沪教版2024-2025学年七年级上册同步提升讲义第08讲整式的乘法(十二大题型)(学生版+解析)

第08讲整式的乘法（十二大题型）

03知识清单

一、单项式的乘法法则

单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它

们的指数作为积的一个因式.

【方法规律】

（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数昂的乘法法则的综合应用.

（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的

乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数暴的乘法，按照“底数不变，指数相加”

进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.

（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.

（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.

二、单项式与整式相乘的运算法则

单项式与整式相乘，就是用单项式去乘整式的每一项，再把所得的积相加.

即利（a+b+c）=ma+mb+me.

【方法规律】

（1）单项式与整式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.

（2）单项式与整式的乘积仍是•个整式，项数与原整式的项数相同.

（3）计算的过程中要注意符号问题，整式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.

（4）对混合运算，应注意运算J顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.

三、整式与整式相乘的运算法则

整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式的每一项，再把所得的积相力口.即

（4+〃）（加+〃）=am+an+bm+bn.

【方法规律】整式与整式相乘，仍得整式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个整式的项数之积.

整式与整式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：

(x+«)(x+Z?)=x2+(a+〃)x+Q〃.

【即学即练1】计算：

⑴"X2〃'

(2)丁>(2。2-9)

(3)(m+3)(m-l)

(4：.(2x+y)(2-r-y)

【即学即练2】计算：

(1)^X2(2X+1)；

(2)f—a2b-3ab2-3ab；

13>

(5W2.4A

⑶「5刃［§孙2-2xy+-^J.

(4；3X-(2X2-X+1)-X-(2X-3)-4(1-X2).

【即学即练3】先化简，再求值：

⑴〃7(〃-4)一〃(〃7-6),其中2m-3n=-4；

⑵V(3—x)+x(k—2x)+1,其中％=3.

04题型精讲

题型L单项式乘以单项式

【典例1].计算：

(1)--«2\-6ab)；

⑵3/)，21-2不，,J；

⑶3〃21一(〃3)2+2〃6.

【典例2】计算:

(2)(-2x2).(-3xy)\

⑶(-2个2/.(_3孙".

(4j-6a%(x_y)3加

题型2：利用单项式的乘法求字母或代数式的值

【典例3].先化简，再求值：（-2〃%）（-加其中。=2,〃=1.

【典例4].若（一5。」斤1）（2//）=一io//,则m-n等于〔）

A.-3B.-1C.1D.3

2l53

【典例5].若（am''bn'）•（c^n'krm）=abt则/〃+〃的值为（）

A.1B.2C.3D.-3

题型3:计算单项式乘以整式

【典例6].（1）计算：一白.（一2/+4）；

（2）计算：4.口・（一3），）+2），（6与，+2）；

（3）计算：,ga可（4"⑹;

(4)计算：x2(x-I)-x(x2-x-l).

【典例71计算:

(1)(5""7?-4〃/〃)(一2〃?〃)；

⑵(一2〃)2.(3.2-々-1)；

3

⑶(-3x»-淳*21

【典例8].计算下列各式:

(1)(一3封(4/y-2孙);

(2)(―3a/i)•(—2〃/厂+cib—2)•

(rF12户(2件2一1产力I]

(4)3/(a%?-2a)-4a(-:

(5)2/・(3/-54；

(2、1

(6)—cib9'-lab'—cib.

13)2

题型4：计算单项式乘以整式的求值问题

【典例9].化简求值：2x(x-5y)-3y(2y-3x),其中广于y=-\.

【典例101先化简，再求值：—(4+3)712+2》一]),其中产+1=2.

【典例11].若f+ar=x(x+4)，则。的值为()

A.2B.3C.4D.8

【典例12].已知/(工一。)+跳工+〃)=产+5工一6,当K为任意数时该等式都成立，则。廿一1)+&。+1)的值

为()

A.17B.-7C.-1D.-17

题型5:利用单项式乘以整式求字母的值

【典例13].若计算(3/+2ax+l).(-3x)-4/的结果中不含有炉项,则〃的值为()

二3

A.B.0C.2D.

