沪科版八年级数学上册期末复习考题猜想 专题03 三角形中的边角关系（易错必刷28题5种题型）

专题03三角形中的边角关系（易错必刷28题5种题型专项训练）

7或型丈栾合

目录

【题型一】三角形三边关系的应用（共5题）.......................................................1

【题型二】与二角形中二线的综合探究问题（共5题）..............................................2

【题型三】与角平分线有关的三角形内角和问题（共5题）..........................................4

【题型四】与角平分线有关的三角形外角问题（共7题）...........................................6

【题型五】三角形中新定义型问题（共6题）......................................................9

年我型人通关

【题型一】三角形三边关系的应用（共5题）

1.（23-24七年级下•黑龙江哈尔滨•期末）如果“、b、c•为一个三角形的三边，那么点P（-2m+〃-c）在第一

象限.

2.（23-24七年级下•四川成都•期末）已知。、〃、c为VA4C的三边长，b、c满足|〃—3|+（c—=0,。

为方程k―3|=1的解，则VA3C的周长为.

3.（22-23八年级上•河北廊坊•期末）在VABC中，BC=8,AB=\.

⑴若AC是整数，求AC的长；

⑵己知8。是VA4C的中线，若△人以）的周长为10,求△ACO的周长.

4.（23-24七年级下•江苏宿迁•期末）已知：。、〃、c•为VA3c的三边长，且“、〃满足

3-0+2|+（a+0-8）2=0.

⑴求c的取值范围；

（2）在（1）的条件下,若2x-c=l,求x的取值范围.

5.（23-24八年级上•四川达州•期末）（1）如图1,在△A8C中，8c=3,AC=4,A8=5,。为48边上一

点，且“8与的周长相等，求4。的长.

（2）如图2,在中，BC=a,AC=b,AB2=BC2+AC2,E为8C边上一点，月二斗班:与aACE

的周长相等；尸为4。边上一点，且"13”与4以才的周长相等，求CECF（用含。，。的式子表示）.

1

cc

图1

【题型二】与三角形中三线的综合探究问题(共5题)

6.(23-24七年级下•重庆万州•期末)如图，在锐角VA4C中，两条高线CQ、相交于点0.

图1图3

(1)如图1,若N4=60。,求N4OC的度数;

(2)如图2,ZABC=50°,NAC4=60。，-48E与ZAC。的角平分线交于点M,求N8MC的度数;

⑶如图3,对任意的锐角VA8C,248E与乙48的角平分线交于点直接写出N3MC的度数是

7.(21-22七年级下•陕西汉中•期末)小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究:

图1

【习题回顾】:

(1)已知：如图1,在VA8C中,Z4CB=90°,AE是角平分线，CD是高,AE.CO相交于点产.试说

明：ZCFE=ZCEF；

【变式思考工

(2)如图2,在V4BC中，ZAC5=90°,。。是AB边上的高，VABC的外角N84G的平分线"交CO的延

长线于点〃，AF的反向延长线与〃。边的延长线交于点E,若/〃=40。，求NCEF和NCFE的陵数.

2

8.(22-23七年级下•四川遂宁•期末)如图,已知：点。，七分别在VABC的边AGAB上,连接BD,CE,BD

与CE交于点O,ZBOC-ZBAC=5\0.

⑵如图2,当BRCE都是VA8C的高时，求N3OC的度数；

(3)如图3,当NA3O=2NACE时，探究N8EO与NCOO的数量关系，并说明理由.

9.(22-23七年级下.•河南南阳・期末)【图形定义】

有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形.

例如：如图＜1).在V/WC和△A7TC中，AD和AZ7分别是〃。和边上的高线，且AZ)=A'Z)’，则

NABC和△A'B'C是等高三角形.

如图(1),用SWCSAX”分别表示VA8C和d5(7的面积.

则Sfc=*AD1A'〃，

^AD=AD

f

团S&ABC-S&v&c=3C:B'C.

【性质应用】

(1)如图②，。是VAGC的边3C上的一点.若夕)=3,DC=4,则%,):%A/)c=；

⑵如图③，在VA8C中，分别是8c和48边上的点.若4E:48=1:2,CD:BC=1:3,S^ec=1,求

VBEC和△COE的面积.

10.(22-23七年级"广东深圳•期末)”等面枳法〃是解决三角形内部线段长度的常用方法.如图1,在

RIAABC+，ZBAC=90°,作AH_L8C,若A8=4,AC=3,BC=5,可列式：

III?

