【期末满分直达】高频考点突破卷（解析版）-北师大版(2024)九上

【高效】九年级数学上册必考重难点突破必刷卷（北师大版）【期末满分直达】高频考点突破卷（轻松拿满分）（考试时间：120分钟试卷满分：120分）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则的值是（

）A． B．3 C．2或 D．或1【答案】B【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得，，又由，代入得关于的方程，求解即可得的值．【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，，根据一元二次方程根与系数的关系可得，，，，即，，解得：或，，，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程判别式的应用，掌握一元二次方程根与系数关系：，是解决问题的关键．2．下列函数是y关于x的反比例函数的是（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝﹣【答案】C【分析】根据反比例函数的定义：形如的函数，叫做反比例函数；其中分母不能是多项式，只能是的一次单项式，即可．【详解】A．，分母是多项式，不满足反比例函数的定义，故不合题意；B．，分母是的二次单项式，不满足；C．，满足反比例函数的定义，故符合题意；D．，是正比例函数，不合题意．故选：C．【点睛】本题考查反比例函数的知识，解题的关键是掌握反比例函数的定义和解析式．3．下列几何体的主视图、左视图和俯视图完全相同的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，据此判断即可．【详解】解：A、圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆（带圆心），故本选项不符合题意；B、长方体的三视图都是矩形，但是矩形的大小不一定相同，故本选项不符合题意；C、圆柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图是一个圆形，故本选项不符合题意；D．正方体的三视图都是大小相同的正方形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．4．如图，一飞镖游戏板，其中每个小正方形的大小相等，则随意投掷一个飞镖，击中黑色区域的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】黑色区域有6个小正方形，全部小正方形共有16个，则根据概率计算公式即可求得随意投掷一个飞镖，击中黑色区域的概率．【详解】全部小正方形共有16个，黑色区域有6个小正方形，随意投掷一个飞镖，击中黑色区域的概率为：；故选：A．【点睛】本题考查了简单事件的概率，根据概率计算公式，关键是求得全部事件的结果数及某事件发生的结果数．5．函数的图象经过（1，-1），则函数的图象是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】先根据函数的图象经过（1，﹣1）求出k的值，然后求出函数的解析式，即可求解．【详解】∵图象经过（1，﹣1），∴k=xy=﹣1，∴函数解析式为，∴函数图象经过第二，四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，故选：D．【点睛】此题考查了反比例函数的解析式和图像，解题的关键是熟练掌握反比例函数解析式和图象的性质．6．如图，在平行四边形ABCD中，AE=6，EF=3，BG⊥AE，垂足为G，若BG=8，则△EFC的面积是（）A．12 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】由平行四边形的性质易得△EFC与△EAB相似，利用相似三角形的性质面积的比等于相似比的平方即可求得△EFC的面积．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠F=∠BAE，∵∠FEC=∠AEB，∴△EFC∽△EAB，∴；∵BG⊥AE，BG=8，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．7．在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽．中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．若丝绸花边的面积为，设丝绸花边的宽为，根据题意，可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】找出丝绸花边的总面积与丝绸花边的宽之间的关系式即可列出方程．【详解】解：由题意知：三条丝绸花边的面积和-两个重叠部分的面积=丝绸花边的总面积，∴设丝绸花边的宽为xcm，根据题意，可列方程为：2×40x+60x-2x×x=650，即2x⋅40+x⋅(60−2x)=650，故选B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的几何应用，仔细分析题中含有未知数所表示的量之间的数量关系并把各数量正确地表示出来是解题关键．8．已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是（）A．5 B．5 C．5 D．不能确定【答案】A【分析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、BP，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP＝QN＝BC，即可得出答案．