32

【典例14].如果（2加+3/+〃*）（-4/）的结果中不含工的五次项，那么机的值为（）

A.1B.0C.-1D.--

4

【典例15].计算：一5冷，（2），+1—8）=-10A>，2-5/），口，□内应填写（）

A.-\OxyB.-5x2yC.+40D.+40冲

题型6:单项式乘以整式的综合应用

【典例16].某同学在计算-3/乘一个整式时错误的计算成了加法，得到的答案是3-片1,由此可以推

断该整式是（）

A.4x2-x-1B.x2-x-\C.-lx2-x-1D.无法确定

【典例17].一个长方体的长、宽、高分别为2a2、3a、3a+2,它的体积等于（）

A.18/+12〃B.18/+6/C.36/D.6/+18/

【典例18].如图，两正方形并排在一起，左边大正方形边长为。右边小正方形边长为力，则图中阴影部

A.a2+b2—abB.-cr-\—b2—ah

222

C.—a2+—b2-abD.a2+b2--ab

222

【典例19].8张如图1的长为“，宽为b（“>〃）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCQ

内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示，如果左上角与右下角的阴影部分的面积始终保持相等，则“为

满足（）

AD

图1图2

A.a=2bB.a=3bC.a=4bD.a=5b

题型7：计算整式乘以整式及求值问题

【典例20].计算下列各式:

⑴(3x—2)，)(6x-4y)；

(2)(a^-b)[3a-2b)-b[a-b)；

(3)(y+2)(y-2)-(y-l)(y+5)；

(4)(。-劝(a?+ab+b2^.

【典例21].计算：

⑴(34+2)(4〃_1)；

(2)(3///-2n+2)(3/??+2n+2)；

⑶()」2乂)，2+2y+4)—(y2+])(、,一]).

【典例22].化简求值:(x-1)(?-3x+2)-x(x-l)(x-3),其中x=l.

【典例23].已知代数式(依-3)(21+4)-丁-〃化简后，不含有炉项和常数项.

⑴求a,b的值.

⑵求-ct(2a+b)的值.

题型8:(x-p)(x・q)型整式乘法

【典例24].若。一3）（工+5）=/+依+》，则。为（）

A.8B.2C.-2D.-15

【典例25].（4+8）（工-4）=丁+〃a+〃，则〃？，〃的值为（）.

A.4,32B.4,-32C.-4,32D.-4,-32

【典例26】.【阅读材料】代数式大小的比较

我们通常用作差法比较代数式的大小.例如：已知M=2-3,N=2x+1，比较例和N的大小.先求M-N,

若历—N>0,则M>N；若M-N<0,则MvN；若M-N=O,则知=',反之亦成立.本题中因为

M-N=2^+3-（2x+l）=2>0,所以M>N.

【解决问题】若M=（.・3）（X-4）,N=（X-1）（X-6）,则用与N的大小关系为（）

A.M>NB.M=NC.M<ND.由x的取值而定

题型9：整式乘法不含某项求字母的值

【典例27].若关于x的整式（f+or+2）（2x-4）展开合并后不含/项厕”的值是（）

A.0B.C.2D.-2

【典例28].（I）若（炉+阻+〃J*?-3%+1）的展开式中不含f和d项,求〃?、〃的值.

（2）求（m+〃）（〃/一〃皿+//）的值.

题型10:图形问题

【典例29].如图所示，根据图形，写出一个正确的等式：

【典例30].如图：已知长方形纸片/WC/）长为3〃+1,宽为〃+3,裁去一个长为为+1,宽为〃+1的长方

形制尸G,则剩余部分面积为

【典例31].用如图所示的A,B,C类卡片若干张，拼成一个长为3。+力，宽为。+力的长方形，则A,

B,C类卡片一共需要张.

3类bb

题型11：整式的乘法综合

【典例32].计算:

⑴出+(乃-3.14)。-㈠严;

(2；(-2xy)2-8x4>'24-(-16x2y);

⑶(。叫S；

(4；(.v+3y-2)(x-33^-2).

【典例33].计算：

⑴彳切,(-

(2.W3、

(2)一§"~"~'—/〃匕一

(3)(x+y)\x-2y)-3y2

(4)+3)(a-2)-4(〃2-2a-2)

【典例34].如图，在一块长方形土地上修建两个如图所示的四分之一圆水池，其余面积（阴影部分）进

行绿化处理，两个四分之一圆的半径分别为。、h.

(1)用含。，力的代数式表示长方形的长;

(2)用含。，力的代数式表示绿化土地(阴影部分)的面积S；

⑶当。=36,6=56时，求绿化土地(阴影部分)的面积S.

【典例35】在日历牌上，我们可以发现一些日期数满足一定的规律.如图是今年4月的日历牌，若任意

选择图中上下相邻的四个日期(阴影部分)，将其中四个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：

3x9-2x10=7,6x12-5x13=7,不难发现，结果都是7

(1)请再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律.

(2)设符合条件的四个日期左上角位置上的数为。，请利用整式的运算对以上的规律加以证明.

