期末复习（压轴题60题）（教师版）-华东师大版(2024)八上

期末复习（压轴题60题）一、单选题1．如图，在△ABC中，AC=BC,AB=6，△ABC的面积为12，CD⊥AB于点D，直线EF垂直平分BC，交AB于点E，交BC于点FA．4 B．6 C．7 D．12【答案】A【分析】本题考查中垂线的性质，两点之间线段最短，根据中垂线的性质，得到BP=CP，进而得到PB+PD=PC+【详解】解：连接PC，∵直线EF垂直平分BC，∴PC=∴PB+∵CD⊥∴S△∵AB=6∴CD=4∴PB+PD的最小值为故选：A．2．三个连续的正整数，中间的数为n，则它们的积为（

）A．n3+n B．n3+2n【答案】D【分析】本题考查了整式的运算，解题关键是根据题意列出算式，准确进行计算．【详解】解：三个连续的正整数，中间的数为n，则它们的积为(n故选：D．3．如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到点A2，使A1A2=A1D，连接A2D，得到第A．122024 BC．122024×60°【答案】B【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，得出∠A1A2D先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C=12180°-30°=75°，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠【详解】解：∵在△A1BC中，∠∴∠BA∵A1A2=A1∴∠A1同理可得∠EA3A∴第n个三角形中以An为顶点的底角度数是12∴第2024个三角形中以为顶点的底角度数是122023故选：C．4．如图．在△ABC中，BA=BC,BD平分∠ABC，交AC于点D，点M、N分别为BD、A．2 B．5 C．3.5 D．3【答案】D【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，根据等腰三角形的性质可知，BD垂直平分AC，根据垂直平分线的性质得出CM=AM，由此可得CM+MN=AM+MN，又由“两点之间线段最短”和“垂线段最短”可得当A、【详解】解：如图，连接AM，∵在△ABC中，BA=BC，BD∴BD⊥AC，∴BD垂直平分AC，∴CM=∴CM+如图，当A、M、N三点共线且AN⊥BC时，∵S△∴12解得AN=3∴CM+MN的最小值为故选：D．5．如图，在数轴上点A所表示的数为a，CD=1，则a的值为（

A．-5 B．-1-5 C．1-【答案】B【分析】本题考查了实数与数轴，由数轴可知AB=BD，BC=2【详解】解：由数轴可知AB=BD，∵∠BCD∴BD=∴AB=∴数轴上点A表示的数是-1-故选：B．6．如图，在△ABC中，D在AC上，E在AB上，且AB=AC，BC=BD，ADA．45° B．35° C．30° D．22.5°【答案】A【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，设∠ABD=x则可利用等腰三角形的两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和求∠A，∠C，∠【详解】解：设∠ABD∵DE=∴∠ABD∴∠AED又∵AD=∴∠A∴∠BDC∵BC=∴∠BDC∵AB=∴∠ABC△ABC中，∠∴3x解得2x∴∠A故选：A．7．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=32BF．给出下列四个结论：①DE=BFA．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】C【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．证明△ABD≌△ACD即可得到BD=CD,AD⊥BC，故②③正确；通过△CDE【详解】解：∵BF∥∴∠C∵BC平分∠ABF∴∠ABC∴∠C∵AD是△ABC∴∠BAD又∵AD=∴△ABD∴BD=CD，∠∴AD⊥BC在△CDE与△∠C∴△CDE∴CE∵AE=32BF根据现有条件，无法证明DE=BF，故故选：C．8．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△BPC的面积为acm2，则△A．1.5a B．2a C．2.5a【答案】B【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线定义，关键是由角平分线的定义，垂直的定义推出AB=KB，由等腰三角形的性质得到PA=PK．延长AP交BC于K，由角平分线的定义得到∠ABP=∠KBP，由垂直的定义得到∠APB=∠KPB=90°，由三角形内角和定理推出∠BAP=∠BKP，得到AB=KB，由等腰三角形的性质推出AP=KP，由三角形面积公式推出△ABP的面积=△KBP的面积，△CPK的面积=△【详解】解：延长AP交BC于K，∵PB平分∠ABC∴∠ABP∵AP∴∠APB∴∠BAP∴AB∵BP∴AP∴△ABP的面积=△KBP的面积，△CPK∴△ABP的面积＋△CPA的面积=△KBP的面积＋△CPK的面积=△BCP的面积=∴△ABC的面积=2×a=2a(故选：B．9．如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，AD与BE相交于点G，BE与AC相交于点F，AD与CE相交于点H，连接FH．给出下列结论：①△ACD≌△BCE；②∠AGB=60°；③A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，先利用SAS证明△ACD≌△BCE，8字型图，得到∠AGB=60°，证明△【详解】解：∵△ABC与△CDE都是等边三角形，点B、C、∴∠ACB∴∠FCH=180°-∠ACB∴△ACD≌△BCE∴∠CAD∵∠AFG∴∠AGB=∠BCF∵∠CAD=∠CBE，∠∴△ACH∴BF=AH,∵∠FCH=60°，∴△CFH是等边三角形，故④故选D．10．已知xm=6，xn=3，则A．12 B．9 C．33 D．4【答案】A【分析】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．逆用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则进行求解即可．【详解】解：当xm=6，x====36÷3=12．故选：A．11．如图，两个正方形边长分别为a，b，如果a+b=8，ab

A．14 B．15 C．16 D．17【答案】A【分析】阴影部分面积可以用边长为a的正方形面积的一半减去底为(a-b)，高为b的三角形的面积，将本题考查了完全平方公式的变形运用及整体法求代数式的值，根据图形正确表示出阴影部分的面积及把完全平方公式变形是关键．【详解】解：根据题意得：当a+b=8S====14．故选：A．12．如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB=AD+2BE，则下列结论：①AB+AD=2AE；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．如图，在AB上取点F使AF=AD，证明△FAC≌△DACSAS，则CD=CF，∠D=∠AFC，由AB=AD+2BE=AF+FE+BE，可得FE=BE，进而可得CF=BC，则CD【详解】解：如图，在AB上取点F使AF=∵AC平分∠DAB∴∠FAC∵AC=AC，∠FAC∴△FAC∴CD=CF，∵AB=∴FE=∵CE⊥∴CF=∴CD=CB，∠CFB∵∠CFB∴∠B∴∠DAB+∠DCB∴AB+AD=∵S△BCE=∴S△ACE-综上：正确的有①②③，共3个，故选：C．13．如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m

