，作BN工BC交PC于息N,作N"J_x轴于H,

,/N080450,

1800-ZCBN-ZOBC=45°,

:・BH=NH,

•：4PCB=/AC0,

tanZPCB=tanNACO,

.BNOA\

••---=---=一,

BCOC2

:・BC=2BN,

•:BC=4亚,

:・BN=2叵,

：.BH=NH=2,

/.OH=OB+BH=4+2=6,

:・N(6,2),

65+f=2

设直线CN的解析式为产sx+3把N点和C点坐标代入得J,=4,

解得「二一5,

/=4

，直线CN的解析式为尸.gx+4,

当)=0时，0=-gx+4,解得月⑵

:,P(12,0),

0P12

/.tanZPCO=-----=——=3；

0C4

综上所述，NPCO的正切值:或3.

【点睛】本题考查的是二次函数综合题，考查了二次函数与一次函数的交点问题、三角形的

面积，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数以及等腰直角三角形的性质等相关知识，其

中（3）,要注意分类求解，避免遗漏.

8.在平面直角坐标系工。丁中，已知抛物线丁=依2+公+6<4/0）经过点4（4,0）,顶点为

H（2,4）,对称轴/与x轴交于点从点C、。是抛物线上的点，且都在第一象限内.

⑴求抛物线的表达式；

（2）当点。位于对称轴左侧，ZCHB=ZCAO,求点C的坐标；

⑶在（2）的条件下，已知点尸位于对称轴的右侧，过点P作尸Q〃C”，交对称轴/于点Q,

且Sp°Q：S,AQ=1：5,求直线PQ的表达式.

【答案】⑴y=-/+4x

⑵C（L3）

2

（3）），=工一§或尸工+1

【分析】（1）根据题意将她物线表达式设为顶点式，将A、，坐标代入即可求出；

（2）过点C向对称轴和/轴作垂线，设C点坐标为（加,-〃『+4〃?），根据角度相等，所以正

切值相等，分别在两个直角三角形中构造线段等比例关系，以小表示各线段长度，代人等

比例式中，求出“即可；

（3）分别作OM、AN垂直于PQ,OM、AN即为两个三角形的高，因为底PQ相同，所以

两三角形面积比等于OM与AN的比，延长PQ交x轴「点。，则OM〃AN,得到三角形

相似，继而得到O"与人N的比等于0。与人。的比，从而求出。点坐标，因为PQ〃CH,

先求出C4表达式为），-*+2,则可将-Q的表达式设为，，-x+力形式，将。点坐标代入即

可求出表达式.

【解析】（1）•・•抛物线经过点A（4,0）,顶点为“（2,4）,

工设y=a（x-2）-+4,

/.6/（4-2）2+4=0,

解得:

:.y=-(x-2)'+4=-x2+4.r,

，抛物线的表达式为y=-x2+4x.

(2)分别过点。作CG_L”4,CV_Lx轴，垂足为点G、F,

则：CG=2-m,HG=4-i-m2+4rn)=m2-4m+4,CF=-nT+4m>AF=4—tn,

,/ZCHB=ZCAO.

/.tanZ.CHB=tanZ.CAO,

.CG_CF

'~HG~~AF

2-m-nr+4〃?

m2-4/zz+44-m

解得〃?=1,

经检验，是方程的解,

则-nr+46=3»

・・・C点坐标为(1,3).

(3)延长尸。交入轴于点O.分别过点。、A作直线P。的垂线，垂足分别为点M、N.

•・•点C坐标为(1,3),点月坐标为(2,4),

k+b=3

・•・设直线C”的表达式为＞，=收+"将C、〃坐标代入得＜

2k+b=4

解得A