日—一四

1

45678

11121314151617

18192021222324

252627282930

题型12:材料、规律题

【典例36].观察以下等式:

(x+1乂/-大+1)=丁+1

。+3)(丁-3X+9)=Y+33

(A+6)(X2-6x+36)=+6'

(1)按以上等式的规律，填空：

@(x+8)(x2-8x+64)=

②(〃+力乂42-他+22)=.

(2)利用整式的乘法法则，说明(1)中②的等式成立.

(3)利用(1)中的公式化简；

(JV+y)卜2-孙+)?)_(X+4y)(x2-4xy+16y2)

【典例37］.阅读：

在计算(x-l)(f+/』+必…+X+1)的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、

一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一

般.如下所示：

［观察］①(x-l)(x+l)=M-l;

②(工-1)(炉+戈+1)=丁-1；

@(x-l)(x3+x2+x+l)=x4-l；

(1)［归纳］由此可得：

(/—l)(V'+V"+X”-2+...+X+1)=_

(2)［应用］请运用上面的结论，解决下列问题：

计算：22024+22025+22022+22021+•••+2+1=_

⑶计算：230-219+2,8-217+--234-22-2+1

【典例38］.在学习整式乘以整式时，我们知道(；*|4)(2.55)(3X6)的结果是•个整式，并且最高次项

为：1・2x-3x=3总常数项为4x5x(-6)=-120.那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就是要确定一

次项的系数.通过观察，我们发现：一次项的系数就是gx5x(-6)+2x4x(-6)+3x4x5=-3,即一次项为

-3x.

请参考上面的方法，解决下列问题:

⑴计算（x+l）（3x+2）（5x-3）所得整式的一次项系数为；

⑵如果计算卜2+工+5乂7/-21+4（31-1）所得整式不含一次项，则常数.的值是

⑶如果（%+1）2=《）”24+4/2_3+饵平+…+。2n23%+%024，则“2023的值是.

05包噩J

一、单选题

I.计算分（-24）的结果是（）

A.—2。~B.一2/C.2aD.2a

2.计算（一3。（2/一5一1）的结果是

A.-6X2-15X2-3XB.-6.?+15X2+3X

C.-6xy+15x2D.-6丁+15/—]

3.下列各式中，计算结果是V+7X-18的是（）

A.(x-2)(x+9)B.(x+2)(.r+9)C.(x-3)(x+6)D.(x-l)(x+18)

4.李老师做了个长方形教具，其中一边长为〃十%,另一边长为儿则该长方形的面积为（）

A.a+3bB.2a+6b

C.ab+2bD.ab+2b2

5.已知(工一1)(工一2)=丁+〃优+鹿，则〃m的值为()

A.-B.-C.-8D.9

98

6.已知6x+3)=2022,则代数式2(x+4)(x-l)-2012的值为()

A.2023B.2024C.2025D.2026

7.通过计算，比较图I,图2中阴影部分的面积，可以验证的算式是()

A.a[b-x)=ab-axB.(a-x)(b-x)=ab-ax-bx+x2

C.(〃-x)[b—x)=ab-ax-hxD.b(a-x)=ab-bx

8.若M=)，(y+5),N=(y-l)(y+6),则M与N的大小关系是()

A.M<NB.M=NC.M>ND.M与N的大小由)，的取值而定

9.已知整式〃=/一3⑪+6,N=x+3,且=当整式A中不含x的2次项时，。的值为()

A.—1B.—C.0D.1

3

10.设实数满足父=-2x+l,若父=./+版+c,则。一劝+C的值为()

A.-14B.14C.-6D.6

二、填空题

II.计算：(2/。(—6/./)=.

12.(1)(-4。”町(一3〃)=：(2)(-3x)--$与)卜(外2=

<3)(一2"4『(3')，=:(4)(3X1O2)2X^|X1OJ=；

(5)(一/)产(冷,)3=；(6)(一/一/一/(4。"『=

13.已知f+21=一8,则代数式3+x(x+2)的值为.

14.如图中的大长方形，分割成四个小长方形，计算其面积可发现公式:

mb

15.在数学课上，小明计算(x+2)(x-■)时，已正确得出结果，但课后不小心将第二个括号中的常数染黑

了，若结果中不含有一次项，则被染黑的常数为.

16.已知12-女2+法+2)(2/—3/+5)的展开式中不含三次项和四次项，则展开式中二次项和一次项的系

数之和为.

17.如图，正方形卡片A类，氏类和长方形卡片。类若干张，如果要拼一个长为(。十处)，宽为(〃+/»的

大长方形，则需要c类卡片张.

24.计算：

(I)(x+2)(x+3)；

(2)(x-4)(x+l)；

(3)(y+4)(y-2);

(4)(y-5)(y-3).