【详解】解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，则P是AC中点，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP＝∠MBP，AB=BC，即Q在AB上，∵M为BC中点，∴Q为AB中点，∵MQ⊥BD，∴，∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴，BQ＝CN，∴四边形BQNC是平行四边形，∴，∴，而点Q是AB的中点，故PQ是△ABD的中位线，即点P是BD的中点，同理可得，PM是△ABC的中位线，故点P是AC的中点，即点P是菱形ABCD对角线的交点，∵四边形ABCD是菱形，则△BPC为直角三角形，∴CP＝AC＝3，BP＝BD＝4，在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC＝5，即NQ＝5，∴MP+NP＝QP+NP＝QN＝5，故选：A．【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．9．如图，点是反比例函数图像上的一动点，连接并延长交图像的另一支于点．在点的运动过程中，若存在点，使得，，则，满足（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，过点作轴于点，过点作轴于点，根据等腰直角三角形的性质得出，通过角的计算找出，结合“，”可得出，根据全等三角形的性质，可得出，进而得到，进一步得到．【详解】解：连接，过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示：由直线与反比例函数的对称性可知、点关于点对称，，又，，，，，，，又，，，，，点，，，，，，点是反比例函数图像上，，即，故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定及性质，解题的关键是求出点的坐标．10．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC经过坐标原点O，矩形的边分别平行于坐标轴，点B在函数（k≠0，x＞0）的图像上，点D的坐标为（﹣3，1），则k的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据反比例函数的几何意义只要求出矩形OEBF的面积，再根据矩形的性质可得S矩形OGDH＝S矩形OEBF，S矩形OGDH可通过点D（﹣4，1）转化为线段长而求得，最后根据反比例函数的所在的象限，确定k的值即可．【详解】解：如图，根据矩形的性质可得：S矩形OGDH＝S矩形OEBF，∵D（﹣3，1），∴OH＝3，OG＝1，∴S矩形OGDH＝OH•OG＝3，设B（a，b），则OE＝a，OF＝﹣b，∴S矩形OEBF＝S矩形OGDH＝OE•OF＝﹣ab＝3，又∵B（a，b）在函数（k≠0，x＞0）的图像上，∴k＝ab＝﹣3故选：B．【点睛】本题主要考查矩形的性质、反比例函数图像上点的坐标特征等知识点，灵活地将坐标与线段长进行相互转化是解答本题的关键．二、填空题（本大题共6个小题，每题3分，共18分）11．如图，在边长为1的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在内部的概率是________________．【答案】【分析】利用的面积除以整个网格的面积即可得．【详解】解：由题意可知，整个网格的面积为，的面积为，则向正方形网格中投针，落在内部的概率是，故答案为：．【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握概率公式是解题关键．12．如图，在中，，，点从点出发，沿着边向点以的速度运动，点从点出发，沿着边向点以的速度运动．如果与同时出发，那么经过______秒和相似．【答案】4或【分析】分两种情况讨论，由相似三角形对应边成比例列方程求解即可．【详解】解：设经过x秒，△PQC和△ABC相似，∴CP=8-x（cm），CQ=2x（cm），当△PCQ∽△ACB，则，∴，∴x=4，当△PCQ∽△BCA，则，∴，∴x=，综上所述：经过4或秒，△PQC和△ABC相似．故答案为：4或．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是解答本题的关键．13．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体，从正面看和从上面看的形状图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最少为______个，搭成该几何体的小正方体的个数最多为______个．【答案】

6