-ABAC=-BCAH,解得

3

图1图2

图3

⑴在题干的基础上,

①如图2,点尸为BC上一点，作尸PN工AC,设PM=4，PN=d?,求证：44+34=12；

②如图3,当点P在CB延长线上时，猜想4、4之间又有什么样的数量关系，请证明你的猜想;

(2)如图4,在VA8C中，AB=AC=10,BC=V2,5^fiC=48,若点。是8c延长线上一点，且C£>=2,

过点4作4EJ_4C,点P是直线跖上一动点，点。是直线AC上一动点，连接P。、PQ,求。P+PQ的最

小值.

【邈型三】与角平分线有关的三角形内角和问题(共5题)

11.(23-24七年级下•四川内江・期末)如图，在VA8C中，点。在A8上，过点。作OE〃BC,交AC于

点、E,力2平分N49E,交NACB的平分线于点P,CP与OE相交于点G,ZACF的平分线。。与OP相

交于点Q.

0

(1)若ZA=40。，ZB=60°,则ND尸C=_。，NQ=_。；

(2)若NA=a,当的度数发生变化时，4DPC、NQ的度数是否发生变化?若要变化，说明理由；若不

4

变化，求出/OPC、NQ的度数(用a的代数式表示)；

⑶若△PC。中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请求出ZA的度数.

12.(23-24七年级下•河北邢台•期末)如图1,图2,在V4BC中，A。是V4BC的角平分线.

图1图2

(1)若AA=3,8C=5,AC的长为偶数，则符合条件的VA8C共有一个；

(2)如图I,若尸为线段AD上一点，过点尸作FEJLBC于点E,ZC=38°,4=50°.

①求/。/芯的度数；

②如图2,若尸为线段AO延长线上一点，其余条件不变，直接写出依的度数.

13.(24-25八年级上•全国•期末)如图1,线段4D与相交于点。，连接AC,BD,我们把这样的图形称

为"8字形〃，数学兴趣课上，老师安排同学们探索“8字形〃中相关角度的数量关系.

图1图2

⑴请通过观察、测量，猜想图1中NA+NC与N4+NO之间的数量关系，并说明理由；

(2)如图2,奋斗小组在图1的基础上，分别作NC4。与NC8O的平分线交于点P,若

NC=35。，ZD=29°,求NP的度数；

(3)智慧小组在图1的基础上，分别作射线ARBP,使得=ZCBP=-ZCBD两条射线

nnf

交于点P,请直接写出NGNDNP之间的数量关系.

14.(23-24七年级卜.•辽宁盘锦•期末)综合与实践课上，老师让司学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”

为主题开展数学活动.

5

图1图2图3

⑴【初步探究】在VA3C中，Zfi=42°,ZC=70°,作一B4C的平分线AO交8c于点O.在图1中，作

AE1.AC于£,求的度数；

⑵【迁移探究】在VA8C中，ZB=42°,ZC=70°,作/3AC的平分线AO交8C于点O.如图2,在AO

上任取点F,作FEJ_8C,垂足为点E,直接写出NW芯的度数；

（3）【拓展应用】如图③，在VA5C中，NC>N8,AQ平分/84C,点尸在04的延长线.匕FEtBC于

E,求出N8石与NC、N〃之间的数量关系.

15.（23-24七年级下•江苏徐州・期末）分析探究.

⑴如图1,已知V4BC,求证：Z4+ZB+ZC=180°.

⑵如图2,已知A石〃C。，求证：ZA+ZC=ZB.

⑶如图3,已知4石〃C£）,AF平分N84£,CF平分NBCD,若NABC=100。，求N4产C的度数.

（4）如图4,已知AE〃CO,平分N8AE,C"平分N8C。，A入平分N£A£,C尸2平分〃。耳，人工

平分/E4/1平分NOC6…，若NA8C=x。，则/工的度数为；（用含x的代数式表示）

【题型四】与角平分线有关的三角形外角问题（共7题）

16.（23-24八年级上•甘肃酒泉・期末）如图，ZACD是VA8C的外角，/A8C的平分线与ZACZ）的平分线

交于点A，NA8C的平分线与NA。。的平分线交于点4.

6

’4

A

’4

BD

C

⑴试确定“A与NA之间的数量关系，并说明理由;

（2）若N4=16。,求4的度数.