由上面计算的结果找规律，观察右图，填空：

*+〃)&+〃)=()2+()X4-().

25.长方形的长为〃厘米，宽为/，厘米，其中如果将原长方形的长和宽各增加3厘米，得到的新长

方形面积记为M，如果将原长方形的长和宽分别减少2厘米，得到的新长方形面积记为邑.

(1)若〃、人为正整数，请说明：*与，的差一定是5的倍数；

(2)如果$=2$2,求将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积.

26.阅读理解：

(1)计算后填空：(x+l)(x+2)=；(x+3)(x-l)=；

(2)归纳、猜想后填空；

(A+«)(X+/?)=X2+()x4-()；

(3)运用2的猜想结论，直接写出计算结果：

(4+2)(x+/〃)=.

27.方法探究：同学们在学习数学过程中，遇到难题可以考虑从简单到特殊的情况入手，例如：求

(X—l)(x9++X7+X6+X5+d+f+.d+X+1)的值.分别计算下列各式的值:

(1)填空:

(A-1)(X+1)=_；

(A-1)(X2+X+1)=.；

(A-1)(X3+X2+X+1)=_；

由此可得(x-//+X6+X5+f+x3+f+x+1)=_；

⑵计算：1+2+2?+23+…+22020+22021=":

(3)根据以上结论，计算：5+5?+5、…+52020+5的

28.如图1,把边长为b的正方形放在长方形A8CO中，其中正方形的两条边分别在A。，C。上，已知

AB=a(a<2b),BC=4a.

图1图2

(1)请用含。、〃的代数式表示阴影部分的面积：S阴=_；

7

⑵将另一长方形/处产G放入图1中得到图2,已知=EG=b；

①请用含a、〃的代数式表示长方形AGP"的面积：S长方形AGP〃=_;请用含〃、8的代数式表示长方形ECNM

面积：S憔方形ECNM=_；

②若长方形PQMr的周长为6,求阴影部分的面积(用含〃的代数式表示).

29.阅读以下材料，回答下列问题：

小明遇到这样一个问题：求计算(*+2)(2x+3)(3x+4)所得整式的一次项系数.小明想通过计算

(.r+2)(2x+3)(3x+4)所得的整式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法.

他决定从简单情况开始，先找(L+2)(2X+3)所得整式中的一次项系数.通过观察发现：

(X4-2)(2X+3)=2X~+3X+4X+6

二t

也就是说，只需用x+2中的一次项系数I乘以2x+3中的常数项3,再用工+2中的常数项2乘以2x+3中

的一次项系数2,两个积相加Ix3+2x2=7,即可得到一次项系数.

延续.上面的方法，求计算(x+2)(2x+3)(3x+4)所得整式的一次项系数.可以先用x+2的一次项系数1,

2汇+3的常数项3,3x+4的常数项4,相乘得到12；再用2x+3的一次项系数2,x+2的常数项2,3x+4的

常数项4,相乘得到16；然后用31+4的一次项系数3,x+2的常数项2,2x+3的常数项3,相乘得到18,

最后将12,16,18相加，得到的一次项系数为46.

参考小明思考问题的方法，解决下列问题：

⑴计算(2工+1乂3工+2)所得整式的一次项系数为.

⑵计算（五+1乂3工+2乂4工-3）所得整式的一次项系数为.

⑶若计算，7+1），—3X+〃）（2%-1）所得整式的一次项系数为0,则。=.

（4）计算（x+l）s所得整式的一次项系数为,二次项系数为.

（5浒算（2x7）5所得整式的一次项系数为,二次项系数为.

30.乘法公式的探究及应用.

数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为。的正方形，8种纸片是边

长为〃的正方形，。种纸片是长为从宽为。的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张

拼成了如图2所示的大正方形.

b

⑴①观察图2,请你写出代数式,+/+〃，曲之间的笔量关系式

②图3是由图I提供的几何图形拼接而得，可以得到（。+〃）（3〃+3=

⑵请利用图1所给的纸片拼出一个长方■形，要求所拼出图形的面枳为（2a+b）（a+3）,（在图4的方框内进

行作图），进而可以得到等式：;

⑶利用（2）中得到的结论，解决下面的问题：若4/+10曲+46=5，。+2〃=；,求为+/?的值.

