2024-2025版高中数学第三章不等式3322简单线性规划的应用素养评价检测含解析新人教A版必修5

简洁线性规划的应用

基础通关》

（20分钟35分）

X21,

y>i>

,c所表示的平面区域内的两个不同的点，则|MN|的

x-y+1>0,

（x+y<6

最大值是（

)

B.V17C.3&D.—

y>i>

表示的平面区域,

x-y+1>0,

x+y<6

G力⑴2），

因为M,N是区域内的两个不同的点，

所以移动点M,N,可得当M,N分别与对角线BD的两个端点重合时，距离最远,

2

因此|MN|的最大值是|BD|=/(5-1)2+(1-2)=V17.

x+y>2,

尸1<0,上的一个动点,

{0<y-l<1

则市^,丽的取值范围是()

A.[-2,0]B.[-2,0)C.[0,2]D.(0,2]

fx+y>2,

【解析】选B.不等式组等价为1%<1,

(l<y<2,

作出不等式组对应的平面区域如图：

设Z二而-O疝因为A(-1,1),M(x,y),

所以z-AO-t?M=x-y,即y=x-z,平移直线y=x-z,由图象可知当y=x-z,经过点D(0,2)时，直

线截距最大，此时z最小为z=0-2=-2.

当直线y=x-z,经过点B(1,1)时，直线截距最小,此时z最大为z=1-1=0.故-2Wz<0.

3.某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原

料的可用限额如表所示.假如生产1吨甲、乙产品可获利泄分别为3万元、4万元则该企业每

天可获得最大利润为()

甲乙|原料限额

A/吨3212

B/吨128

A.12万元B.16万元

C.17万元D.18万元

【解析】选D.依据题意，设每天生产甲x吨，乙y吨,

x>0,

y>0,

3x+2y<12,目标函数为z=3x+4y,作出不等式组表示的平面区域,如图中冏影部

x+2y<8,

分所示,

作出直线3x+4y=0并平移，易知当直线经过点A（2,3）时,

z取得最大值且z„eX=3X2+4X3=18,

故该企业每天可获得最大利润为18万元.

4.某农户安排种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜

和韭菜的产量、成本和售价如表.

每亩年产量每亩年种植成本每吨售价

黄瓜4吨1.2万元0.55万元

韭菜6吨0.9万元0.3万元

为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入-总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种桎面积

（单位:亩）分别为

【解析】设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x亩，y亩，则总利泗z=4X0.55x+6X

0.3y-1.2x-0.9y=x+0.9y.

(x+y<50,

此时x,y满意条件卜.2x+0.9y<54,

Lr>0,y>0.

画出可行域如图，得最优解为A(30,20).

答案：30,20

5.一农夫有基本农田2亩，依据往仔阅历，若种水稻，则每季每亩产后为400公斤；若种花生，则

每季每亩产量为100公斤,但水稻成本较高,每季每亩240元,而花生只需80元,且花生每公斤

卖5元,稻米每公斤卖3元，现该农夫手头有400元,那么能获得的最大收益为元.

【解析】设该农夫种x亩水稻,y亩花生时能获得利泗z兀,

(x+y<29x+y<2,

I240x+80y<400,3x+”5,

)^>O,x>0,

ly>0,{y>o,

z=960x+420y,作出可行域如图阴影部分所示,

16z

将目标函数变形为y=---x+----,

7420

1616

作出直线y=7~x,在可行域内平移直线y=—^-x,

可知当直线过点B时，z有最大值,

由解得G3

故当x=1.5,y=0.5时,z-=1650元，故该农夫种1.5亩水稻,0.5亩花生时，能获得最大利润，

最大利泗为1650元.

答案：1650

6.学校安排制作一些铁皮箱子,须要小号铁皮100块,大号铁皮45块.已知市场出售A、B两种

不同规格的铁皮，经过测算,A种规格的铁皮可同时裁得大号铁皮3块，小号铁皮10块;B种规

格的铁皮可同时裁得大号铁皮6块，小号铁皮12块.已知A种规格铁皮每张195元,B种规格铁

皮每张260元.分别用X,y表示购买A、B两种不同规格的铁皮的张数.

(1)用x,y列出满意条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

(2)依据制作需求,A、B两种不同规格的铁皮各买多少张花费资金最少?并求出最少资金数.

【解析】(1)由题意可得x,y满意的数学关系式为

3x+6y>45,

10x+12y>100,

x>0,y>0,%,y£N,

则对应的平面区域如图所示(取整点)：

当直线经过可行域中的M点（当M为整点）或靠近M的整点时，微距最小，此时z最小.由

5

3x+6y=45X=-

10%+12y=100得25'

此时可行域里的整点取（3,6）时z有最小值,

最小值z=195X3+260X6=2145,

即购买A,B两种铁皮分别为3张,6张时，花费资金最少,

为2145元.