17.（23-24七年级上•全国・期末）如图，在VA3C中，点。是AC延长线上的一点，过点。作DE〃8C,

£心平分NADE,8G平分/ABC,OG与8G交于点G.

（2）如图2,连结EE,若N。/E448C+/G,试说明：FE//AD.

18.（23-24八年级上•四川达州•期末）已知，点E是VA8C的边AC上的一点，Z4EB=ZA3C.请在下面

的A,8两题中任选一题作答，我选择

A.如图1,若AD平分N8AC,交BC于点。，交处于点F.求证：/EFD=ZADC；

B.如图2,若A。平分V4BC的外角/84G,交边C8的延长线于点。，交BE的延长线于点人判断/歹

与/。的数量关系，并说明理由.

19.（23-24七年级下•湖南衡阳•期末）如图1,已知线段A&CO相交于点0,连接AC、80,则我们把形

如这样的图形称为“8字型

7

B

A

P

⑴求证：ZA+ZC=ZB+ZD；

⑵如图2所示，Zl=130°,则4+/8+NC+ND+NE+N/的度数为：

⑶如图3,若NC48和N8OC的平分线和OP相交于点尸，且与CO,A8分别相交于点，M,N,若

Zfi=100°,ZC=120°,求/尸的度数.

20.（23-24八年级下•全国•期末）（1）如图1,在VABC中，Z4Cfi=90°,AE是角平分线，C。是高，

AE.C。相交于点F,NCFE与/C所的数量关系为.

（2）如图2,在V/WC中，4CB=90。，。。是AB边上的高，若VABC的外角NB4G的平分线交CO的

延长线于点3其反向延长线与EC边的延长线交于点£探究NC在与/CE”的数量关系并说明理由；

（3）如图3,在VA8c中，边A8上存在一点。，使得=Z84C的平分线AE交C。于点凡

交BC于E.VA3C的外角N5AG的平分线所在直线MN与8C的延长线交于点M.请补全图形并直接写出

ZM与Z.CFE的数量关系.

A-

21.（23・24七年级下•江苏淮安•期末）长方形纸带MNPQ（足够长）上，如图1中，VA4c顶点A落在

M。边上，顶点〃落在N/边上，使NACB=90。，ZBAC=30",ZMMy的平分线Ab交NP边于点。，

NQ4C的平分线4G交NP边于点E.

MAQ

图1图2

8

⑴如图1,若乙4。3=40。时，则乙4EB=°；

⑵点A在边上、4在NP边上移动过程过程中，入豆汨+乙恸的值是否变化，如不变化，请写出这个

定值并说明理由；

（3）如图2,VAOE的外角中，射线。”和E”交于点〃，且分别使得/理汨=!/皮）/，

NDEH二/DEG,当四边形AQHE中，有一边与8c平行时，直接写出Z4O8的度数_______。.

4

22.（22-23七年级下•江苏徐州•期末）已知在VA4C中，ABAC=a,过点。作力垂足为E,BF

为VA8C的一条角平分线，£心为NAOE的平分线.

⑴如图1,若a=90。，点G在边4c上且不与点B重合.

①判断N1与N2的数量关系，并说明理由，

②判断所与GO的位置关系，并说明理由；

⑵如图2,若0。＜。＜90。，点G在边A8上，DG与BF交于点、M,用含有々的代数式表示N13MD,则

（3）如图3,若0。＜。＜90。，点G在边8c上，OG与所的延长线交于点〃，用含有1的代数式表示N”,

并说明理由.

【题型五】三角形中新定义型问题（共6题）

23.（23・24七年级下•河南南阳・期末）【概念认识】如图①，在/A4C中，若ZABD=NDBE=NEBC,则

BD、的叫做NA3c的“三分线〃，其中，80是“邻A8三分线"，鹿是"邻5c三分线〃.

【问题解决】

①②③

9

⑴如图①，ZABC=60°,BD、的是/A8C的“三分线"，则NA8E=_。；

（2）如图②，在V4BC中，△4=60。，ZB=45°,若N8的“三分线”8。交4c于点。，则40c=_。；

⑶如图③，在VA8C中，BP、CP分别是/ABC邻43“三分线"和NACB邻AC"三分线”，且研1CP,

求“人的度数.