A．4m2+12m+9 B．3m【答案】C【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，根据题意，利用大正方形的面积减去小正方形的面积表示出长方形的面积，再化简整理即可．【详解】解：根据题意，得：(2==(3=3故选：C．14．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm．AA．481dm B．20dm C．25dm【答案】C【分析】本题的是平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．先将图形平面展开，再由勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理得：x2解得：x=25故选：C．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题15．如图，在等边三角形ABC中，BD是中线，点P，Q分别在AB，AD上，且BP=AQ=QD=1【答案】3【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．作点P关于BD的对称点P'，连接P'Q交BD于E，此时PE【详解】解：∵△ABC∴BA=BC∵BD是中线，∴BD⊥AC，∠ABD∵BP=∴AD=DC如图，作点P关于BD的对称点P'，连接P'Q交BD于此时PE+EQ的值最小．最小值∵BP=1∴BP∴CQ=CP∴△C∴P∴PE+QE故答案为：3．16．如果关于x的二次三项式9x2-k-【答案】15或-【分析】本题考查完全平方式，解题的关键是掌握：如果一个二次三项是完全平方式，则满足如下特征：两项符号相同且为平方形式，第三项为前面两项（在平方的形式下）的底数积的2倍且符号不限．据此解答即可．【详解】解：∵关于x的二次三项式9x∴9x∴-k解得：k=15或-∴k的值是15或-917．如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，∠1+∠2+∠3=．

【答案】135°【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．先证明△ABC和△DBE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠4，然后求出【详解】解：如图所示，

在△ABC和△∵AB=∴△ABC∴∠ACB∵∠1+∠ACB∴∠1+又∵∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°．故答案为：135°．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=16cm，BC=8cm，线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，点P从点C运动到点A，点【答案】4秒或0秒【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有ASA，AAS，SAS，SSS，HL．当4秒或0秒时，△ABC和△PQA全等，根据【详解】解：当4秒或0秒时，△ABC和△理由是：∵∠C=90°，∴∠C①当AP=8在Rt△ACB和AB=∴Rt②当AP=16在Rt△ACB和AB=∴Rt∵点P的运动速度为每秒钟2cm∴8÷2=4∴当运动时间为4秒或0秒时，△ABC和△故答案为：4秒或0秒．19．若7的整数部分是a，7的小数部分是b，则a-b【答案】4-7/【分析】本题考查了估算无理数的大小，利用夹值法估算出7的范围是解此题的关键．求出7的范围，得到a、b的值，再代入a-【详解】解：∵4<7<9，∴2<∴a=2，b∴a-故答案为：4-720．如图，AB=4cm，AC=BD=3cm．∠CAB=∠DBA，点P在线段AB上以1cms的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），则当点Q的运动速度为【答案】1或1.5【分析】本题主要考查全等三角形的性质、一元一次方程的应用等知识，理解并掌握全等三角形的性质是解题关键．设点Q的运动速度是xcms，则有AP=tcm，BP=4-tcm，BQ=xtcm，若△ACP与【详解】解：设点Q的运动速度是xcms则有AP=tcm，BP∵∠CAB∴△ACP与△①AP=BP，则t=4-解得t=2s则3=2x解得x=1.5cm②AP=BQ，则t=tx，解得t=1，x故答案为：1或1.5．21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是【答案】2.4【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和判定，最短路径问题，解题的关键是通过转化思想，利用轴对称，把较难求的最值问题通过两点之间线段最短转化为求线段的最值问题；在AB上取一点Q'，使AQ'=AQ，连接PQ',CQ',QQ'，QQ'交AD于E【详解】解：在AB上取一点Q'，使AQ'=AQ，连接PQ',CQ',QQ∵AQ'=AQ，∴AE∴AD是QQ∴PQ∴PC当C，P，Q'三点共线，且CQ'⊥AB∵S∴1∴CH∴PC+PQ故答案为：2.4．22．在草原上有两条交叉且笔直的公路OA、OB，在两条公路之间的点P处有一个草场，如图，∠AOB=30°，OP=6.5．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，若存在M、N使得△PMN的周长最小，则【答案】6.5【分析】本题主要考查了轴对称——最短路线问题．作出轴对称图形，熟练掌握轴对称性质，等边三角形的判定和性质，是解决问题的关键．作点P关于直线OA的对称点C，作点P关于直线OB的对称点D，连接CD，分别交OA、OB于M、N，得到△PMN，其周长的最小值等于CD长，由轴对称性质证明OC=OD=6.5，∠COD【详解】如图，作点P关于直线OA的对称点C，作点P关于直线OB的对称点D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，则CM=PM，∴△PMN的周长的最小值为PM∵OC=OP=6.5∴OC=∵∠AOC=∠AOP，∠∴∠COD∴△COD∴CD=∴△PMN的周长的最小值为6.5故答案为：6.5．23．如图，过边长为2的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC边于点D【答案】1【分析】过点P作PF∥BC交AC于点F，根据题意可证△APF是等边三角形，根据等腰三角形三线合一证明AE=FE，根据全等三角形判定定理可证△【详解】过点P作PF∥BC交AC于点∴∠APF=∠B=60°，∴PF=∵PE⊥∴AE=∵PA=∴PF=∵PF∥∴∠PFD在△PFD和△PF∴△PFD∴DF=∴DF=12∵DF+EF=∴DE=∵AC=2DE故答案为：1【点睛】本题考查了平行线性质、等边三角形性质、全等三角形判定与性质，掌握全等三角形判定定理是解题关键．24．如图，已知∠MON=30点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1=1，则△A2021B2021A2022的边长为．【答案】2【分析】根据△A1B1A2为等边三角形，可知∠A1B1A2=60°，A1B1=A1A2，根据∠MON=30°，进而可得∠A1B1O=30°，由此可知△OA1B1为等腰三角形，同理可证△OA2B2为等腰三角形，OA2=A2B2=A2A3=2，依次类推可知△OA3B3为等腰三角形，则OA3=A3B3=A3A4=22，同理可知△OA4B4为等腰三角形，则OA4=A4B4=A4A5=2【详解】解：∵△A1B1A2为等边三角形，∴∠A1B1A2=60°，A1B1=A1A2，∵∠MON=30°，∴∠A1B1O=30°，∴△OA1B1为等腰三角形，∴A1B1=OA1，∴A1B1=A1A2=OA1，∵OA1=1，同理可知△OA2B2为等腰三角形，∴OA2=A2B2=A2A3=2，同理可知△OA3B3为等腰三角形，∴OA3=A3B3=A3A4=22同理可知△OA4B4为等腰三角形，∴OA4=A4B4=A4A5=23依次类推：OAn=AnBn=AnAn+1=2n∴△A2021B2021A2022的边长为：22021-1=2故答案为：22020【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，归纳，总结，验证，应用的能力，能够发现规律并应用规律是解决本题的关键．25．如图，已知△ADC的面积为4，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，那么【答案】8【分析】延长BD交AC于点E，则可知△ABE为等腰三角形，则S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE，可得出S△ADC=12S△ABC．即可求出答案【详解】解：如图，延长BD交AC于点E，∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，∴∠BAD=∠EAD，∠ADB=∠ADE，在△ABD和△AED中，∠BAD∴△ABD≌△AED（ASA），∴BD=DE，∴S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE，∴S△ABD+S△BDC=S△ADE+S△CDE=S△ADC，∴S△ADC=12S△ABC∴SΔABC故答案为：8.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，全等三角形的判定和性质，由BD=DE得到S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE是解题的关键．26．如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是°．