能力进阶”

（30分钟60分）

一、选择题（每小题5分，共20分）

x<0

，则诉•刑

1.已知M(-4,0),N(0,4)->^P(x,y)的坐标x,y满意y>o

3x-4y+12>0

的最小值为（）

24196

ALB.—C.--------

2S25

【解析】选C.由点P（x,y）的坐标x,V满意

x<0

y20作出可行域如图,

3x-4y+12>0

则罚•律(x+2)2+(y-2)-8的几何意义为P(x,y)到点A(-2,2)的距离的平方再减8,由

1-6-8+122

d=---------=-.

SS

24196

可得(x+2)+(y-2)2-8的最小值为---8=-----.

2525

2.某企业生产甲、乙两种产品.已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨;生产每吨乙

产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利

润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨,那么该企业

可获得最大利润是()

A.12万元B.20万元C.25万元D.27万元

【解析】选D.设该企业在一个生产周期内生产甲产品x叱，乙产品y吨，获得利泗z万元,

f3x+y<13,

12x+3y18,

则依题意，有jx>0目标函数z=5x+3y,画出不等式组表示的平面区域及直线

（y>0：

/o:5x+3y=0,易知当平移，0经过点（3,4）时，Z取得最大值为5X3+3X4=27.

X+2<0,

x-2y+6>0,表示的区域Q1内任一点，点N是区域Qi关于直线/:y=x

{x+2y+2>0

的对称区域。2内的任一点则|冰|的最大值为（）

A.V2B,2^2C.4&I）.55/2

【解析】选D.作出不等式组对应的平面区域Qi,（阴影部分在其次象限）

因为平面区域。2与。।关于直线y=x对称，

所以要使MN的距离最大，则只需点M到直线y=x的距离最大即可，

fx-2y+6=0,

由图象可知当点M位于〈J的交点（-4,1）时，满意题意，

（X+2y+2=0

I-十1S^2

此时M到直线x-y=O的距离d=~<2--2--,

所以MN的最大值为2d=5V2.

传2y+2WO,

4.设不等式组，*jy+220,表示的平面区域为、，则（）

C>0,

A.原点。在Q内

B.。的面积是1

C.Q内的点到y轴的距离有最大值

D.若点P（xo,y。）£Q,则xo+yoWO

x-2y+2<0,

X—y+2>0,表示的可行域如图：

{x>0,

明显o不在可行域内部.。的面积不是1；

Q内的点到y轴的距离没有最大值；

点P（x0,yo）GQ,则xo+yo#=3,正确.

二、填空题（每小题5分，共20分）

5.甲、乙两工厂依据赛事组委会要求为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件,

二等奖奖品6件;制作一等奖、二等奖所用原料完全相同,但工艺不同，故价格有所差异.甲厂

收费便宜,但原料有限,最多只能制作4件奖品，乙厂原料足够,但收费较贵,它们的详细收费如

表所示，则组委会定做该工艺品的费用总和最低为元.

一等奖奖品二等奖奖品

工厂

收用/(元/件)收费/(元/件)

甲500400

乙800600

【解析】设甲厂生产一等奖奖品x件，二等奖奖品y件，x,y£N,

则乙厂生产一第奖奖品(3-x)件，二等奖奖品(6-y)件，

x+y<4,

3-x>0,

6y>0,

x,y£N.

设费用为Z元，则z=500x+^00y+800(3-x)+600(6-y)=-300x-200y+6000,

作出不等式I组对应的平面区域,如图阴影部分(包括边界)中的整点.

由图象知当直线经过点A时，直线在v轴上的截距最大,此时z最小.

(x=3,(x=3,

喉+y=4,解得6=17(中)，

故组委会定做该工艺品的费用总和最低为z„in=-300X3-200X1+6000

=4900(元).

答案：4900

6.已知不等式xy<ax2+2y2,若对随意xW(1,2),且y£⑵3],该不等式恒成立,则实数a的取值

范围是.

【解析】依题意得,当x£(1,2),且ye[2,3]时，不等式xyWax2+2y2,

xy-2y2y

即aN一一2

X・6飞明

1<X<2,y

在坐标平面内画出不等式组Q表示的平面区域，留意到一可视为该区域内的点

/sysJx

y

(x,y)与原点连线的斜率，结合图形可知，一的取值范围是(1,3),此时75<-2

X

因此满意题意的实数a的取值范围是a^-1.