第08讲整式的乘法(十二大题型)

01学习目标

学习目标

I、会进行单项式的乘法,单项式与整式的乘法，整式的乘

法计算

2、会利用整式的乘法求字母或代数式的值；

3、整式乘法的应用

02

/1.单场式与单项式相乘

知识点——2.单项式与整式相乘

<3.整式与整式相乘

题型1:单项式乘以单项式

题型2:利用单项式乘法求字母或代数式的值

题型3:计算单项式乘以整式

<题型4:计算单项式乘以整式求值问题

广题型5:利用单项式乘以整式求字母的值

题型6:单项式乘以整式的综合应用

题型

一题型7:计算整式乘以整式及求值问题

I题型8:(x+p)(x+q)型整式乘法

题型9:整式乘法不含某项求字母的值

题型10：图形问题

题型11：整式的乘法综合

题型12:材料、规律题

03知识清单

一、单项式的乘法法则

单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它

们的指数作为积的一个因式.

【方法规律】

(1)单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数辱的乘法法则的综合应用.

(2)单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的

乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幕的乘法，按照“底数不变，指数相加”

进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.

(3)运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.

(4)三个或三个以，的单项式相乘同样适用以，法则.

二、单项式与整式相乘的运算法则

单项式与整式相乘，就是用单项式去乘整式的每一项，再把所得的积相加.

即+b+c)=ma+mb+me.

【方法规律】

(1)单项式与整式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.

(2)单项式与整式的乘积仍是一个整式，项数与原整式的项数相同.

(3)计算的过程中要注意符号问题，整式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.

(4)对混合运算，应注意运算1顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.

三、整式与整式相乘的运算法则

整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式的每一项，再把所得的积相力口.即

++=am+an+bm+bn.

【方法规律】整式与整式相乘，仍得整式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个整式的项数之积.

整式与整式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：

（X4-4Z）（X+/?）=X2+（〃+力）工+向.

【即学即练1】计算：

（l）abx2by

（2）a2x（2a2-ab）

⑶（加十3）（〃L1）

（4）（2x+y）（2x-y）

【答案】⑴2,而

⑵

⑶〃?2+26-3

（4）4x2-/

【分析】本题考查整式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键,

（1）利用单项式乘单项式法则计算即可；

（2）利用单项式乘多项式法则计算即可；

（3）根据多项式乘多项式计算即可；

（4）根据多项式乘多项式计算即可：

【解析】（1）abx21/=2ab4；

（2）八（2/一必）

=£/2x2cr-a2xah

=2a4-a3b;

（3）（m+3）（m-l）

=mx，〃一〃ix1+3机-3x1

=nr+2/H-3：

（4）（2x+），）（2x-y）

=2xx2x-2xxy+yx2x-yxy

=4/-y2

【即学即练2】计算：

2

(l)1x.(2.r+l);

⑵（g'J"一3加卜〃人；

24

33

(4)3X-(2X2-x+l)-x(2x-3)-4fl

【答案】（i）v+5d

(2)2//-9。/3

,25,3-10■>

(3)--x2y3+5x~y---xy-

JJ

(4)6X3-X2+6X-4

【分析】本题考查了整式的混合达算，单项式乘多项式，熟练掌握相关的运算法则是解题关键.

(1)根据单项式乘多项式的运算法则进行求解即可;

根据单项式乘多项式的运算法则进行求解即可;

根据单项式乘多项式的运算法则进行求解即小

(4)根据单项式乘多项式的运算法则进行运算，再合并同类项即可.

【解析】（1）解：；f,（2x+l）

=-x22x+-x2

22

,»I2

=x+-x"；

2

(2)(•1/。-3加卜。力

2

=-a2b-3ab-3ab2-3cib

3

=2aV-9a2b\

<3）

23223

523<22102

=--x2yi+5x2y--xy\

（4）3x（2x2-x+l）-x-（2x-3）-4（l-x2）

=6/-3f+3X-（2X2-3X）-4+4X2

=6A3-3x2+3x-2x2+3x-4+4x2

=6X3-X2+6X-4.

【即学即练3】先化简，再求值：

(1)川(〃-4)-〃(〃?-6),其中2/??-3??=-4：

⑵厂(3-x)+x(x~-2x)+1,其中工=3.

【答案】(1)-4"1+6〃，8

⑵/+],10

【分析】本题考查了整式的化简求值.细心运算是解题关键.

(1)直接利用单项式乘多项式乘法法则去括号，进而合并同类项，再将2〃L3〃=T变形为-2(2〃?-3〃)=8

即可求出答案；

(2)直接利用单项式乘多项式乘法法则去括号，进而合并同类项，再将已知数据代入求出答案.

【解析】(1)解：/n(n-4)-w(/w-6)

=mn-4"?-mn+6n

=4〃+6〃，

团2"?-3〃=-4,

0-2(2m-3〃)=8,

即原式=-4m+6/1=8；

(2)x(3-x)+x^.v2-2x)+1

=3x2-.v34-x3-2x2+1

把x=3代入得：原式=32+1=10.

