数学新导学人教A版选修2-3课时作业2分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用（习题课）

课时作业2分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用(习题课)|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．用0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有()A．144个B．120个C．96个D．72个解析：由题意知，首位数字只能是4,5.若首位数字是5，则末位数字可从0,2,4中取1个，有3种方法．其余各位数字有4×3×2＝24种；由分步乘法计数原理知首位为5时，满足条件的数字个数为3×24＝72.若首位数字为4，则有2×4×3×2＝48个．依分类加法计数原理知满足条件的数字有72＋48＝120个．选B.答案：B2.如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为()A．96B．84C．60D．48解析：A有4种选择，B有3种选择，若C与A相同，则D有3种选择，若C与A不同，则C有2种选择，D也有2种选择，所以共有4×3×(3＋2×2)＝84种．答案：B3．高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有()A．16种B．18种C．37种D．48种解析：高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有43种不同的分配方案，若三个班都不去工厂甲则有33种不同的分配方案．则满足条件的不同的分配方案有43－33＝37(种)．故选C.答案：C4．将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有()A．24种B．28种C．32种D．36种解析：第一类，有一个人分到一本小说和一本诗集，这种情况下的分法有：先将一本小说和一本诗集分到一个人手上，有4种分法，将剩余的2本小说，1本诗集分给剩余3个同学，有3种分法，共有3×4＝12(种)；第二类，有一个人分到两本诗集，这种情况下的分法有：先将两本诗集分到一个人手上，有4种情况，将剩余的3本小说分给剩余3个人，只有一种分法．共有4×1＝4(种)；第三类，有一个人分到两本小说，这种情况的分法有：先将两本小说分到一个人手上，有4种情况，再将剩余的2本诗集和1本小说分给剩余的3个人，有3种分法．那么共有4×3＝12(种)．综上所述，总共有12＋4＋12＝28(种)分法．答案：B5．有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中取出2个几何体，使多面体和旋转体各一个，则不同的取法种数是()A．14B．23C．48D．120解析：分两步：第一步，取多面体，有5＋3＝8种不同的取法，第二步，取旋转体，有4＋2＝6种不同的取法．所以不同的取法种数是8×6＝48种．答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．某运动会上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．解析：分两步安排这8名运动员．第一步：安排甲，乙，丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排，所以共有4×3×2＝24种方法；第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，共有5×4×3×2×1＝120种．所以安排这8人的方式共有24×120＝2880种．答案：28807．将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数字，则每个格子的标号与所填的数字均不同的填法有________种．解析：1号方格里可填2,3,4三个数字，有3种填法，1号方格填好后，再填与1号方格内数字相同的号的方格，又有3种填法，其余两个方格只有1种填法．所以共有3×3×1＝9种不同的方法．答案：98．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则种植A，B的不同方法有________种．(用数字作答)解析：按从左往右把各垄田地依次列为1,2,3，…，10.分两步：第一步，先选垄，有1,8；1,9；1,10；2,9；2,10；3,10.共6种选法；第二步，种植A，B两种作物，有2种选法．因此，由分步乘法计数原理，不同的选垄种植方法有6×2＝12(种)．答案：12三、解答题(每小题10分，共20分)9．8张卡片上写着0,1,2，…，7共8个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？解析：先排放百位，从1,2，…，7共7个数中选一个有7种选法；再排十位，从除去百位的数外，剩余的7个数(包括0)中选一个，有7种选法；最后排个位，从除前两步选出的数外，剩余的6个数中选一个，有6种选法．由分步乘法计数原理，共可以组成7×7×6＝294个不同的三位数．10.编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1,2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，求不同的放法有多少种？解析：根据A球所在位置分三类：(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步乘法计数原理得3×2×1＝6种不同的放法．(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步乘法计数原理得3×2×1＝6种不同的放法．(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号，3号，5号盒子中的任何一个，有3种，余下的三个盒子放球C，D，E有3×2×1＝6种不同的放法，根据分步乘法计数原理得3×3×2×1＝18种不同方法．综上所述，由分类加法计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．|能力提升|(20分钟，40分)11．甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0,0,2,1,5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为()A．5B．24C．32D．64解析：5日至9日，有3天奇数日，2天偶数日，第一步安排奇数日出行，每天都有2种选择，共有23＝8(种)，第二步安排偶数日出行分两类，第一类，先选1天安排甲的车，另外一天安排其他车，有2×2＝4(种)．第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有22＝4(种)，共计4＋4＝8，根据分步乘法计数原理，不同的用车方案种数共有8×8＝64.故选D.答案：D12．从{－3，－2，－1,0,1,2,3}中，任取3个不同的数作为抛物线方程y＝ax2＋bx＋c的系数，如果抛物线经过原点，且顶点在第一象限，则这样的抛物线共有________条．解析：因为抛物线经过原点，所以c＝0，从而知c只有1种取值．又抛物线y＝ax2＋bx＋c顶点在第一象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)>0，,\f(4ac－b2,4a)>0，))由c＝0，得a<0，b>0，所以a∈{－3，－2，－1}，b∈{1,2,3}，这样要求的抛物线的条数可由a，b，c的取值来确定：第一步：确定a的值，有3种方法；第二步：确定b的值，有3种方法；第三步：确定c的值，有1种方法．由分步乘法计数原理知，表示的不同的抛物线有N＝3×3×1＝9(条)．答案：913．用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图所示①②)，要求在A，B，C，D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色．(1)若n＝6，为①着色时共有多少种不同的方法？(2)若为②着色时共有120种不同的方法，求n.解析：(1)为A着色有6种方法，为B着色有5种方法，为C着色有4种方法，为D着色也有4种方法，所以，共有着色方法6×5×4×4＝480(种)．(2)与(1)的区别在于与D相邻的区域由两块变成了三块．同理，不同的着色方法数是n(n－1)(n－2)(n－3)．因为n(n－1)(n－2)(n－3)＝120.又120<480，所以可分别将n＝4,5代入得n＝5时上式成立．即n的值为5.14．(1)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2且a(2)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1>a2且a解析：(1)分8类：当中间数为2时，百位只能选1，个位可选1、0，由分步乘法计数原理，有1×2＝2个；当中间数为3时，百位可选1、2，个位可选0、1、2，由分步乘法计数原理，有2×3＝6个；同理可得：当中间数为4时，有3×4＝12个；当中间数为5时，有4×5＝20个；当中间数为6时，有5×6＝30个；当中间数为7时，有6×7＝42个；当中间数为8时，有7×8＝56个；当中间数为9时，有8×9＝72个；故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240个．(2)分8类：当中间数为0时，百位可选1～9，个位可选1～9，由分步乘法计数原理，有9×9＝81个；