24.（23-24七年级下•辽宁朝阳•期末）我们定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角度数

的3倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形〃.如：三个内角分别为100。、60。、20。的三角形是"完美

三角形〃.

⑴如图I,ZMO/V=67.5°,在射线上找一点4,过点A作人A_LQM交ON于点B.则NABO=

0,7A0B"完美三角形〃（填“是〃或"不是”）；

⑵如图2,N8QC为钝角，点。在VA4c的边A8上，连接。C,作—ADC的平分线交AC于点E,在

OC上取一点P,使NEAC+N血=180。，ZDEF=NB,请问OE与3C是否平行？并说明理由.

⑶若△BCD是“完美三角形〃，求的度数.

25.（23・24七年级下•广东深圳•期末）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的我们称这

两个角互为"和谐角"，这个三角形叫做“和谐三角形例如：在V4BC中，如果乙4二70。，4=35。，那

么/A与互为"和谐角"，VABC为"和谐三角形”.

图1图2

⑴如图1,VA8C中，ZACB=9fi°,ZA=60°,点。是线段AS上一点（不与A、B重合），连接CO.

①VABC（填“是"或〃不是"）“和谐三角形”；

②若C0_LA8,请判断△8CO是否为“和谐三角形〃？并说明理由.

（2）如图2,VABC中，ZACB=60。，44=80。，点。是线段人8上一点（不与A、B重合）,连接CO,若

△ACD是“和谐三角形”，请直接写出N4CZ）=.

10

26.（23-24七年级下•江苏泰州•期末）定义：在一个三角形中，如果一个内角。的度数比另一个内角度数

大36。，那么这样的三角形我们称为“似黄金三角形"，其中。称为“黄金角”.例如：一个三角形三个内角的

度数分别是30。、84。、66。，这个三角形就是“似黄金三角形〃，其中66。为“黄金角〃.

图1图2

⑴一个“似黄金三角形"的一个内角为92。，若"黄金角〃为锐角，则这个“黄金角〃的度数为.

（2）如图1,在VA8C中，ZA=70°,—。为线段AB上一点（点。不与点A、点A重合）.若

△BC。是“似黄金三角形”，求。的度数.

（3）如图2,VA8C中，点。在边A8上，力七平分NA。。交AC于点E,过点E作针〃交CD于点尸,

且乙DEF=4.若△48和，6都是“似黄金二角形”，更接写出ZA的度数.

27.（23-24七年级下•湖南衡阳•期末）【定义】如果两个角的差为30。，就称这两个角互为“创新角〃，其中

一个角叫做另一个角的“创新角〃.

例如：a=800,6=50。，a-6=30。，则a和6互为“创新角”,即a是夕的“创新角〃，夕也是a的“创新

角”.

⑴已知N1和N2互为“创新角”，且N1>N2,若N1和N2互补，则Nl=；

（2）如图I所示，在VA3c中，4c4=90。，过点C作AB的平行线CM,2ABC的平分线分别交

AC.CM于。、E两点.

①若且NA和N8EC互为“创新角”，则44=；

②如图2所示，过点。作AB的垂线，垂足为尸，BD、。产相交于点N.若/力CN与NCON互为"创新

角”，求NA的度数；

③如图3所示，NACM的平分线C"交况于点H,当/A和互为“创新角”时，则4=

28.（23-24七年级下•北京房山•期末）在平面内，对于/2和N。，给出如下定义：若存在一个常数

11

r（r>0）,使得NP+，NQ=180。，则称国。是团P的“f系数补角".例如，NP=80。，NQ=20。，有

NP+5NQ=180。，则NQ是一尸的“5系数补角〃.

图1图2备用图

⑴若NP=90。，在Nl=60。，Z2=45°,N3=3O。中，/尸的“3系数补角”是；

⑵在平面内，AB//CD,点£为直线48上一点，点?为直线CO上一点.

①如图1,点G为平面内一点，连接GE,GF,NDFG=50。,若N8EG是NEG尸的“6系数补角”，求

NBEG的大小.

②如图2,连接石尸.若，为平面内一动点（点”不在直线4?,CD,EF上），NEFH与NFEH两个角的

平分线交于点M.若NBEH=a,ZDFH=J3,NN是N£A〃:的"2系数补角〃，直接写出/N的大小的所

有情况（用含。和夕的代数式表示），并写出其中一种情况的求解过程.

