第10章 数的开方期末复习（知识清单）（解析版）-华东师大版(2024)八上

第10章数的开方一、平方根与算术平方根1.平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。2.算术平方根的定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。算术平方根具有非负性，即算术平方根的结果总是非负的。零的算术平方根是零；负数没有算术平方根。3.开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。二、立方根与开立方1.立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；零的立方根是零。立方根具有唯一性。2.开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。三、实数与数轴1.实数的定义：有理数与无理数统称为实数。2.数轴上的点：数轴上的每一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）都可以用数轴上的一个点来表示。3.无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。四、运算与性质1.平方根与算术平方根的运算：会利用平方运算求平方根，会用数学符号“±√”表示平方根，用“√”表示算术平方根。能用计算器求一个数的平方根或算术平方根。2.立方根的运算：会用立方运算求立方根，会用数学符号“∛”表示立方根。能用计算器求一个数的立方根。3.实数的大小比较：有理数的所有运算法则及运算律均适用于实数的运算。对于无理数的大小比较，通常可以取它们的近似值来进行。一、平方根与立方根的概念混淆1.平方根的理解：易错点在于对平方根有两个值（一个正数和一个负数）的理解不清，特别是当题目只要求算术平方根时，容易误写为两个值。2.立方根的理解：立方根只有一个值，但学生在计算时容易受平方根的影响，错误地认为立方根也有正负两个值。二、被开方数的取值范围不清1.平方根的被开方数必须为非负数，学生在处理实际问题时，容易忽视这一点，对负数开平方。2.立方根的被开方数可以为任意实数，但学生在计算时，有时会因为对平方根的理解惯性，错误地认为立方根的被开方数也必须为非负数。三、开方运算与平方、立方运算的关系不清1.开平方与平方是互为逆运算，但学生在解题时，容易忽视这一点，特别是在解方程时，容易忘记对平方根的结果进行平方检验。2.开立方与立方也是互为逆运算，但学生在处理实际问题时，容易将开立方与平方根混淆，导致计算错误。四、无理数的处理不当1.无理数的表示：学生在表示无理数时，容易因为对根号的理解不清，导致表示错误。2.无理数的大小比较：无理数的大小比较通常需要通过取近似值来进行，但学生在比较时，容易忽视这一点，直接进行比较，导致错误。五、计算器的使用不当1.学生在使用计算器求平方根和立方根时，容易因为操作不当或理解不清，导致计算结果错误。2.特别是在处理复杂运算时，学生容易忽视计算器的精度限制，导致计算结果不准确。题型01平方根的概念1.下列说法中，错误的是（

）A．5是25的算术平方根 B．的平方根是C．0的平方根与算术平方根都是0 D．的平方根是【答案】D【分析】本题主要考查平方根，算术平方根的性质及计算方法，掌握以上知识是解题的关键．根据平方根和算术平方根的性质，逐一分析选项．【详解】解：A.25的算术平方根是5，正确．B.，9的平方根是，正确．C.0的平方根和算术平方根均为0，正确．D.，16的平方根是，但选项仅指出，错误．故选：D．2.下列说法中正确的有（

）①一个数的算术平方根一定是正数；②一个正数有两个平方根，它们互为相反数；③的平方根记为；④表示的平方根．A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【分析】此题考查了算术平方根和平方根，根据算术平方根和平方根的意义分别进行判断即可．【详解】解：①0的算术平方根是0，故原说法错误；②一个正数有两个平方根，它们互为相反数，说法正确；③的平方根记为，原说法错误；④表示的平方根，说法正确．综上可知正确的是②④，共2个，故选：B3.如果一个正数的平方根是与，那么的值为．【答案】【分析】本题考查了平方根，根据正数有两个平方根，它们互为相反数可得，解方程即可求解，掌握平方根的性质是解题的关键．【详解】解：∵一个正数的平方根是与，∴，∴，故答案为：．4.若一个正数的两个平方根是和，则这个正数是．【答案】9【分析】本题考查了平方根和相反数的应用，解题的关键是求出a的值．一个正数有两个平方根，它们互为相反数．根据平方根的定义和相反数，得出，求出，即得．【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和，∴，解得，∴．故答案为：9．5.已知一个正数的两个不相等的平方根分别是与．(1)求的值及这个正数；(2)若，求的值．【答案】(1)的值为0，正数的值为4(2)的值为1【分析】本题考查平方根的意义及求平方根、一元一次方程的应用等知识点，掌握一个正数有两个平方根且互为相反数是解题的关键．（1）由一个正数的两个平方根互为相反数求y值即可，求出x的值即可；（2）将代入得到关于k的方程求解即可．【详解】（1）解：由题意可知：，解得：；∴．答：求的值为0，正数的值为4（2）∵，∴，即，解得：．答：求的值为1．题型02立方根的概念1.下列结论正确的是（