04题型精讲

题型1:单项式乘以单项式

【典例1].计算:

(2)3A2y2-(j-2xy2z

⑶3”/-(叫-+246.

【答案】（l）2a%

(2；12X4/Z2

(3)4/

【分析】（1）利用单项式乘以单项式的计算法则直接计算即可;

（2）先根据基的乘方与积的乘方的运算法则计算，再利用单项式乘以单项式的计算法则计算即可;

（3）先计算哥的乘方与单项式乘单项式，再合并同类项即可.

【解析】（l）解：-；/.（-6访）

一品-6)/“

=la'b;

(2)解：3x2y2(-2xy2z)~

=3X2/(4X2/Z2)

=12X4/Z2：

(3)解：3a2-a4-(a3)~+2a6

=3a6-a6+2a6

=4a6.

【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式、鼎的乘方、枳的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则是解

题的关键.

【典例2].计算:

(V^rb^^ab).

⑵(-2巧.(_3/力2.

⑶(—2孙2)2.(-3X/)(-X2Z).

(4)-6a2b(x-y7.1/.

【答案】⑴⑵34

(2)-18x6/

(3)12Vy4+”z

(4)-2r/,Z?,(jr-y)5

【分析】(1)直接根据单项式乘以单项式法则计算即可；

(2)先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可;

(3)先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可;

(4)利用整体法及单项式的乘法计算即可.

【解析】(1)

=[(-2)x(~6)].(4—〃)

=12aW.

(2)(—2x)(-3/疔

=-2x2-9x4y4

=[(-2)x9](x2-%4)/

=-18X6/.

(3)(-2jy23Ht)•(-x2z)

=4x2y4♦(-3.ryw)•

=[4X(-3)X(-1)].(X2.X-X2)(//)-Z

=\2xsy4+nz.

(4)-6a2b•(-y),ci^''(y-x)

—6/人(x-y)3.g加.[_(1—刈-

=|-6xg1(M.a).伍.⑹[(3一)，)3—一)，)[

=_2ab（x-y），.

【点睛】题目主要考查单项式的乘法及积的乘力运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键.

题型2：利用单项式的乘法求字母或代数式的值

【典例3].先化简，再求值：加）2+,；次/）;4从其中。=2,b=\.

【答案】-a4y,-16.

【分析】先化简，再把a=2,b=l代入求解即可.

【解析】解：原式=一2。%3•"/+_1//.4力二-2///+//=-0%7.

4

当。=2,〃=1时，原式=一/〃=一2、17=-16.

【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是正确的化简.

【典例4].若（-5心。一）（2"少）=一10//,则〃?一〃等于（）

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】A

【分析】苜先根据单项式乘单项式的运算法则计算求出小，〃的值，然后代入计算即可.

【解析】（―5。"户T）（2a夕）

=（-5x2）（a""L）

=-10«H,*M+lZ?2w+,w-'

・・._10尸+%22=_]00%4

*rn+〃+1=4

2n+/«-1=4

m=\

/.m—n=\-2=-\t

【点睛】本题主要考查代数式求管，掌握单项式乘单项式的运算法则是关健.

【典例5】.若(〃机，加+2)・/=〃5如,则机+〃的值为()

A.1B.2C.3D.-3

【答案】A

【分析】先利用单项式乘单项式法则,可得(am/*)・(标〃/斯?)=a，n-2n.bn-2w-2,从而得到关于,〃，〃的

方程组，即可求解.

【解析】解：(a,,vlbn'2)•(a2n''b2m)=am"1■2/i/*bn2_2w=am*2n*bn-2?n'2,

V(am+,bn+2)•Ca2nlb2m')=〃护，

in+2n=5

.・.(

'n+2m+2=3'

两式相加,得3m3〃=6,

解得m力=2.

故选：B

【点睛】本题主要考查了利用单项式乘法求字母或代数式的值，熟练掌握单项式乘单项式法则是解题的关

键.

题型3：计算单项式乘以整式

【典例6].(1)计算：-gx•(-2/+4)；

(2)计算：4xy\-3y)+2y(6xy+i)；

(3)计算：,ga")(4"尸)；

(4)计算：x2(x-l)-x(x2-x-l).

【答案】(1)d—2x：(2)4y；(3)a5b2--aAb4；(4)x

4

【分析】(1)根据单项式乘以整式的运算法则计算即可:

(2)先计算单项式乘以单项式及整式，然后合并同类项计算即可;

(3)先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以整式即可；

(4)先计算单项式乘以整式去括号，然后合并同类项即可.

【解析】解：(1)原式=-]•(-20+6jx4=V-2x.