12

专题03三角形中的边角关系（易错必刷28题5种题型专项训练）

⑪型人栾合

目录

【题型一】三角形三边关系的应用（共5题）.......................................................1

【题型二】与三角形中三线的综合探究问题（共5题）..............................................2

【题型三】与角平分线有关的三角形内角和问题（共5题）.........................................4

【题型四】与角平分线有关的三角形外角问题（共7题）...........................................6

【题型五】三角形中新定义型问题（共6题）......................................................9

多题型大通关

<-----------------------------------------------

【题型一】三角形三边关系的应用（共5题）

1.（23-24七年级下•黑龙江哈尔滨•期末）如果a、b、c为一个三角形的三边，那么点-c）在第一

象限.

【答案】二

【知识点】三角形三边关系的应用、判断点所在的象限

【分析】本题考查了三角形的三边关系及点的坐标特点，首先根据三角形的三边关系判断点尸的纵坐标的

符号，然后根据点的坐标的特点确定点尸的位置即可.

【详解】解：•••〃、力、c,为一个三角形的三边，

-,-a+b>c，

.'.a+b-c>0,

.•.点?（-2,a+b-c）在第二象限，

故答案为：二.

2.（23-24七年级下•四川成都•期末）已知。、b、。为VA4C的三边长，b、。满足|〃—3|+（c—5『=0,。

为方程,―3|=1的解，则VA3C的周长为.

【答案】12

【知识点】有理数鼎的概念理解、绝对值非负性、三角形三边关系的应用、绝对值方程

13

【分析】本题考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质等知识，利用绝对值的性质以及

偶次方的性质得出反C的值，再解绝对值方程可得。的值，进而利用三角形三边关系得出。的值，进而求

出VABC的周长.

【详解】解函心一3|+（。-5）2=0,

0h-3=（）,c-5=0,

121Z>=3,c=5,

同。为方程,-3|=1的解，

回。=4或2,

又2+3=5,

0«=4.

（3VABC的周氏为4+3+5=12,

故答案为团12.

3.（22-23八年级上•河北廊坊•期末）在VA8C中，BC=8,AB=].

⑴若AC是整数，求AC的长；

⑵已知80是VA4C的中线，若△48。的周长为10,求△BCD的周长.

【答案】（1）AC=8：

⑵17

【知识点】根据三角形中线求长度、三角形三边关系的应用

【分析】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边

之差小于第三边是解题的关键.

（1）根据三角形的三边关系解答即可；

（2）根据三角形的中线的定义得到AO=CD,根据三角形的周长公式计算，得到答案.

【详解】（1）解：由题意得：BC-A13<AC<BC+AI3,

.\7<AC<9,

•.•AC是整数，

.•.4C=8；

（2）解：Q8O是V4BC的中线，

14

DAD=CD,

却---------

•.•△ABD的周长为10,

/.AB+AD+I3D=\0,

AD+BD=9,

..△ACO的周^=BC+BD+CD=BC+AD+BD=S+9=n

4.（23-24七年级下•江苏宿迁•期末）已如：a、b、。为V/1〃C的二边长，且。、〃满足

\2a-b+2\+（a+b-^=0.

⑴求c的取值范围；

⑵在（1）的条件下，若2x-c=l,求x的取值范围.

【答案】（l）4<c<8

,小59

（2）-<A<-

【知识点】求不等式组的解集、三角形三边关系的应用、绝对值非负性、加减消元法

【分析】本题考查绝对值的非负性、平方的非负性和三角形三边关系，解一元一次不等式，解题的关键是

利用非负性求出。，b的值.

（1）利用非负性求出。，力的值，再利用三角形三边关系，即可求解；

（2）根据第题意，列出不等式求解即可.

【详解】（1）解：团|2〃一。+2|+（〃+。—8『=0,

2a-b+2=0

"a+b-S=0，

解得Q=2,Z?=6,

•.•6-2=4,6+2=8,

04<c<8.

(2)解；02x-c=l,

15

:.c=2x-1

/.4<2x-l<8

.\5<2x<9

...-5<X<9一・

22

5.（23・24八年级上•四川达州•期末）（1）如图1,在中，BC=3,AC=4,A3=5,。为4B边上一

点，且△AC。与的周长相等，求4〃的长.

22

（2）如图2,在aABC中，BC=a,AC=btAB=BC+AC\E为BC边上一点,且与aACE

的周长相等；尸为AC边上一点，且△/记尸与的周长相等，求CEC尸（用含〃，〃的式子表示）.