【答案】105°【详解】由图a知，∠EFC=155°.图b中，∠EFC=155°，则∠GFC=∠EFC-∠EFG=155°-25°=130°.图c中，∠GFC=130°，则∠CFE=130°-25°=105°.故答案为105°.点睛：在长方形的折叠问题中，因为有平行线和角平分线，所以存在一个基本的图形等腰三角形，即图b中的等腰△CEF，其中CE=CF，这个等腰三角形是解决本题的关键所在.27．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，若点M、N分别是线段AC、AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为．【答案】8【详解】如图作点B关于AC的对称点B′，连接B′A交DC于点E，则BM+MN的最小值等于B'作B'N'⊥AB交AC于设EC=AE=x∴由S△B'h+5=8，即BM+MN的最小值是8.点睛：本题主要是利用轴对称求最短路线，题中应用了勾股定理与用不同方式表示三角形的面积从而求出某条边上的高，利用轴对称得出M点与N点的位置是解题的关键．三、解答题28．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于(1)求证：△BCE(2)求证：CF=(3)判断△CFH【答案】(1)见解析(2)见解析(3)△CFH【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的判定和性质；（1）利用等边三角形的性质得出条件，可证明：△BCE（2）利用△BCE≌△ACD得出∠CBF=∠CAH，再运用平角定义得出（3）由CF=CH和∠ACH=60°根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形【详解】（1）证明：∵∠BCA∴∠BCE在△BCE和△BC=∴△BCE（2）证明：∵△BCE∴∠CBF∵∠ACB∴∠ACH∴∠BCF在△BCF和△∠CBF∴△BCF∴CF（3）解：△CFH理由如下：∵CF=CH∴△CFH29．（1）如图①，在△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，这样就把AB，AC，2AD集中在（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断此时：BE+（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=160°，以C为顶点作∠ECF=80°，边CE，CF分别交AB，AD于E，F两点，连接EF【答案】（1）1<AD<4；（2）EF<EB【分析】本题考查全等三角形的综合应用，涉及三角形全等的判定及性质，三角形三边关系，线段垂直平分线的性质，添加常用辅助线构造全等三角形是解题的关键．（1）延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，证明△ADC≌△EDB（2）延长FD至G，使FD=DG，连接BG，证明△CFD≌△BGDSAS，可得BG=FC，连接（3）延长AB至H使BH=DF，连接CH，证明△CBH≌△CDF(SAS)，可推导出【详解】解：（1）延长AD到点E使DE=AD，再连接∵CD=BD，∠∴△ADC∴AC在△ABE中，AB∴2<AE∵AE∴1<AD故答案为：1<AD（2）EF<EB理由：延长FD至G，使FD=DG，连接