）A．立方根等于本身的数只有 B．没有立方根C．的算术平方根是 D．的算术平方根是【答案】D【分析】本题考查了算术平方根及立方根的知识，根据算术平方根及立方根的定义逐一分析即可求解，掌握算术平方根及立方根的定义是解题的关键．【详解】解：立方根等于本身的数有，故错误；的立方根为，故错误；的算术平方根是，故错误；的算术平方根是，故正确；故选：．2.下列说法不正确的是（

）A．1的立方根是1 B．的立方根是C．的立方根是 D．125的立方根是【答案】D【分析】本题考查立方根的概念及求一个数的立方根，需根据各选项逐一判断正误．【详解】解：A.1的立方根是1，故正确；B.的立方根是；故正确；C.的立方根是；故正确；D.125的立方根是；故错误；故选：D．3.方程的根是．【答案】【分析】本题考查了立方根的概念，根据立方根的概念即可求解，掌握立方根的概念是解题的关键．【详解】解：∵，∴，故答案为：．4.已知x为实数，，则的平方根为．【答案】【分析】本题主要考查平方根、立方根，熟练掌握其定义及性质是解题关键．根据题意得：，解出，代入，求出平方根．【详解】解：，，解得，．故答案为．5.求下列各式的值：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查立方根．（1）根据立方根的定义求解即可；（2）根据立方根的定义求解即可；（3）根据立方根的定义求解即可；【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．题型03算术平方根的非负性1.已知：，则的值为（

）A．0 B．4 C．12 D．16【答案】C【分析】此题考查了算术平方根非负数的性质，代数式求值，根据算术平方根非负数的性质，两个非负数的和为0，则每个非负数均为0．由此可解出x和y的值，再代入计算．【详解】∵，，∴，∴，∴．故选：C．2.若，则等于（

）A．－1 B．1 C． D．【答案】A【分析】此题考查了算术平方根和平方的非负性，代数式求值，根据非负数的性质，若两个非负数之和为0，则每个非负数均为0．由此可解出x和y的值，再代入计算即可．【详解】∵∴，．∴，，∴，∴．∴．故选：A．3.已知实数、满足，则代数式的值为；【答案】1【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，掌握非负数的性质的应用是解题关键．根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性，求出x、y的值，再代入计算即可．【详解】解：，，，，，，故答案为：1．4.若，则的值是．【答案】【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，根据绝对值、完全平方及二次根式的非负性可得，，，求出的值再代入代数式计算即可求解，掌握几个非负数的和为时，这几个非负数都为是解题的关键．【详解】解：根据题意得：，，，且，，，，，，，，故答案为：．5.若与互为相反数，试解关于x的方程．【答案】【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负数，相反数的定义，运用平方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意得，算出，再代入，整理得，再运用平方根解方程，即可作答．【详解】解：∵与互为相反数，∴，∵，∴，即，∴，把代入，得，即，∴，∴题型04开方运算1.下列计算正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查算术平方根的计算，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键，需注意平方根与算术平方根的区别．根据算术平方根的定义化简即可得出答案．【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；B、，故本选项正确，符合题意；C、，故本选项错误，不符合题意；D、，故本选项错误，不符合题意；故选：D2.下列各式中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查平方根、算术平方根及立方根的概念，根据定义逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：A、，故选项不符合题意；B、，故选项不符合题意；C、，正确，故选项符合题意；D、，故选项不符合题意；故选：C．3.方程的解是．【答案】【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义求解即可．【详解】解：∵，∴方程的解是，故答案为：．4.计算：，，．【答案】【分析】分别根据立方根、绝对值、平方根的定义来计算这三个式子．本题主要考查了立方根、绝对值、平方根的定义，熟练掌握各定义的含义是解题的关键．【详解】解：，即故答案为：，，．5.求下列各式中的值：(1)；(2)．【答案】(1)或(2)【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，熟练掌握相关知识是解题的关键；（1）利用平方根解方程即可；（2）利用立方根解方程即可．【详解】（1）解：，∴，∴或；（2），∴，∴．题型05无理数的表示1.如图，在数轴上表示实数的点可能是（