7【分析】根据从上面看到的图形确定第一层的个数，然后根据从正面看到的图形确定最多或最少的小正方体的个数即可．【详解】解：从上面看，第一层有5个小正方体，从正面看第二层最多有2个小正方体，最少有1个小立方体，故最少有5+1=6个小立方体，最多有5+2=7个小立方体，故答案为：6，7．【点睛】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．14．矩形ABCD中，AB=10，AD=16，点E是射线AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在处，如果恰在BC的垂直平分线上时，则AE的长为____________．【答案】5或20##20或5【分析】当点E在AD上时，设AE=x，则EG=8-x，根据，列方程求解；当点E在AD延长线上时，设AE=x，则EG=x-8，根据，列方程计算即可．【详解】解：当点E在AD上时，如图所示，因为矩形ABCD中，AB=10，AD=16，GH是线段BC的垂直平分线，所以AB==GH=10，BH=HC==8，∠H=∠G=90°，所以=6，所以．设AE=x，则EG=8-x，在直角三角形中，，所以，解得x=5，故AE=5；当点E在AD延长线上时，如图所示，因为矩形ABCD中，AB=10，AD=16，GH是线段BC的垂直平分线，所以AB==GH=10，BH=HC==8，∠H=∠G=90°，所以=6，所以．设AE=x，则EG=x-8，在直角三角形中，，所以，解得x=20，故AE=20；故答案为5或20．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，方程思想，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键．15．已知在长方形纸片中，，，现将两个边长分别为和的正方形纸片按图1、图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片中均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为；若时，则_________；若再在边长为大正方形的左上角摆放一个边长为的小正方形（如图3），当时，则图3中阴影部分的面积_________．【答案】

3

6.5##【分析】先将，，用用a，b表示，再分别根据与，计算即可．【详解】解：在图1中，根据题意得：，∴，同理在图2中，，∴∴，又∵，∴．又∵，即，将代入方程中得：解得：（舍去），∴．在图3中，∴故答案为：3；．【点睛】本题考查列代数式，整式的混合运算，解一元二次方程，掌握相关知识和技巧是解题的关键．本题难度较大，所列式子较复杂，需要较强的阅读理解能力和对数学思想的运用能力．16．如图，在平面直角坐标系中，，分别为轴、轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数的图像恰好过的中点，点的坐标为______．【答案】【分析】先连接，交于点，得到，，再证明≌，得到点是的中点，过点作于点，则是的中位线，通过∽，得到，解得．同理得到．再连接，作于，得到四边形是平行四边形，从而得到≌≌，等面积即可得到答案．【详解】如图，连接，交于点，矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，，，，，，而，≌，，即点是的中点，过点作于点，则是的中位线，则∽，则，而，则，解得，点是反比例函数上的点，则，而，故，设，则，则，则，解得负值已舍去，则，，连接，作于，，，四边形是平行四边形，，，≌≌，，，，，，，，为，故答案为：【点睛】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标的求法，涉及到翻折的性质，相似三角形性质的运用，平行四边形的判定，等面积法等解题方法，属于难题，能够熟练运用上述知识点是解题关键．三、解答题（本大题共8个小题，共72分；第17-18每小题6分，第19-20每小题8分，21-23每小题10分，第24小题14分）17．解下列一元二次方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）两边同时除以4，再用直接开平方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【详解】（1）解：或，解得：，（2）解：或解得：，【点睛】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的一般方法有：直接开平方法，公式法，配方法和因式分解法．18．关于的一元二次方程．(1)若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；(2)若是该方程的两个实数根，且，求的值．【答案】(1)m的取值范围是m＜0；(2)m的值是-2．【分析】（1）由一元二次方程的根的情况与判别式的关系可得Δ＞0，由此可解得m的值；（2）根与系数的关系及已知条件可得关于m的一元二次方程，解得m的值并根据（1）中的所得的m的取值范围作出取舍即可得出答案．【详解】（1）解：根据题意得：Δ=＞0，解得：m＜0．∴m的取值范围是m＜0；（2）解：根据题意得：，，∵，∴，∴，∴解得：，（不合题意，舍去），∴m的值是-2．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的情况与判别式的关系、及根与系数的关系及解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键．19．如图，安装路灯AB的路面CD比种植树木的地面PQ高身高1.8m的小明MN站在距离C点15m远的路面上．在路灯的照射下，路基CP留在地面上的影长EP为0.4m，小明留在路面上的影长NF为3m，求路灯AB的高度．【答案】9m【分析】如图，设，．构建方程组解决问题即可．【详解】解：如图，设，．，，，解得，经检验是分式方程的解，，答：灯的高度为．【点睛】本题考查中心投影等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题．20．有一块长，宽的矩形铁皮．(1)如图1，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长．