∵CD=BD，∠CDF∴△CFD∴BG连接EG，∵ED⊥FD∴EG是FG的垂直平分线，∴EF在△EBG中，EG<EB（3）延长AB至H使BH=DF，连接

∵∠ABC+∠D=180°∴∠CBH∵CB=CD∴△CBH∴CH=CF∵∠BCD=160°，∴∠DCF∴∠ECH∵CH=FC∴△HCE∴EH∵BE∴BE30．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图1，教材已给出关于a、b的关系式：(a+b)2=a2+2根据上面的思路与方法，解决下列问题：（2）①若4m2+n2=40②若4-m5-m=6（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB=7，两正方形的面积和S【答案】（1）(a-b)2+4ab=(a【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，完全平方公式的变形应用，整式化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式的应用．（1）两种方法计算大正方形的面积可得答案；（2）①由2m+n=8，可得4m②由[(4-m)-(5-m)]2=(-1)（3）由AC+BC=7，得AC2+B【详解】解：（1）大正方形的面积用面积公式计算为(a+b)2∴关于a、b的关系式可表示为：(a故答案为：(a（2）①∵2m∴(2∴4m∵4m∴40+4mn∴mn故答案为：6；②∵[(4-∴(4-∵(4-m∴(4-∴(4-故答案为：13；（3）根据题意得：AC+∴A∵S∴A∴AC∴CD∴图中阴影部分面积为16.5．31．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为(1)求证：DE平分∠(2)若AB=8,AD=6,CD=10，三角形ACD【答案】(1)见解析(2)8【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键．（1）过点E作EG⊥AD，EH⊥BC，根据角平分线的性质得到EF=（2）根据三角形的面积公式求出EH=2，再根据三角形的面积公式计算，即可求出△【详解】（1）证明：过点E作EG⊥AD交AD于点G，EH⊥BC交∵∠F=90°，∴∠EAF∴∠BAC∴∠CAD∴AE平分∠∵EF⊥AF∴EF∵BE平分∠ABC，EF⊥∴EF∴EG∵EG⊥AD∴DE平分∠（2）解：∵S∴S∴12∵AD=6，CD=10∴12∴EG=∴EF=∵AB∴S32．问题背景：(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段探索延伸：(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°．E【答案】(1)见解析(2)结论EF=【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．（1）先证明△ABE≌△ADG(SAS)推出AE=AG（2）延长FD到点G使DG=BE，连接AG，同（1），先证明△ABE≌△ADG(SAS)推出AE【详解】（1）解：证明如下：在△ABE和△DG=∴△ABE∴AE∵∠EAF∴∠GAF∴∠EAF在△AEF和△AE=∴△AEF∴EF∵FG∴EF（2）解：结论EF=理由如下：延长FD到点G使DG=BE，连接∵∠B+∠∴∠B在△ABE和△DG=∴△ABE∴AE∵∠EAF∴∠GAF∴∠EAF在△AEF和△AE=∴△AEF∴EF∵FG∴EF33．已知在等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED(1)【特殊情况，探索结论】如图1，当E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE______DB(填“>”“<”或“(2)【特例启发，解答题目】如图2，当E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请判断AE和DB的大小关系，并给出证明；(提示：过点E作EF∥BC，交AC(3)【拓展结论，设计新题】在等边△ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求【答案】(1)=(2)AE=(3)3【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质：（1）由等腰三角形的性质得∠D=∠ECD，再由等边三角形的性质得∠ECD=（2）过点E作EF∥BC，交AC于点F，证△AEF为等边三角形，得AE=EF（3）过点E作EF∥BC，交AC于点F，同（2）得△AEF是等边三角形，△【详解】（1）解：AE=∵ED=∴∠D∵△ABC∴∠ACB∵点E为AB的中点，∴∠ECD∴∠D∵∠ABC∴∠DEB∴∠DEB∴DB=∴AE=（2）证明：AE=过点E作EF∥BC，交AC于点则∠AEF=∠ABC，∠∵△ABC∴AB=AC∴∠AEF=∠AFE∴△AEF为等边三角形，∠∴AE=EF，∵ED∴∠D∴∠D在△DBE和△∠DBE∴△DBE∴DB∴AE（3）解：过点E作EF∥BC，交AC的延长线于点F，如图同（2）得：△AEF是等边三角形，△∴AE=EF∵BC∴CD34．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接①请直接写出∠AEB的度数为_____②试猜想线段AD与线段BE有怎样的数量关系，并证明；（2）拓展探究：图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同－直线上，CM为△DCE中DE