(2)原式=-12孙2+12盯2+4y=4y.

(3)原式=；，»2(4〃一〃)

=a5b2-—a4b4.

4

(4)x2(x-l)-x(x2-x-l)

=x3-x2-x3+x2+x

=x.

【点睛】题目主要考查单项式乘以单项式及整式，合并同类项等的运算法则,熟练掌握各个运算法则是解

题关键.

【典例7].计算：

(1)(5""『一4"「〃)(一2〃?〃)；

⑵(―24)2.(3/一々一1)；

⑶(一3岁)2-1孙2(g孙一2,.

【答案】⑴一10〃?2〃'+8小。/

(2)12/一444/

(3)12x2y2-4x2/

【分析】(I)直接利用单项式乘整式法则计算;

（2）先算积的乘方，再利用单项式乘整式法则计算：

（3）先算单项式乘整式，积的乘方，再去括号，合并同类项即可.

【解析】（1）解：（5〃?/一4//〃）（一

+8"7%；

(2)(-2a)2-(3«2-«-l)

=4a'-(3a?-a-\^

=12t?4-4a3-4a2

(3)(-3xy)2-1f|X)'-2x

2

=9/），-（4x2/-3x2/）

=9x2y2-4x2yy+3x2y2

=12x2y2-4x2/.

【点睛】本题考查了整式的混合运算，涉及了单项式乘整式，合并同类项，积的乘方，掌握相应的运算法

则，细心计算是解题的关键.

【典例8].计算下列各式：

⑴(一3)，乂4/)，一2冷，)；

⑵(一3《心)•(-2加+出?一2)；

c、1，/2，1\}

(4)3aY“％2-2a^-4a^-a2b)；

(5)2/.(3/-5〃)；

/2

-2ab,—.

【答案】（1）一12凸，2+6孙2

(2,6crby-3a2b2+6ab

।，3131，

(3)-丁>+-xy--x-y

(4)-a%2-64

(5)6«4-10^

⑹卜沙-a/

【分析】（1）根据单项式乘以整式进行计算即可求解；

（2）根据单项式乘以整式进行计算即可求解；

（3）根据单项式乘以整式进行计算即可求解；

（4）根据单项式乘以整式进行计算，然后合并同类项即可求解;

（5）根据单项式乘以整式进行计算即可求解.；

（6）根据单项式乘以整式进行计算即可求解•.

【解析】⑴解:（-3川4。一2冷，）

=_]2x2y2+6盯―

（2）解：（-3妨）（一2，万+，力-2）

=6aE—3a2b2+6ab;

123「1，

=--xay；

(4)解：-2i)-4a(—a6)-

=3a5b2-6a3-4a^2x2b2

=3。&-4,从-6/

=方一64；

（5）解：2，"（3/-58）

=6"-\Oa2b:

（6）解:

=-a2b^-a2b2.

3

【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，熟练掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键.

题型4：计算单项式乘以整式的求值问题

【典例9].化简求值：2x（x-5y）-3y（2y-3x）,其中x=],y=-1.

【答案】2x2-xy-6y2,0

【分析】原式利用单项式乘整式法则计算，去括号合并得到最简结果，把％与V的值代入计算即可求出值.

【解析】解：原式=（2/-10冷，）-（6,，2一9外）

=2.V2-IOA7-6y2+9A>,

=2x2-xy-6y2,

当x="|，y=T时，

Jg^；=2x(-)2--x(-1)-6x(-l)2

42

93,

=—+--6

22

=0.

【点睛】此题考查了整式的混合达算一化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

【典例10].先化简，再求值：r（A-4-3）-A-（x2+2A--l）,其中V+x=2.

【答案】Y+x,2.

【分析】先将原式根据单项式乘整式的法则进行化简，再将f+x=2整体代入计算即可.

【解析】解：/（1+3）-1（/+2工-1）

=1+3/-X3-2f+x

=x2+x»

VX2+X=2,

工原式=2.

【点睛】本题考查了整式的化简求值；熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解题的关键.

【典例11].若f+a¥=x（x+4）,贝Ija的值为（）

A.2B.3C.4D.8

【答案】B

【分析】本题主要考查了单项式乘以整式，根据单项式乘以整式的计算法则求出x（x+4）的结果即可得到

答案.

【解析】解：・・・f+ov=Mx+4），

x2+ar=x2+4x»

，a=4,

【典例12].已知x（x—a）+〃（x+a）=f+5x_6,当x为任意数时该等式都成立，则。（〃一1）十〃（。+1）的值

为（）

A.17B.-7C.-1D.-17

【答案】A

【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算.先把原式变形为1+(-。+0卜+必=/+5彳-6,根据当x为

任意数时该等式都成立，可得-。+。=5,"=-6,然后代入，即可求解.

