《多边形的内角和》教案

《多边形的内角和》教案教学目标教学目标：探索并证明多边形的内角和定理及外角和定理，并进行相关的计算与证明.教学重点：探索并证明多边形内角和定理.教学难点：把多边形问题转化为三角形问题的研究方法.教学过程时间教学环节主要师生活动2分14分5分1分知识回顾探究新知例题解析巩固新知课堂小结上节课我们学习了多边形的定义及相关概念，探究了对角线的条数与边数n的关系，下面我们一起来回顾1.多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.如果一个多边形由条线段组成，那么这个多边形叫做边形；2.多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角；3.多边形边与它的邻边的延长线组成的角叫多边形的外角；4.连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线；5.边形有个顶点，个内角，个外角，一个顶点可以引条对角线，可以把多边形分成个三角形，多边形共有条对角线.研究多边形的问题通过添加对角线，都可以转化为三角形.你能利用三角形内角和定理证明，任意四边形ABCD的内角和等于吗？已知：四边形，求证：.方法1：证明：连接，把一个四边形分成几个三角形，还有其他分法吗？方法2：如图，在四边形内部取一点，连接把四边形分成四个三角形所以四边形ABCD的内角和为:方法3：如图，在边上任取一点，连接，所以该四边形被分成三个三角形所以四边形ABCD的内角和为:方法4：如图，在四边形外任取一点,连接将四边形变成有一个公共顶点的三个三角形，再减去的内角和180，即可得四边形的内角和为:以上这四种方法都运用了转化的思想，把四边形分割成三角形，转化为已学的三角形内角和进行求解.四边形可以如此解决，多边形的问题也可以通过添加对角线转化成三角形问题来解决.如图1可得多边形的内角和为如图2多边形的内角和如图3多边形的内角和如图4多边形的内角和通过探究得到多边形内角和公式为小结：多边形的问题可以转化为三角形的问题来研究，将未知转化为已知.多边形的内角和仅与边数有关，与多边形的大小无关；请问八边形的内角和是，十边形的内角和是.下面我们一起来看两个例题例如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？根据题意画图，在四边形中，已知，所以如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.例如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？因为六边形的任何一个外角加上与它不相邻的内角都等于，因此六边形的6个外角加上它们相邻的内角，所得的总和等于.所以外角和为同学们也可以像这样理解，为什么多边形的外角和等于360度？如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向.在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和.由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角,所以多边形的外角和等于360度.所以任何多边形的外角和都等于，不随边数的改变而改变.请同学们根据所学习的新知来做一组练习：求出下列图形中的值.根据四边形的内角和是360，已知一个角是90，另一个角是140，可得x=65一个多边形的内角和是1620°，它是边形.根据多边形的内角和公式，可得，解方程得n=11所以十一边形.一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形为____边形.由一个多边形的每一个外角都等于30°多边形的外角和是360，用360除以30可得这个多边形是十二边形.一个多边形的内角和与外角和相等，它是几边形？由多边形的内角和与外角和相等，可得方程为解得n=4，所以多边形的内角和与外角和相等是四边形.课堂小结，本节课我们学习了1.把多边形的问题可以转化为三角形的问题来研究，将未知转化为已知.2.多边形的内角和为，内角和仅与边数有关，与多边形的大小无关，边数每增加1，内角和增加180°.3.多边形的外角和为，不随边数的改变而改变.2分布置作业教科书P24-25复习巩固2，3，4，5，6.知能演练提升一、能力提升1.如果一个正多边形的每一个外角都是锐角,那么这个正多边形的边数一定不小于()A.3 B.4 C.5 D.62.若一个多边形的边数由5增加到11,则内角和增加的度数是()A.1080° B.720° C.540° D.360°3.如图,∠1,∠2,∠3,∠4是五边形ABCDE的外角,且∠1=∠2=∠3=∠4=70°,则∠AED的度数是()A.110° B.108° C.105° D.100°4.游戏中有数学智慧,找起点游戏规定:从起点走五段相等直路之后回到起点,要求每走完一段直路后向右边偏行,成功的招数不止一招,可助我们成功的一招是()A.每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走B.每段直路要短C.每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走D.每段直路要长5.如果一个多边形的内角和是其外角和的一半,那么这个多边形是()A.六边形 B.五边形 C.四边形 D.三角形6.若凸n边形的内角和为1260°,则从一个顶点出发引的对角线条数是.

★7.如图,在四边形ABCD中,∠A+∠B=210°,且∠ADC的平分线与∠DCB的平分线相交于点O,则∠COD的度数是.

8.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,求这个多边形的边数和内角和.★9.如图,求∠A+∠B+∠OCD+∠ODC+∠E+∠F的度数.二、创新应用★10.如图,小明从点A出发沿直线前进10米到达点B,向左转45°后又沿直线前进10米到达点C,再向左转45°后沿直线前进10米到达点D,……照这样走下去,小明第一次回到出发点A时所走的路程为()A.100米 B.80米 C.60米 D.40米

知能演练·提升一、能力提升1.C每个外角都是锐角,即小于90°,设边数为n,则这些锐角的和一定小于n×90°.而外角和为360°,所以360°<n×90°,n>4,即n不小于5.2.A因为每增加一条边,内角和增加180°,所以增加6条边,内角和增加180°×6=1080°.3.D由题意知∠AED的补角为80°,则∠AED=100°.4.A依题意,行走的路线是正五边形,正五边形的每一个外角的度数为360÷5=72°,故选A.5.D多边形的外角和是360°,内角和等于外角和的一半,则内角和是180°,可知此多边形为三角形.6.6因为凸n边形的内角和为1260°,所以(n-2)×180°=1260°,得n=9.故从一个顶点出发引的对角线的条数为9-3=6.7.105°∵四边形的内角和为360°,∠A+∠B=210°,∴∠ADC+∠BCD=360°-210°=150°.∵DO,CO分别为∠ADC与∠BCD的平分线,∴∠ODC=12∠ADC,∠OCD=12∠∴∠ODC+∠OCD=12(∠ADC+∠BCD=12×150°=75°∴∠COD=180°-75°=105°.8.解由题意知这个多边形的内角和为3×360°-180°=900°.设这个多边形的边数为n,根据题意,得(n-2)×180°=900°,解得n=7.故这个多边形的边数为7.9.解如图,连接BE,则在△COD与△BOE中,∠ODC+∠OCD+∠COD=180°,∠OBE+∠OEB+∠BOE=180°.∵∠COD与∠BOE是对顶角,∴∠COD=∠BOE.∵∠ODC+∠OCD=180°-∠COD,∠OBE+∠OEB=180°-∠BOE,∴∠ODC+∠OCD=∠OBE+∠OEB.∴