【答案】（1）①60°；②AD=BE．证明见解析；（2）∠AEB【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．（1）①由条件△ACB和△DCE均为等边三角形，易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D（2）首先根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE【详解】解：（1）①∵∠ACB∴∠ACD在△ACD和△AC=∴△ACD∴AD=∴∠AEB②AD=∵△ACD∴AD=（2）∠AEB∵△ACD和△BCE均为等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=∴△ACD∴AD=∴∠AEB在等腰直角△DCE中，CM为斜边DE∴CM=∴DE=2∴AE=35．△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，(1)如图1，点D,E在AB,(2)如图2，点D在△ABC内部，点E在△ABC外部，连接BD,(3)如图3，点D,E都在△ABC外部，连接BD，CE，CD，EB，BD与CE相交于F点．若BD【答案】(1)BD=(2)BD=CE，(3)18【分析】此题是四边形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质．（1）根据等腰直角三角形的性质解答；（2）延长BD，分别交AC、CE于F、G，证明△ABD（3）同理证明△ABD≌△ACESAS，得到BD=CE=6【详解】（1）解：BD=∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC，∴AB-∴BD=（2）解：BD=CE，延长BD，分别交AC、CE于F、G，∵△ABC和△∴AB=AC，AD=∵∠BAD=∠BAC∴∠BAD在△ABD和△AB=∴△ABD∴BD=CE，∵∠AFB∴∠CGF=∠BAF（3）解：如图，BD与AC相交于O点∵△ABC和△∴AB=AC，AD=∵∠BAD=∠BAC∴∠BAD∴△ABD∴BD=CE=6∵∠AOB∴∠BFC即BD⊥∴S四边形36．数学教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b例如：分解因式x2例如求代数式2x2+4x-6的最小值2x(1)分解因式：m2(2)当a为何值时，多项式-2(3)当a，b为何值时，多项式2a【答案】(1)m+1(2)a=1时，多项式-2a(3)a=1，b=2时，多项式2a【分析】本题主要考查了因式分解的应用、非负数的性质、配方法等知识点，熟练掌握配方法、因式分解的方法是解本题的关键．（1）根据阅读材料，先将m2-4m-（2）利用分解因式将多项式-2a2（3）利用分解因式将多项式2a2+3【详解】（1）解：m2=m=m=m=m故答案为：m+1（2）∵-2=-2a=-2a∵-2∴当a=1时，多项式-2a（3）2a=2a=2a=2a=2a∵2a∴当a=1，b=2时，多项式237．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法．(1)如图1，AD是△ABC的中线，AB=8，AC=5，求AD的取值范围．我们可以延长AD到点E．使DE=AD，连接BE，根据SAS可证△ADC≌△EDB，所以BE(2)如图2，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF(3)如图3，四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点E，点F是BC边的中点，∠CEF=∠ADB，∠BAC+∠【答案】(1)1.5<(2)见解析(3)BD=2【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，平行线的判定与性质，三角形的内角和定理等知识．（1）根据△ADC≌△EDB可得BE=AC=5（2）延长AD至G，使DG=AD，连接BG，先证明△ADC≌△GDBSAS，得到AC=（3）延长EF到G，使得EF=FG，连接CG，延长CA到H，使得AH=AD，连接BH，先证△BEF≌△CGFSAS可得BE=CG，∠【详解】（1）解：延长AD到点E．使DE=AD，连接∵AD是△ABC∴CD=BD，又∴△ADC∴BE=∵在△ABE中，AB∴3<AE∵DE=∴AE=2∴3<2AD<13，解得故答案为：1.5<AD（2）证明：延长AD至G，使DG=AD，连接BG∵点D为BC的中点，∴CD=在△ADC和△AD=∴△ADC∴AC=BG，∵AC=∴BG=∵∠BAE∴∠EAF∴∠ABG在△EAF和△AE=∴△ABG∴EF=（3）证明：如图，延长EF到G，使得EF=FG，连接CG，延长CA到H，使得AH=∵点F是BC边的中点，∴BF=∵∠EFB∴△BEF∴BE=CG，∴CG∥∴∠BEH∵∠BAC+∠∴∠BAH∵BA=∴△BAH∴BD=BH，∵∠ADB∴∠H∴△HBE∴BH=38．把完全平方公式(a±b)2=a2解：∵a+b=3，∴(a+b∴a2+b2得a2根据上面的解题思路与方法，解答下列问题：(1)若x+y=6，x(2)若2m+n=3，(3)求代数式a2-4【答案】(1)8(2)±1(3)最小值为-28，a=2【分析】本题考查完全平方公式的变形求解，掌握完全平方公式是解决问题的关键．（1）先求得(x+y)2（2）根据(2m-n)2（3）先把a2-4a+b2【详解】（1）解：∵x∴(即x2又∵x∴20+2xy∴xy（2）解：∵2m+n∴∴2m（3）解：a=∵a-22∴当a-22=0，b-此时a-2=0，解得：a=2，b39．已知△ABC是等边三角形，D是AC的中点，点P在射线BC上，点Q在射线BA上，∠(1)如图①，若点Q与点B重合，求证：DB=(2)如图②，若点P在线段BC上，点Q在线段AB上，AC=8，求BP【答案】(1)证明详见解析(2)12【分析】（1）根据等边三角形的性质得到DB平分∠ABC，求出∠DBC的度数，再利用三角形内角和定理求出（2）由等边三角形的性质易得AD=CD=4，过点D作DE∥BC交AB于点E，进而得到△ADE是等边三角形，然后利用【详解】（1）证明：∵△ABC∴BA∵D是AC∴DB平分∠∴∠DBC∵∠PDQ=120°，点Q与点∴∠DPB∴∠DBC∴DB（2）解：∵△ABC∴AB∵D是AC∴AD如图3，过点D作DE∥BC交AB于点∴∠AED=∠∴△ADE∴ED∴ED∵∠ADE∴∠EDC∴∠PDQ∴∠PDQ即∠QDE在△QDE和△∠QED∴△QDE∴EQ∴BP【点晴】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，线段的和差．理解等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解答关键．40．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=3，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE(1)当∠BDA=105°时，∠BAD=°；点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”(2)当DC等于多少时，△ABD(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，【答案】(1)35°；小(2)DC(3)110°或80°【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定，三角形内角和定理；（1）由三角形内角和定理得∠BAD=180°-∠B-∠BDA，∠BDA=180°-40°-∠BAD，由点（2）当DC=3时，由AAS可判定△ABD（3）分类讨论：①当DA=DE时，②当AD=AE时，③掌握等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定，能由等腰三角形的腰不同进行分类讨论是解题的关键．【详解】（1）解：∵∠B=40°，∴∠=180°-105°-40°=35°；∠=140°-∠∵点D从点B向点C运动时，∠BAD∴∠BDA故答案：35°；小；（2）解：当DC=3时，△理由如下：∵AB∴AB∵∠C∴∠DEC∵∠ADE∴∠ADB∴∠ADB在△ABD和△∠ADB∴△ABD≌△DCE(（3）解：当∠BDA为110°或80°时，△①当DA=∠DAE∴∠=70°+40°=110°；②当AD=∠AED∴∠DAE此时，点D与点B重合，不合题意；③当EA=∠EAD∴∠AED∴∠=100°-40°=60°，∴∠=80°；综上所述：当∠BDA为110°或80°时，△41．（1）如图①，点C在BD上，∠B=∠D=∠ACE=90°，AC=CE（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=4，过点C作CD（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠CAB=∠ADC=45°，△ACD的面积为12【答案】（1）7；（2）8；（3）6【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质与判定、四边形、三角形面积等知识．（1）由∠B=∠D=∠ACE=90°，得∠ACB（2）过D作DE⊥BC交BC延长线于E，由DE⊥BC，CD⊥AC，得∠E（3）过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，由△ACD面积为12且CD的长为6，得AE=4，又∠ADC=45°，AE⊥CD，得△ADE是等腰直角三角形，即得DE=AE=4，【详解】解：（1）∵∠B∴∠ACB在△ABC和△∠B∴△ABC∴AB=∴BD=故答案为：7；（2）过D作DE⊥BC交BC延长线于E，如图∵DE⊥∴∠E∴∠ACB在△ABC和△∠ABC∴△ABC∴BC=∴S△（3）过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于∵△ACD面积为12且CD的长为6∴12∴AE=4∵∠ADC∴△ADE∴DE=∴CE=∵∠ABC∴∠ACB∴∠ACE在△ACE和△∠AEC∴△ACE∴BF=∴S△42．图1是一个平分角的仪器，其中OD=OE，(1)如图2，将仪器放置在△ABC上，使点（与顶点A重合，D，