【知识点】三角形三边关系的应用、其他问题（一元一次方程的应用）、运用完全平方公式进行运算、计算

多项式乘多项式

【分析】（1）根据AACD与的周长相等可得出BD=AD+L再由4D+SD=5,联立求解方程组即

可解出力O的长：

（2）设A8=c,则。2="+从，根据△ABE与A4CE的周长相等得出

CE+AC=BE+AB=^（AB+BC+AC）f从而设CE=x,可得出x的表达式，设C"=y,可得出y的表达

式，进而求出CEgC尸的值.

【详解】解：（1）团“18与△BCD的周长相等，

^AC+AD=I3C+I3D,即4+40=3+80,

回BD=AD+\>

回AD+O8=5,

团4D+AO+1=5,

解得40=2；

(2)设46=c,则c2=/+ZA

团AAH石与△ACE的周长相等，

16

^CE+AC=BE+AB=-(AB+BC+AC),

2

设CE=x,

团x+Z>=：(a+〃+c),

I,、

团X=5(zO-〃+C),

设。/同理可得y=g(〃+。—。)，

[?]CE-CF=—(fl-Z?+c)x—(Z?+c-«)=—|^c2-(A-/?)2j,

22

0AB2=BC1+AC2即c2=a2+b2,

0CECF=—ab.

2

【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，完全平方公式及多项式的乘法以及线段的和差关系，解答本题

的关键是仃细审题，细化解题思路，难度较大.

【题型二】与三角形中三线的综合探究问题(共5题)

6.(23-24七年级下•重庆万州•期末)如图，在锐角VA4c中,两条高线CQ、BE相交于点。.

图1图2

⑴如图I,若4=60。，求/4OC的度数；

(2)如图2,ZAfiC=50°,ZACT=60°,NA8E与ZAC。的角平分线交于点M,求/BMC的度数；

(3)如图3,对任意的锐角VA8C,NA8E与NAC。的角平分线交「点例，直接写出N3MC的度数是

【答案】⑴NBOC的度数为120°；

⑵/8MC=90。；

(3)90°

【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、与三角形的高有关的计算问题

17

【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和定理，三角形的高.

(1)利用垂直的性质求得NBCD=9()o-NA8C,ZCBE=90°-ZACB,再利用三角形内角和定理即可求

解；

(2)利用垂直的性质结合角平分线有关的三角形内角和定理，计算即可求解；

(3)同(2)计算即可求解.

【详解】(1)解：团锐角VA4c中，两条高线CD、BE相交于点。，

0ZfiCD=90°-ZABC,ZCBE=900-ZACB,

团ZBOC=1800-NCBE-/BCD

=180°-(90°-ZACB)-(90°-ZABC)

=ZACB+ZABC

=180°-ZA=120°,

答：NBOC的度数为120。：

(2)解：(3ZABC=50o,ZACT=60°,

0ZACD=60°-ZBCD=60°-(90°-50°)=20°,

ZABE=50°-NCBE=50°-(90°-60°)=20°,

团2A8E与ZACD的角平分线交『点M,

=-ZABE=\00,ZACM=-Z4CD=10°,

22

0ZA/SC4-ZA/C5=ZABC+ZACfi-ZABM-ZAGV/=llOo-2Oo=9Oo；

0ZBMC=180°-(/MBC+/MCB)=90°；

(3)解：(3锐角VABC中，两条高线8、BE相交于点O,

0ZACD=ZACB-/BCD=Z4CT-(90°-Z4BC)=ZACB+ZABC-90°,

ZABE=ZABC-NCBE=zL4BC-(90°-ZACH)=ZABC+ZACI3-9O0,

HNACO的角平分线交于点M,

ZACM=-ZACD,

22

0ZM8C+ZMCB=ZABC+ZACB-ZABM-ZACM

=ZABC+ZACB-^(ZABC+Z>\CB-90o)-1(ZACB+ZABC-90o)

18

=90°；

团ZBMC=180°-（/MBC+ZMCB）=90°.

