第13章 勾股定理(高效培优单元测试·强化卷)（教师版）-华东师大版(2024)八上

第13章勾股定理(高效培优单元测试·强化卷)(考试时间:100分钟，试卷满分:120分)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．（本题3分）如图，直线，垂足为，线段，，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点．则的长为（）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】D【知识点】用勾股定理解三角形、求一个数的算术平方根【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理求出，再根据半径相等可得出，最后利用线段的和差关系即可得出答案．【详解】解：∵，∴，∵，，∴，∵以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点．∴，∴，故选：D．2．（本题3分）如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，、、分别表示这三个正方形的面积，若，，则长为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理得，再代入数值即可.【详解】解：在中，，∵，∴，解得.故选：B.3．（本题3分）下列各组数中，是勾股数的是（）A．12，15，18 B．12，35，36C．0.3，0.4，0.5 D．5，12，13【答案】D【知识点】勾股树（数）问题【分析】本题考查了勾股数的定义，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键．根据勾股数是满足较小的两个数的平方和等于最大的数的平方的一组正整数，据此逐项分析即可作答．【详解】解：A、，则不是勾股数；B、，则不是勾股数；C、，，不是正整数，则不是勾股数；D、，则是勾股数．故选：D．4．（本题3分）下列条件能判定为直角三角形的是（

）A．，， B．C．，， D．【答案】D【知识点】判断三边能否构成直角三角形、三角形内角和定理的应用【分析】本题考查勾股定理逆定理，三角形的内角和定理，根据勾股定理逆定理，以及有一个角是直角的三角形为直角三角形，进行判断即可．【详解】解：A、，不是直角三角形，不符合题意；B、由题意，，是钝角三角形，不是直角三角形，不符合题意；C、，不是直角三角形，不符合题意；D、，则，故，则为直角三角形，符合题意；故选D．5．（本题3分）我们称网格线的交点为格点．如图，在6行×5列的长方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】B【知识点】格点图中画等腰三角形、在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角三角形底边；②为等腰直角三角形其中的一条腰．【详解】解：①为等腰直角三角形底边时，符合条件的格点有2个：、；②为等腰直角三角形其中的一条腰时，符合条件的格点有2个：、．如图所示，共有4个格点满足．6．（本题3分）如图，正方形的边长为1，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……按照此规律继续下去，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．结合勾股定理找到规律，即可解题．【详解】解：∵正方形的边长为1，∴，∵是等腰直角三角形，∴，解得，∴，同理：，∴按照此规律继续下去，．故选：B．7．（本题3分）已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴，这与三角形内角和为矛盾②因此假设不成立，∴③假设在中，④由，得，即这四个步骤正确的顺序应是（

）A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②【答案】D【知识点】用反证法证明命题、等边对等角、三角形内角和定理的证明【分析】本题考查反证法，解题的关键是掌握反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．据此进行判断即可．也考查了等边对等角．【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：③假设在中，，④由，得，即，①∴，这与三角形内角和为矛盾，②因此假设不成立，∴，∴这四个步骤正确的顺序应是③④①②．故选：D．8．（本题3分）如图，一只蚂蚁沿着边长为的正方体表面从点出发，经过个侧面爬到点，则它爬行的最短路径是（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)【分析】本题考查了勾股定理与最短路径问题，先将正方体展开，然后找出最短路线，利用勾股定理直接计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时最短，∴，故选：．9．（本题3分）如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则的长是（