(2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，若剩余部分恰好能折成一个底面积为的有盖盒子，请你求出裁去的左侧正方形的边长．【答案】(1)(2)【分析】（1）设裁去的正方形边长为，然后根据长方形面积公式列出方程求解即可；（2）设裁去的左侧正方形的边长为，然后根据长方形面积公式列出方程求解即可．【详解】（1）解：设裁去的正方形边长为，由题意得：，解得，（舍去）答：裁去的正方形边长为．（2）解：设裁去的左侧正方形的边长为，由题意得：，解得，（舍去）答：裁去的左侧正方形的边长为．【点睛】本题主要考查了一元二次的应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键．21．为了培养学生对航天知识的学习兴趣，组织全校800名学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为分）分成四组，组：；组：；组：；组：，并得到如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：(1)扇形统计图中表示“”的扇形圆心角的度数是_________．(2)请补全频数分布直方图；(3)规定学生竞赛成绩为优秀，估计全校竞赛成绩达到优秀的学生人数是_________名．(4)竞赛结束后，八年级一班从本班获得优秀的甲，乙，丙，丁四名同学中随机抽取两名宣讲航天知识．请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到甲，乙两名同学的概率是多少？【答案】(1)(2)见解析(3)480(4)【分析】（1）由的人数除以所占百分比得出的值求出人数，用乘以“”所占的比例即可；（2）求出A、组人数即可补全图形；（3）由全校总人数乘以达到优秀的学生人数所占的比例即可；（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，再由概率公式求解即可．【详解】（1）由题意得：（名），则扇形统计图中，表示“”的扇形圆心角的度数是，故答案为：；（2）组人数为（人），组人数为（名），补全频数分布直方图如下：（3）估算全校竞赛成绩达到优秀的学生人数为：（名），故答案为：480；（4）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为．【点睛】本题考查的是用树状图法求概率以及频数分布直方图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．22．已知：正方形，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转．(1)当三角板旋转到图1的位置时，求证：；(2)若，点M是边的中点，连接，与交于点O，当三角板的边与边重合时（如图2），若，求出和的长．【答案】(1)证明见解析(2)DF=，【分析】（1）由正方形和等腰直角三角形的性质判断△ADF≌△CDE即可；（2）证得，由勾股定理得DM=，据此求得DO=，结合OF=知DF=，再证得，据此计算即可．【详解】（1）证明：∵正方形ABCD和等腰直角三角形CEF，∴FD=DE，CD=AD，∠ADC=∠EDF=90°，∴∠ADF=∠CDE，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴CE=AF；（2）∵M是AB的中点，∴，∵ABCD，∴，∴在Rt△DAM中，AD=6，AM=3，∴DM=，∴DO=，∵OF=，∴DF=，∵∠DFN=∠DCO=45°，∠FDN=∠CDO，∴，∴，，．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．23．数学活动课上，老师给出如下定义：如果一个矩形的其中一边是另一边的倍，那么称这个矩形为“和谐矩形”如图，在矩形中，，则矩形是“和谐矩形”是边上任意一点，连接，作的垂直平分线分别交于点与的交点为，连接和．(1)试判断四边形的形状，并说明理由；(2)如图，在“和谐矩形”中，若，且是边上一个动点，把沿折叠．点落在点处，若恰在矩形的对称轴上，则的长为______；(3)如图，记四边形的面积为，“和谐矩形”的面积为，且，若为常数，且，求的长．用含有的代数式表示．【答案】(1)四边形BFEG是菱形．理由见解析(2)或(3)【分析】（1）由矩形的性质及全等三角形的性质先证明四边形BFEG是平行四边形，再由FG⊥BE证明四边形BFEG是菱形；（2）当点在经过AB、CD中点的对称轴上时，可证明是等边三角形；当点在经过AD、BC中点的对称轴上时，可证明点E为AD边的中点，分别求出相应的AE的长即可；（3）由（1）可知四边形BFEG是菱形，设BF=EF=x，四边形ABCD是“和谐矩形”，且AB=a，则AD=2AB=2a，由勾股定理分别求出EF、AF、BE的长，再由面积等式列方程求出FG的长即可．【详解】（1）解：四边形是菱形．理由：如图1，∵矩形ABCD，∴，；垂直平分，，≌，，四边形是平行四边形；，四边形是菱形．（2）如图，设矩形的对称轴交于点，交于点，点在上，连接，由折叠得，垂直平分，，垂直平分，，四边形是矩形，由（1）同理可得，四边形是菱形，；，，，，，是等边三角形，，，，，，且，，；如图，矩形的对称轴交于点，交于点，点在上，垂直平分，，，四边形是正方形，，，等于点到直线的距离，点与点重合，，与重合，点与点重合，，综上所述，的长为或，故答案为：或．（3）如图，由（1）得，四边形是菱形，设，四边形是“和谐矩形”，且，，，，，，，，，由得，，【点睛】此题重点考查矩形的性质、菱形的判定与性质、轴对称的特征、勾股定理、二次根式的化简、分类讨论数学思想的应用等知识与方法，此题综合性较强，计算较为烦琐，难度较大，属于考试压轴题．