【解析】解：x(x-«)+/>(x+«)=x2+5.r-6,

/.x2+(-a+b)x+ab=x2+5x-6,

Vx(x-«)+/?(x+«)=x2+5x-6,当x为任意数时该等式都成立，

-a+b=5,ab=-6,

a(〃—1)+〃(〃+1)

=ah-a+ab+b

=2ab-a+b

=2x(-6)+5

=-7

故选：B

题型5:利用单项式乘以整式求字母的值

【典例13］.若“算(3/十2办+1)・(-3箝-4/的结果中不含有丁项，则a的值为()

23

A.—B.0C.2D.—

32

【答案】D

【分析】利用单项式乘整式的法则进行求解，再结合不含炉项，则其/项的系数为0,从而求解.

［解析］解：(3A-2十lax+1)(-3A)-4X2

=-9/一60¥2一3X一4%2

=-9x3+(-6a-4)x2-3x,

•••结果中不含有/项，

.'.-66/-4=0,

2

解得«=-p

J

【点睛】本题主要考查了单项式乘整式，合并同类项，解题的关机是熟练掌握相应的运算法则.

【典例14].如果（2巾+3/的结果中不含”的五次项，那么利的值为（）

A.1B.0C.-1D.——

4

【答案】A

【分析】根据单项式乘以整式法则计算，即可求解.

【解析】解：（2以+3/+/慨3）卜4丁）

=-8/tr3-12x4-4/JIX5

•・•结果中不含大的五次项，

-4/n=0,

解得：〃?=（）.

故选：B

【点睛】本题主要考查了单项式乘以整式法则，理解结果中不含工的五次项，即该项的系数等于0是解题

的关键.

【典例15].计算：一5冷，（2y+x—8）=-10母2-5/），口，□内应填写（）

A.-10xyB.-5X2）?C.+40D.+4（hy

【答案】D

【分析】运用单项式乘以整式法则展开，再根据对应项相等，即可求解.

[解析]解：V-lOx产5/），口=-5顼2丁*8尸-10x>,2-5x2>'-40xy,

□=-40xy,

【点睛】本题考查单项式乘以整式，熟练掌握单项式乘以整式法则是解题的关键.

题型6：单项式乘以整式的综合应用

【典例16].某同学在计算-3/乘一个整式时错误的计算成了加法，得到的答案是由此可以推

断该整式是（）

A.4A-2-x-1B.x2-x-\C.-2X2-x-\D.无法确定

【答案】D

【分析】根据整式的减法法则求出整式，得到答案.

【解析】根据题意得：整式为-（-39）,

x2-x-1-（-3.V2）

=x2-x-l-3x2

=4x2-x-1.

【点睛】本题考查的是单项式乘整式、整式的加减，能根据题意列出算式是解此题的关键.

【典例17].一个长方体的长、宽、高分别为2a2、3a、3〃+2,它的体积等于（）

A.1&/+1%3B.18a、6/C.36a4D.6/+18/

【答案】D

【分析】本题考查单项式乘整式的应用，根据长方体的体积=长、宽x高，进行计算即可.

【解析】解：加2,3々（勿+2）=6/（3々+2）=1&,4+1勿3,

即长方体的体积为18/+12a3,

【典例18].如图，两正方形并排在一起，左边大正方形边长为。右边小正方形边长为心则图中阴影部

分的面积可表示为（）.

C.—a2+-b2-abD.a2+b2-—ab

222

【答案】A

【分析】根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去空白部分的面积，即可求解.

【解析】解：根据题意得：阴影部分的面积为

a2+b2~^2+

=a2+b2--a2--ab--b2

222

=-a2+—b2--ab

222

故选：B

【点睛】本题主要考查了整式加减及乘法的应用，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键.

【典例19】张如图1的长为宽为b(a>〃)的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形4BC。

内，未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示，如果左上角与右下角的阴影部分的面积始终保持相等，则

A.a=2bB.a=3bC.a=4bD.a=5b

【答案】B

【分析】用代数式表示出左上角与右下角部分的面积，根据面积相等求出。与人的关系式.

【解析】解:如图，左上角阴影部分的长为宽为AF=4由右下角阴影部分的长为PGBC-4加AQ-46,

宽为CG=a,

四边形AE”尸的面枳为：AE.AF=（AD-a）x4b=ADx4b-4ab,

四边形QPCG的面积为：PC»CG=（AD-4b）xa=ADxa-4abf

・・・左上角与右下角的阴影