）．A．4 B．5 C．6 D．2【答案】C【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握以上知识是解答本题的关键；设，则，由勾股定理得：，，再根据，得到，然后即可求解；【详解】解：设，则，由勾股定理得：在中，，在中，，由题意可知：，∴，解得：，∴的长是，∴，故选：C；10．（本题3分）如图，是一个长方体的盒子，长，宽，高分别为，，，现将一根长为的筷子插入到盒子的底部，则筷子露在盒外的部分的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)【分析】本题考查了长方体中勾股定理的运用，解答此题的关键是要找出筷子最长和最短时在盒中所处的位置，然后计算求解．根据题中已知条件，首先要考虑筷子放进盒里垂直于底面时露在盒外的长度最长为；最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答，进而求出露在盒外的长度最短．【详解】解：①当筷子放进盒子垂直于底面时露在盒外的长度最长，最长为；②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，底面对角线长为，高为，由勾股定理可得盒里面的筷子长为，则露在盒外的长度最短为；故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分18分）11．（本题3分）你认为以下四种图形能用来证明勾股定理的图形有．（填序号）【答案】【知识点】勾股定理的证明方法【分析】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据图①可以得到，然后化简即可；根据图②，无法确定、、的关系．由图可得，，然后化简即可；由图可得，，然后化简即可．【详解】解：由图①可得，，化简，得：，故图①可以证明勾股定理；根据图②中的条件，无法证明勾股定理；由图可得，，化简，得：，故图可以证明勾股定理；由图可得，，化简，得：，故图可以证明勾股定理；故答案为：．12．（本题3分）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则．【答案】38【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差）【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键．先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答．【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，，∴在中，；在中，；在中，；在中，；∴．故答案为：38．13．（本题3分）如图，中，，，，把沿折叠，使边与重合，点B落在边上的处，则折痕等于．【答案】45【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形、勾股定理与折叠问题【分析】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、翻折不变性等知识，证明是解题的关键，属于中考常考题型．首先证明，设，在中，利用勾股定理求出x，再在中利用勾股定理表示出即可求解．【详解】解：∵，，，∴，∴，∵是由翻折而来，∴，，．设，在中，∵，，，∴，解得，∴．故答案为：45．14．（本题3分）如图①叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树．让图①中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图②），叫做第二代勾股树．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图③）．这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第六代勾股树图形中正方形的个数为．【答案】127【知识点】图形类规律探索、勾股树（数）问题【分析】本题考查图形的规律．根据前三代的正方形的个数分别为3、7、15可得第n代有个正方形，据此即可解答．【详解】解：第一代有3个正方形，第二代有7个正方形，第三代有15个正方形，第n代有个正方形，故第六代有（个）正方形，故答案为：127．15．（本题3分）如图，一根竹竿长2.5米，斜靠在竖直的墙上，竹竿底端离墙0.7米，若竹竿底端向左滑动0.8米，那么竹竿顶端下滑．米．【答案】0.4【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)【分析】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意列出已知数据，并利用勾股定理求解．由题意得，，，在中，，在中，，即可求出顶端下移的距离．【详解】解：如图，由题意得，，，，在中，，在中，，则顶端下移的距离米．三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（本题8分）利用网格作图．(1)在图①中找一点P，使P到和距离相等且；(2)在图②中，作出的角平分线．【答案】(1)图见解析(2)图见解析【知识点】线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理、三线合一、勾股定理与网格问题【分析】（1）根据角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质可知，作的角平分线与线段的垂直平分线的交点即为所求；（2）先利用勾股定理求得的长度，然后根据等腰三角形的三线合一的性质，取格点T，使，连接，取的中点J，作射线交于点D，线段即为所求．【详解】（1）解：如图①中，的角平分线与线段的垂直平分线的交点即为所求，（2）解：如图②所示，取格点T，使，连接，取的中点J，作射线交于点D，线段即为所求，∵，∴，∴为等腰三角形，又∵点J为的中点，∴平分，即为的角平分线．【点睛】本题考查作图——应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线，等腰三角形的三线合一的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用以上知识点，学会利用数形结合的思想解决问题．17．