E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P，AP是∠BAC的平分线吗(2)如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ垂直AB于点Q，若PQ=5，AC=8，△ABC的面积是45，求AB【答案】(1)AP是∠BAC(2)AB=10，BP:CP【分析】（1）由SSS判定△ADF≌△（2）过点P作PG⊥AC于点G，由三角形的面积公式即可求出AB，再有三角形面积相等得出本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式以及角平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）解：AP是∠BAC在△ADF和△AD∴△∴∠DAF∴AP是∠BAC（2）解：如图，过点P作PG⊥AC于点∵AP平分∠BAC，PQ∴PG=∵S△∴12∴AB=10设三角形ABC的BC边上的高为h，∴S△∴SAPC∴12BP⋅h∴BP:CP的值为43．【问题情境】如图1，△ABD与△AEC都是等边三角形，连接BE，CD，点M，N分别是BE，CD的中点，连接AM，AN，

【猜想证明】请证明：（1）求证：BE=（2）求证：△AMN【类比探究】如图2，△ABD与△AEC都是等腰直角三角形，连接BE，CD，点M，N分别是BE，CD的中点，连接AM，（3）若点N恰好也是AE的中点，且AE=2，求△【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）△ABE的面积为【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．（1）由等边三角形的性质得AB=AD,AE=AC,∠（2）由BM=12BE，DN=12CD，且BE=CD，证明BM=（3）由等腰直角三角形的性质得AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠EAC=90°，可推导出∠BAE=∠DAC，进而证明△BAE≌△DAC，得BE=CD，∠ABE=∠【详解】解：（1）∵△ABD与△∴AB=AD，AE∴∠BAE在△BAE和△AB=∴△BAE≌△∴BE（2）证明：∵点M，N分别是BE，CD的中点，∴BM=1∵BE∴BM∵△BAE≌△∴∠ABE在△BAM和△AB=∴△BAM≌△∴∠BAM=∠DAN∴∠MAN∴△AMN（3）∵△ABD与△∴AB=AD，AE∴∠BAE在△BAE和△AB=∴△BAE≌△∴BE=CD∵点M，N分别是BE，CD的中点，∴BM=1∴BM在△BAM和△AB=∴△BAM≌△∴∠BAM=∠DAN∴∠MAN∵AE=2，且点N也是∴AM∴S∵AE=2AN∴S∴S∴△ABE的面积为244．小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作