7.（21-22七年级下•陕西汉中•期末）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究:

【习题回顾】：

⑴已知：如图1,在VABC中，Z4CB=90°,AE是角平分线，CO是高，AE、CO相交于点尸.试说

明：/CFE=NCEF；

【变式思考】:

⑵如图2,在V/WC中，NACA=90。，C。是48边上的高，VA8C的外角NR4G的平分线“交CQ的延

长线于点尸，A”的反向延长线与3c边的延长线交于点E,若"二40。，求/CM和NC正的度数.

【答案】（1）见解析

（2）25°,25°

【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和

问题

【分析】（I）先证明4=NAC。，ZCAF=ZDAF,再结合三角形的外角的性质可得结论；

（2）先求解NG44=/A+NACB=130。，结合角平分线可得/64尸=ND4b=65。，证明

ZADF=ZACE=90°,再利用三角形的内角和定理可得答案.

【详解】（1）解：VZACB=90°,CO是高，

...ZB+ZC4B=90°,ZJ\CD+NG46=900,

/.ZB=ZACD,

•.•A£是角平分线，

.\ZCAF=ZDAF,

NCFE=NCAF+ZACD,/CEF=/DAF+/B,

:.£CEF=NCFE.

19

(2)vZfi=40°,Z4C8=90°,

NG4B=N8+NAC8=40。+90。=130。，

•.•"为/BAG的角平分线，

ZGAF=ADAF=-xl30°=65°.

2

♦.•CO为48边上的高，

.\Z^DF=ZACE=90°,

/.ZCFE=90°-ZBAF=90°-65°=25°,

又•••NC4E=NG4E=65。，ZACE=90°,

Z.CEF=90。-ZCAE=90°—65°=25°.

【点睛】本题考查的是三角形的高，角平分线的含义，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性

质，熟练的利用三角形的外角的性质解题是关键.

8.(22-23七年级下•四川遂宁•期末)如图，已知：点。£分别在VABC的边上，连接

与CE交于点。，NBOC-NBAC=51°.

⑴如图1,当8QCE都是VA8C的角平分线时，求N8O。的度数；

(2)如图2,当&ZCE都是VA8C的高时，求N8OC的度数；

(3)如图3,当NA8O=2NACE时，探究与/CDO的数量关系，并说明理由.

【答案】(1)129°

(2)115.5°

(3)/OZX?—NBEO=17。，见解析

【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、与三角形的高有关的计算问题、.三角形的外角的定义及

性质、三角形内角和定理的应用

【分析】(I)根据角平分线的定义可得NO8C+/Ea=g(/A8C+/AC8),结合三角形的内角和定

理，得出N8OC=180°—(N33C+NEC8),ZBAC=\S00-2(ZDBC+ZECB),进而推出

NDBC+NECB=51。，即可求解;

20

(2)根据3。，CE都是△A8C的高，可得出24=180。一/。0七，进而得出/4=180。一280(7,根据

N8OC—/A=51。，则N8OC-(180。一/8。。)=51。，求解即可；

(3)根据三角形的外角定理可得NB£O=/A+/ACE,ZBOC=ZA^ZACE+ZABD,根据

/B0C-/A=51。，NABD=2/ACE,得出51。=/4。石+2/4。石，求出N4C£=17。，ABD=34°,

即可得出结论.

【详解】3)解：由8〃,C£都是AASC的角平分线,

6NDBC=NABD=-/ABC,/ECB=/ACE=-/ACB,

22

0NDBC+NECB=1(NA8C+/AC8),

回ZBOC=180°-(NDBC+AECB),

ZBAC=180°-(ZABC+Z4CB)=180。-2(ZDBC+ZECB),

0NBOC-NBAC=1800-(NDBC+ZEC5)-[1800-2(NDBC+NECB)]

=NDBC+/ECB=51。

0ZI3OC=180°-(ZD^C+ZECT)=180°-51°=129°；

(2)解:勖D,CE都是.ABC的高,

团N7\O8=/AEC=90。，

0ZA+ZADB+ZDOE+ZAEC=360°,

0N'A+90。+“OE+90。=360°,

团N'A=180°-/OOE,

⑦NDOE=NBOC,

(3NA=180°-/AOC,

团/。C—-51。，

回NACjl80。-/BOC)=51°,

0ZBOC=115.5°.

(3)解:NODC-NBEO=17。,理由如下：

©N'BEO=NA+/ACE,

0NBOC=/BEO+/ABD=NA+/ACE+/ABQ,

21

0NBOC—NA=ZACE+ZABD.