）A．点 B．点 C．点 D．点【答案】C【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的大小估算，根据夹逼法可得出，且靠近4，结合数轴即可得出答案．【详解】解：，且靠近，即，且靠近4，则在数轴上表示实数的点可能是点M，故选：C2.如图，点表示的数为1，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查实数与数轴．根据题意得，结合点表示的数为1，点在点左侧，从而得到点表示的数．【详解】解：根据题意得，∵点表示的数为1，点在点左侧，∴点表示的数为，故选：A．3.数轴上点A表示的数为，将点A沿数轴向右平移2个单位长度到达点B，则点B所表示的数．【答案】/【分析】本题考查了实数与数轴，掌握数轴上点的移动规律是解题的关键．根据数轴上点的平移规律得到点对应的数即可．【详解】解：∵点表示的数为，将点沿数轴向右平移个单位长度到达点，∴点表示的数为．故答案为：．4.如图，正方形的面积为，顶点在数轴上，且表示的数为1．现以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点（点在点的右侧），则点表示的数为．【答案】/【分析】本题考查开平方，实数与数轴，正方形的面积，熟练掌握实数与数轴的关系是解题的关键．根据正方形的面积公式求得边的长，即为的长，即可得到点与原点的距离，进而得到点所表示的数．【详解】解：由正方形面积公式得，∴（负值舍），由作图可知，∵顶点在数轴上，且表示的数为1，∴点到原点的距离为，∴点表示的数为，故答案为：．5.现有五个实数：，，，，4．其中四个数分别对应如图所示数轴上的点A，B，C，D(1)点A表示数___________；点B表示数___________；点D表示数___________；(2)①用圆规在数轴上精确地表示出（提示：注意观察正方形的面积）；②将上述五个数按从小到大的顺序用“”连接【答案】(1)；；(2)①见解析；②【分析】本题主要考查了实数与数轴，利用数轴比较大小，解题的关键是熟练掌握实数与数轴．（1）根据数轴上点的特点，结合数轴得出答案即可；（2）①根据正方形的面积，得出正方形的边长，然后以0所表示的点为圆心，以的长为半径画弧，则此弧与数轴正方向的交点所表示的数为；②利用数轴上点的特点进行解答即可．【详解】（1）解：点A表示数为；点B表示数为；点D表示数为．故答案为：；；．（2）解：①如图，∵正方形的面积为：，∴正方形的边长；②根据数轴可得，．题型06无理数的大小比较1.下列实数比较大小，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查实数大小比较，根据实数比较大小的法则对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：，故A选项错误；，故B选项错误；，则，故C选项错误；，则，故D选项正确；故选：D2.若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查实数的大小比较，先利用夹逼法估算a，b的值，再比较大小即可．【详解】解：∵，，∴，，即，，∴，，又，∴，故选：C．3.比较大小：（填“”“”或“”）【答案】【分析】本题主要考查了实数的大小比较，利用平方法将无理数的大小转化为有理数的大小比较成为解题的关键．将无理数的大小转化为有理数的大小比较即可．【详解】解：∵，，且，∴．故答案为：4.比较大小：6；．【答案】【分析】本题主要考查了实数比较大小，根据，可得；根据可得，，据此可得答案．【详解】解：∵，∴；∵，∴，∴，，∴；故答案为：；．5.比较下列各组数的大小：(1)与2；(2)与2.5；(3)与．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了实数的大小比较，能灵活运用立方根的定义进行变形是解此题的关键．（1）先求出，再比较即可；（2）先求出，再比较即可；（3）先求出，再比较即可．【详解】（1）解：∵，，∴；（2）解：∵，，∴；（3）解：∵，，∴．题型07用计算器计算无理数1.用计算器求的近似值，其按键顺序正确的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】此题主要考查了利用计算器求算术平方根和立方根，根据计算器求算术平方根和立方根的按键方法求解即可．【详解】用计算器求的近似值，其按键顺序正确的是故选：A．2.利用计算器依次按键如图：则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（

）A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．0.9【答案】B【分析】本题考查了计算器——平方根和立方根，由按键顺序可知算式为，然后估算的取值，即可作答．【详解】解：依题意，由按键顺序可知算式为，∵，∴，∴，∴最接近的一个是0.6，故选：B3.用计算器计算（结果精确到0.01）：（1）；（2）．【答案】4.828.02【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握该定义是本题解题的关键．立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根．利用立方根的定义即可得到结果．【详解】（1）；（2）．故答案为：4.82，8.02．4.若按DY-570型科学计算器的键后，再依次按键，则显示的结果为．【答案】【分析】本题考查了计算器，解决本题的关键是熟记计算器的基础知识．【详解】根据题意，得，故答案为：．5.用计算器求下列各式的值（结果保留小数点后两位）：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了计算器与算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）按照题干要求，运用计算器进行计算，结果保留小数点后两位，即可作答．（2）按照题干要求，运用计算器进行计算，结果保留小数点后两位，即可作答．（3）按照题干要求，运用计算器进行计算，结果保留小数点后两位，即可作答．【详解】（1）解：依题意，；（2）解：依题意，；（3）解：依题意，．题型08平方根与立方根的综合1.一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根求出，再根据立方根的性质即可得．【详解】解：∵一个自然数的算术平方根为，∴，∴，∴的立方根是，故选：C．2.下列说法中，正确