(1)小明认为∠COE与∠(2)求DE的长．【答案】(1)同意他的看法，理由见解析.(2)DE【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△BOD（1）根据“直角三角形两锐角互余”以及垂直的定义，即可证明结论；（2）证明△BOD≌△OCE，易得【详解】（1）解：同意他的看法，即∠COE∵OB⊥∴∠COE∵BD⊥∴∠B∴∠COE（2）解：∵∠COE=∠B又∵OB=∴△BOD∴BD=∴DE=答：DE的长是9cm．45．如图①是一个长为4n，宽为m的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②(1)【知识生成】请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）：方法一：；方法二：；(2)【得出结论】根据（1）中的结论，请你写出代数式(m+n)2，((3)【知识迁移】根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知实数a，b满足：a+b=8，ab【答案】(1)(m+(2)((3)±6【分析】此题考查了完全平方公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确理解并运用完全平方公式和数形结合思想进行求解．（1）分别运用大正方形面积减去4个矩形面积和直接运用阴影部分边长的平方表示出图②中阴影部分的面积；（2）根据第（1）小题结果进行求解；（3）运用第（2）小题结果代入求值即可．【详解】（1）解：由题意得，图②中阴影部分的面积为(m+n故答案为：(m+n（2）解：由（1）题可得，(m∴代数式(m+n)2，(故答案为：(m（3）解：由（2）题结果可得，(a∴a∴当a+b=8a-b=±=±6．46．阅读理解：若x满足30-xx-解：设30-x=a则30-xx-∴30-(1)【类比探究】若x满足280-xx-(2)【联系拓展】若x满足2024-x2020-x=5(3)【解决问题】如图，在长方形ABCD中，AB=20，BC=12，点E、F是BC、CD上的点，且BE=DF=x，分别以FC、【答案】(1)500；(2)26；(3)阴影部分的面积和为424平方单位．【分析】（1）根据题目提供的方法，进行计算即可；（2）设2024-x=m，2020-x=n，则（3）由题意得，FC=20-x，EC=12-x，则阴影部分的面积和为(20-x)2+(12-x)本题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征，熟练掌握a2+b2，a+【详解】（1）设280-x=a则280-xx-所以280-x=a=30=500；（2）设2024-x=m则2024-x2020-x所以(2024-x=m=4=26，故答案为：26；（3）由题意得，FC=20-x∴阴影部分的面积和为(20-x∵长方形CEPF的面积为180，∴20-x∴20-x设20-x=a则20-xx-∴20-=a=a=8∴阴影部分的面积和为424平方单位．47．如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC(2)如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s【答案】(1)全等；线段PC和线段PQ垂直，理由见解析(2)存在，t=1x=1或t=2x【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，在解题时注意分类讨论思想的运用．（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①【详解】（1）解：（1）△ACP与△BPQ全等，线段PC和线段当t=1时，AP又AC⊥AB，在△ACP和△AP=∴△ACP∴∠ACP∴∠APC∴∠CPQ即线段PC和线段PQ垂直．（2）存在，t=1x=1或t=2x理由：依题意得：AP①若△ACP则AC=则3=4-t解得t=1②若△ACP则AC=则3=xt解得：t=2综上所述，存在t=1x=1或t=2x48．在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB上一点，连接CD，将CD绕C点逆时针旋转90°至CE，连接DE，过C作(1)求证：AD=(2)求证：AD(3)若∠ACD=15°，CD=【答案】(1)见解析(2)见解析(3)3【分析】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．（1）将CD绕C点逆时针旋转90°至CE可得△DCE是等腰直角三角形，再判定△（2）如图：连接FE，根据CF是DE的垂直平分线可得DF=EF，再根据Rt△（3）根据∠BDE=15°=∠DEF可得∠BFE=30°，设BE=x,则BF=3【详解】（1）证明：CD绕C点逆时针旋转90°至CE可得△DCE∴∠DCE∴∠ACD在△ACD和△BCE中，∴△ACD∴AD=（2）解：如图，连接FE，∵CF⊥∴CF是DE的垂直平分线，∴DF=又∵△ACD∴∠CBE∴∠EBF在Rt△BEF中，∴AD（3）解：∵CD=3+1∴DE=∵∠ACD∴∠BDE∴∠BFE设BE=x,则在Rt△BDE中，解得x=1∴BF=49．【问题情境】如图1，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，且顶点O重合，EF⊥BC，求证：【探究实践】（1）小明发现：分别过点A、D向直线EF作垂线段，利用全等三角形的知识就能解决问题．请你根据小明的发现完成证明过程【拓展应用】小华想到了我们研究数学命题的思路，提出问题：这个问题的逆命题成立吗？于是小华写出了已知、求证，并画出了图形已知：如图2，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，且顶点O重合，F为AD中点，求证：（2）小聪说：我利用倍长中线的方法和全等三角形的知识就能解决这个问题．请你根据小聪的思路在图2中作出辅助线，并完成证明过程．（3）小刚说：我不但证明了小华的问题，还发现了新结论：线段OF与线段BC，△AOD与△请你直接写出小刚说的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）S△AOD=【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题关键是利用倍长中线模型构造全等三角形证明线段关系．（1）过点A作AM⊥EF，垂足为M，过点D作DN⊥EF，垂足为N，根据一线三垂直模型证明△AMO≌△OEB(AAS)，可得DN=（2）延长OF到点G，使FG=OF，连接AG，可得△AFG≌△DFO(SAS)，可得AG=OD，∠GAF（3）由△AGO≌△OCB可得S△AGO=S【详解】（1）过点A作AM⊥EF，垂足为M，过点D作DN⊥EF∴∠AMO∴∠OAM∵△AOB∴OA=OB，∴∠BOE∴∠又∵EF⊥∴∠BEO在△AMO和△∠OAM∴△AMO∴AM=同理可得：DN=∴AM=又∵∠AFM=∠DFN∴△AMF∴AF=DF，即F为（2）延长OF到点G，使FG=OF，连接∵∠AFG=∠DFO∴△AFG∴AG=OD，∴AG∥∴∠OAG又∵△AOB和△∴OA=OB，OC=∴∠BOC+∠AOD∴∠BOC在△AGO和△AG=∴△AGO∴∠AOG∵∠AOG∴∠OBC∴∠OEB∴EF⊥（3）由（2）得：△AFG∴S△S△∵△AGO∴S△AGO=∴S△AOD=50．在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上的动点，连接AB作等腰直角三角形ABC且∠ABC(1)当点B在y轴负半轴上时，①如图1，若∠OAB=20°，则∠②如图2，BC交x轴于点E，CD⊥x轴与AB交于点F，若AE=2CD，求证：(2)如图3，当点B在y轴正半轴上且OB>OA时，若OA=3，取点P0,3，连接CP，CP交x轴于点【答案】(1)①20；②见解析(2)长度不变，OQ【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质；（1）根据同角的余角相等即可解决问题；（2）如图2中，证明△ABE≌△CBFASA（3）如图3中，过点C作CH⊥y轴于点H，证明△CHB≌△BOAAAS【详解】（1）①∵∠ABC∴∠OAB∵∠OAB∴∠OBC故答案为：20°；②∵CD⊥∴CF∥∴∠∵∠ABC=∠∴∠OBC∴∠∵△ABC是等腰直角三角形且∴AB=BC在△ABE和△∠∴△ABE∴AE∵AE=2∴CF即CD∵AD⊥∴AD垂直平分CF∴AC=∴AD平分∠BAC（2）OQ的长度不变，OQ=3过点C作CH⊥y轴于点∴∠CHB∴∠∵∠ABC∴∠OBA∴∠在△CHB和△∠∴△CHB∴CH=BO∵P0,3∴OP=∴BO=∵∠CHP∴∠CPH∴∠OPQ∵∠POQ∴∠OQP∴OQ=51．如图，点M，N分别是边长为8cm的等边△ABC边AC，BC上的动点，点M从顶点A沿AC向点C运动，点N同时从顶点C沿CB向点B运动，它们的速度都为1cm/s，当到达终点时停止运动，设它们的运动时间为1(1)如图甲，求证：△BAM(2)如图乙，连接CD，若CD⊥BM，探究BD与(3)如图丙，在点M，N运动的过程中，是否存在以点M，N，C为顶点的三角形是直角三角形的情况，若存在，请直接写出对应的运动时间t的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见详解(2)BD=2(3)t=83【分析】（1）根据SAS可证明△BAM（2）在BD上截取BH=AD，证明△ABH≌△CAD（3）分两种情况，由直角三角形的性质可得出答案．【详解】（1）解：证明：∵点M从顶点A沿AC向点C运动，点N同时从顶点C沿CB向点B运动，它们的速度都为1cm/s∴AM=∵△ABC∴AB=在△BAM与△AB=∴△BAM（2）解：BD=2理由如下：在BD上截取BH=∵△BAM∴∠ABM在△ABH与△AB=∴△ABH∴∠AHB∵∠BDN∴∠BDN∵CD⊥∴∠BDN∴∠CDN∵∠AHD∴∠CDN∵∠BDN∴∠DAH∴∠AHD∴AD=又∵AD=∴BD=2（3）解：存在．t=83理由如下，由题意可得，AC∴CM∵以点M，当∠CMN∵∠ABC∴∠MNC∴MC即1解得：t=当∠CNM∵∠ABC∴∠NMC∴MC即：2解得：t=综上所述，t=83或t【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．52．在Rt△ABC中，∠B=90°，O为AC中点，∠DOE=90°，射线OD、OE分别交直线BC、(1)如图1，OA在射线OE上，连接MN，试判断CM、BM、BN之间的数量关系并证明；(2)如图2，OC在射线OD上，将∠DOE绕点O逆时针旋转α①如图3，当射线OE交线段AB于点N时，求证：BM②当0<α<180时，若AB=3，BC=4，当【答案】(1)CM(2)①见解析；②16或【分析】（1）由垂直平分线的性质可得MN=（2）①由勾股定理可求BM2+BN2=MF2，由②分点M在线段BC上和点M在线段CB的延长线上两种情况讨论，由勾股定理可求解．【详解】（1）解：CM理由如下：∵O是AC中点，∠∴NMRt△BMN∴C（2）解：①证明：如图，延长NO至点F，使OF=NO，连接MN，MF，∴MN=Rt△BNM中，∴B∵CO=AO，∴△AON∴∠A=∠OCF∵∠A∴∠BCA+∠OCFRt△MCF中，∴C∴B②解：当点M在线段BC上时，∵AB=3，BC=4∴CM=3，∵B∴1+(3-∴AN当点M在线段CB的延长线上时，如图，延长NO至点F，使OF=NO，连接MN，MF，