(3N'8OC-/A=51。，/ABD=2/ACE,

^5\°=^ACE+2^ACE,

0Z/1CE=17O,

0ZABD=2xl7°=34°,

团NBOC=/ODC+NDCO=NBEO+NABD,

团NBEO+34。=NODC+\70,

^ZODC-ZBEO=\T.

【点睛】此题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、三角形角平分线的定义、四边形的

内角和、三角形的高等知识，熟练掌握角之间的相互转化是解题的关键.

9.(22-23七年级下•河南南阳・期末)【图形定义】

有一条高线相等的两个二角形称为等高二角形.

例如：如图(1).在VHBC和△AEC中，A。和AD分别是AC和B'C边上的高线，且4)=大。'，则

【性质探究】

如图(1),用S△板,分别表示VA8C和dEC的面积.

则Sfc='C•ADS^BP=|BC.A'。',

^AD=AD

0S&ABC-S"&c=BC'B'Cf.

【住历应用】

⑴如图②，。是VA3c的边8c上的一点.若/3。=3,。。=4,则:5徵叱=：

⑵如图③，在VA8C中，3E分别是8c和A8边上的点.若配:A3=l:2,CD:BC=1:3,S^BC=1，求

VBEC和△CDE的面积.

【答案】⑴3:4

(2)S&CDE=~»S&BEC~T

02

22

【知识点】与三角形的高有关的计算问题

【分析】(1)根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案.

(2)根据VBEC和VABC是等高三角形和△CDE和V8EC是等高三角形即可知道三角形的面积比即底的

比，从而求出面积，

【详解】(1)304；

图③

解：如图，过点4作AEJ.8C,

则S/=料A旦；QC.4E

\-AE=AE

:•S4NBD:S*ADC=BD:DC=3:4.

(2)・.・△BEC和V43c是等高三角形,

S&BEC：S&&BC~BE:AB=1:2,

,„3_i,i

一~BEC~2_2X]_2；

和VB£C是等高三角形，

.s-Is-1x1-1

一乙CDE~3Q^BEC_32_6•

【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，理解等高的两个三角形的面积比等于底的比是解题的关键.

10.(22-23七年级下•广东深圳•期末)”等面积法〃是解决三角形内部线段长度的常用方法.如图1,在

为△A8c中，ZBAC=90°,作若A8=4,AC=3,BC=5,可列式：

11I?

-ABAC=-BCAH,解得AH=—.

225

23

⑴在题干的基础上,

①如图2,点尸为3C上一点，作/加_L48,PN工AC,设PM=4，PN=d?,求证：44+34=12；

②如图3,当点尸在CB延长线上时，猜想4、4之间又有什么样的数量关系，请证明你的猜想；

⑵如图4,在V/WC中，AB=AC=\O,BC=V2,S^ABC=4S,若点。是BC延长线上一点，且C£>=2,

过点4作/型_L4C,点P是直线跖上一动点，点。是直线AC上一动点，连接P。、PQ,求。的最

小值.

【答案】⑴①见解析；②猜想：3d2-44=12,证明见解析

(2)20.8

【知识点】与三角形的高有关的计算问题、垂线段最短

【分析】(1)①根据S“8C=S“"+SMCP，代入数据即可求解；

②作PN1AC,根据S^BC=-S&18P，代入数据即可求解；

(2)作点。关于宜线应:的对称点ZX,则,PD+PQ=PD'+PQ,过A作47JL8c于〃，过ZX

作D'G_LAC于G,根据S八ABC=g8CxA”=48求得A"=8,进而根据=〈DCxA”=：ACxDG

求得ZXG=20.8,由OP+PQ=PD'+PQ,可得当加，P,。共线，且。QJ_AC时，和最小，最小值为

。。的长，即可求解.

【详解】(1)①目S&ABC=S△人种+S^ACp

^-ABxAC=-ABxPM+-ACxPN

222

即；x4x3=；x4x4+；x3x4

24

A

N

—

Bpc

回44+3d2=12

②猜想：34-44=12

理由如下：，作PN工AC,

回S&ABC=S&ACP.SdABP

^-ABxAC=-ACxPN+-ABxPM

222

即一x4x3=—x3xd—x4x4

2222

（2）作点。关「直线BE的对■称点fX,

0PD=PD、PD+PQ=PDr+PQ

胤点。在BC延长线上，则X、B、C、。共线，

0BD=fiZy=BC+