（本题8分）几何模型：条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则的值最小（不必证明）．模型应用：(1)如图1，正方形的边长为2，E为的中点，P是上一动点．连接，由正方形对称性可知，B与D关于直线对称．连接交于P，则的最小值是；(2)在等边三角形中，，点E是的中点，是高，在AD上找一点P，使的最小值为(3)如图2，，P是内一点，，Q、R分别是上的动点，求周长的最小值．（提示：分别作点P关于和的对称点，连接）【答案】(1)(2)(3)【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解【分析】本题主要考查了轴对称的性质，勾股定理，等边三角形的性质，正确作出辅助线和熟知轴对称的性质是解题的关键．（1）由轴对称的性质可得，则可推出当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长；利用勾股定理求出的长即可得到答案；（2）连接，可证明垂直平分，得到，则当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长；利用勾股定理求出的长即可得到答案；（3）分别作点P关于和的对称点，连接，，可推出当四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长；证明，再利用勾股定理求出的长即可得到答案．【详解】（1）解：∵B与D关于直线对称，∴，∴，∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长；∵为的中点，∴，在中，，∴，∴的最小值为；（2）解：如图所示，连接，∵是等边三角形，是高，∴垂直平分，∴，∴，∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长；∵点E是的中点，∴，∴，∴的最小值为；（3）解：如图所示，分别作点P关于和的对称点，连接，，∴，，，∴的周长，∴当四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长；∵，∴，∴的周长的最小值为．18．（本题8分）已知在中，D是的中点，，垂足为D，交于点E，且．(1)求的度数；(2)若，，求的长．【答案】(1)(2)【知识点】判断三边能否构成直角三角形、用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的性质【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是利用勾股定理求解线段长度，选择直角三角形借助勾股定理构造方程．（1）连接，根据线段垂直平分线的性质转化线段到中，利用勾股定理的逆定理可求度数；（2）设，则可用表示，在中利用勾股定理得到关于的方程求解值．【详解】（1）解：连接，是的中点，，，，，∴是直角三角形，；（2）解：在中，．所以．设，则在中，，所以．，，在中，，∴，解得．即．19．（本题8分）如图，在河流的一侧有一村庄C，河边有两个取水点A、B，村庄修建了道路和，其中由于某种原因，道路不再通行，村庄为了方便村民取水，决定在河边新建一个取水点、H、B在一条直线上，并修建道路经测量：百米，百米，百米．(1)判断是否为从村庄C到河边的最近道路，并说明理由；(2)求新修的道路比原来的道路短了多少百米？结果保留两位小数【答案】(1)是，理由见解析(2)新路比原路少百米【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、用勾股定理解三角形、垂线段最短【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．（1）运用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，再根据点到直线垂线段最短即可求解；（2）设百米，百米，在中，根据勾股定理可得，由此即可求解．【详解】（1）解：是，理由如下：百米，百米，百米，，，，是直角三角形，，是为从村庄C到河边的最近路；（2）解：设百米，，百米，百米，在中，，即，解得，，百米，新路比原路少百米．20．（本题8分）如图，在中，，点，，分别在，，上，且，．(1)求证：是等腰三角形；(2)用反证法证明不可能是直角三角形．【答案】(1)见解析(2)见解析【知识点】用反证法证明命题、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS）【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，证明≌是解题的关键．（1）根据，可知，再利用证明≌，得，即可证明结论；（2）假设是等腰直角三角形，则，由知≌，则，可可得到，则假设不成立．【详解】（1）证明：，，又，，在与中，，≌，，是等腰三角形；（2）解：假设是等腰直角三角形，则，，由（1）可知：≌，∴，，，，不可能是等腰直角三角形．21．（本题10分）如图1是由四片门扇连接成的折叠门，轨道装在天花板上，图2是示意图．已知轨道，在推拉合页C或E时，滚轮D，F在轨道上移动，门完全关上时，门扇恰好贴合整条轨道．已知每小片门扇宽度均相等，则．刚开始门扇叠合在左边，第一次向右拉开门扇，位置如图2时，，此时门被关上部分的长；接着继续向右拉门扇，位置如图3时，，，此时门被关上部分的长，那么比长多少厘米？

【答案】22厘米【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）【分析】题综合考查勾股定理及全等三角形的判定和性质的应用．构造全等三角形是解决本题的关键．门完全关上时，门扇恰好贴合整条轨道．已知每小片门扇宽度均相等，易得；根据，易得和是等边三角形，那么可得和的长均为，相加即为的长度；作于点M，于点N，可得，那么，在中，根据，即可求得和的长度，进而求得和的长度，相加后减去的长度即为拉伸的长度．【详解】解：∵轨道，，∴．∵，，∴．∴和是等边三角形．∴．∴．作于点M，于点N，∴，．．，．．又，∴，∴．∵，∴，∴，设为，则为．在中，，即．∴，．∴．∴，．∴比长．22．（本题10分）台风有极强破坏力，台风中心沿东西方向由A向B移动，C为一海港，点C与两点A，B的距离分别为，，，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到破坏影响．(1)海港C受台风影响吗？为什么？(2)若台风移动速度为30千米／时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】(1)会