Rt△BNM中，B又∵MN∴B∵AO=CO，∠∴△∴∠OAN=∠OCF∵∠OAN∴∠OCF∵∠OCF∴∠BCFRt△MCF中，∴C∴B∴1+(3+∴AN综上所述：AN的长度为16或5【点睛】本题是几何变换综合题，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．53．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，AB=20cm．动点P以每秒2cm的速度从点A出发，沿A→

(1)当t=4时，求△(2)若AP平分∠CAB，求t(3)若点P运动到边AB上，且使得CP=AC，求【答案】(1)32(2)9秒(3)16.8秒【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质等，理解题意，熟练掌握直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键．（1）依题意得t=4秒时，运动的路程AP=8cm，此时点P在AC边上，则PC=4cm（2）当AP平分∠CAB时，点P在BC边上，过点P作PD⊥AD于D，设CP=a，证△ACP和△ADP全等得AC=AD=12，CP=DP=（3）过点C作CE⊥AB于E，先利用三角形的面积公式求出CE=9.6cm，再利用勾股定理求出AE=7.2cm，进而得AP=14.4【详解】（1）解：∵AC=12cm，点P以每秒2cm的速度从点A出发，沿∴当运动的时间t=4秒时，运动的路程AP=4×2=8cm，此时点P在AC

∴PC=在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得：BC=∴S（2）解：当AP平分∠CAB时，点P在BC过点P作PD⊥AD于D，设CP=

∵∠C=90°，PD∴∠C∵AP平分∠∠CAP在△ACP和△∠CAP∴△ACP∴AC=AD∵AB=20cm∴BD=AB在Rt△BPD中，由勾股定理得：即a2解得：a=6∴CP∴AC∴t=18÷2=9（秒即当AP平分∠CAB，t的值为9（3）解：过点C作CE⊥AB于E，如图

由三角形的面积公式得：SΔ∴CE在Rt△ACE中，AC=12由勾股定理得：AE∵CP=AC=12cm∴AE∴AP∴BP∴AC∴t=33.6÷2=16.8（秒∴点P运动到边AB上，且使得CP=AC，t的值为54．已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形，(1)如图1：连AM，BN，求证：(2)如图1：求证：AM⊥(3)若将Rt△MON绕点O顺时针旋转，当点A，M，N恰好在同一条直线上时，如图2所示，线段OH∥BN，OH与AM交点为【答案】(1)见解析(2)见解析(3)46+32【分析】（1）根据等腰直角三角形性质得到，AO=BO，MO=NO，（2）设直线AM与直线BN交于点C，根据△AOM≌△BON，得到∠OAM=∠（3）根据等腰直角三角形性质得到MN=32，根据AM⊥BN，OH∥BN，点A，M，N恰好在同一条直线上，得到OH⊥【详解】（1）∵△AOB和△∴AO=BO，MO∴∠AOB即∠AOM∴△AOM（2）设直线AM与直线BN交于点C，由（1）知，△AOM∴∠OAM∴∠=∠=∠OAB∴AM⊥（3）∵ON=3∴MN=由（2）知，AM⊥∵OH∥BN，点A，M，∴OH⊥∴OH=∵OA=OB=4∴AH=∴AM=或AM=【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形和全等三角形综合．熟练掌握等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，旋转性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键．55．（1）问题发现：如图①，△ABC和△EDC都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接①∠AEC的度数为②线段AE、BD之间的数量关系为（2）拓展探究：如图②，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形、∠ACB=∠DCE=90°，点B、D、E在同一条直线上，CM为△EDC（3）解决问题：如图③，△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=36°，点【答案】（1）①120°，②AE=BD；（2）90°，CM+AE【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键．（1）①根据等边三角形的性质可得∠ECA=∠DCB，证明△（2）证明△ECA≌△DCB，根据等腰直角三角形的性质可得∠CDB=135°，进而得到；∠ECA=∠DCB，从而得，△ECA≌△DCB（3）由等腰三角形的性质得：∠CDE=∠CED=72°，结合△【详解】（1）①∵△ABC和△∴CE∴∠ECD-∠在△ECA和△CE∴△∴∠∵∠∴∠AEC②∵△∴AE故答案为：①120°，②AE=BD（2）CM+∵△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∴CE=∴∠∵∠∴∠ECD-∠在△ECA和△CE∴△∴∠∵∠∴∠∵△DCE是等腰直角三角形，CM为△DCE中∴CM∵BM∴CM+（3）∵△DCE是等腰三角形，∴∠CDE=∠∴∠同（1）可得：△∴∠∴∠∵△ABC是等腰三角形，∴∠∴∠56．问题：如图①，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若【答案】问题：BC=DC+EC【分析】（1）问题：证明△BAD（2）探索：连接CE，根据全等三角形的性质得到BD=CE，（3）应用：过点A作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，【详解】解：（1）问题：BC=理由如下：∵∠BAC∴∠BAC-∠DAC在△BAD和△AB=∴△BAD∴BD=∴BC=故答案为：BC=（2）探索：BD理由如下：连接CE，由（1）得，△BAD∴BD=∴∠DCE∴CE在Rt△ADE中，AD∴BD（