答案:aN-1

7.某农户安排种植黄笋和西红柿,种植面积不超过30亩,衣入资金不超过25万元,假设种植黄

笋和西红柿的产量、成本和售价如表：

年产量/亩年种植成本/亩每吨售价

葛笋5吨1万元0.5万元

西红柿4.5吨0.5万元0.4万元

那么，该农户一年种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成木)的最大值为.

【解析】设药笋和西红柿的种植面积分别为x,y亩，种植总利泗为z万元，

fx+y<30

由题意可知1%+0.5y<25,一年的种植总利泗为

lx>0,y>0

z=0.5X5x+0.4X4.5y-x-05y=1.5x+1.3y,

作出约束条件表示的平面区域如图阴影部分:

平移直线1.5x+1.3y=0,当过点A(20,10)时，一年的种植总利润z取最大值43万元.

答案：43万元

8.太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物,

太极图无不跃居其上，这种广为人知的太极图，其形态如阴阳两鱼二抱在一起，因血被称为

“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分区域内的点(x,y)满意的条件为

(x2+y2<4,

<X<0,或x2+(y-l)Wl,则z=x+y的最大值为_______.

(x2+(y+l)2>l

【解析】依据线性规划的学问，将目标函数z=x+y对应的基准直线y=-x向上平移到阴影部分

的边界位置，即直线x+y-z=0与圆x?+(y-1)2=1在第一象限部分相切时，z取得最大值.依据圆

心(0,1)到直线x+y-z=0的距离等于1得(z>0),解得z=1+衣.

V2

-2

答案：1+近

三、解答题（每小题10分，共20分）

9.2024年武汉某医院用甲、乙两种原料为新冠肺炎病人配养分餐.甲种原料每10g含5单位

蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元.

若病人每餐至少须要35单位蛋白质和40单位铁质.试问:应如何运用甲、乙两种原料,才能既

满意病人的养分须要，乂使费用最省？

5x+7y>35,

10x+4y>40,

x>Q

（y>o.

目标函数为z=3x+2y,作出可行域如图所示：

3z3z

把z=3x+2y变形为尸一X+-,得到斜率为一,它是在y轴上的截距为一旦随z改变的一组平行直

2222

线.

3zz

由图可知，当直线y=一x+—经过可行域上的点A时，城距一最小，即z最小.

222

（10x+4y=40,zu”

由4+7y=35,得A（g，3）

14

所以znin=3X—+2X3=14.4.

所以甲种原料一X10=28(g),乙种原料3X10=30(g),

S

即当运用甲、乙两种原料分别为28g、30g时，才能既满意病人的养分须要，又能使费用最省.

10.某工厂要制造A种电子装置42台,B种电子装置55台,为了给每台装置配上一个外壳,须要

从甲乙两种不同的钢板上截取.己知甲种钢板每张面枳为2m2,可作A外壳3个B外壳5个；乙

种钢板每张面积为3可作A外壳和B外壳各6个.用这两种钢板各多少张，才能使点、的用料

面积最小？

【解析】设用甲种钢板x张，乙种钢板y张，总的用料面积为zm2,

3x+6y>42,

5x+6y>55,

x>O,xG/V,

{y>0,ye/v,

作出可行域如图：

3x+6y=42,

解方程组得点坐标为

5x+6y=55,A(7«7)

1

z=2x+3y=24一非整数.

调整，可得最优整数解是(5,5)和(8,3),此时znin=25.

所以用甲种钢板5张，乙种钢板5张或用甲种钢板8张，乙种钢板3张才能使总的用料面积最

少.

创新迁移》

(x>09

1.设关于X,y的不等式组]yNO,表示的平面区域为Q.记区域。上的点与点

[y>kx+l

A(0「1)距离的最小值为d(k),则

⑴当k=l时,d(l)=;

(2)若d(k)2衣,则k的取值范围是.

(X>0,

【解析】(1)关于x,y的不等式组[y>0,表示的平面区域为O,是如图的区域①，

(y>x+1

区域。上的点与点A(0,7)距离的最小值为d(k),d(1)=2.

⑵若d(k)可知区域Q上的点与点A(0,-1)距离的最小值为d(k)

直线y=kx+1恒过(0,1),由图形,可知直线经过B(1,0)时，区域。上的点与点A(0,7)距离的最

小值为

此时直线的斜率为：-1,所以k^-1.

答案：(1)2(2)[-1,+co)

a+b-2>0,

b2-3ab

b-a-X<0,求~「的取值范围•

!a<l,