2025-2026学年上海市嘉定区迎园中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市嘉定区迎园中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）如果，那么下列各式中正确的是（）A． B． C．， D．，2．（4分）在△中，点、分别在边、上，，那么下列条件中能够判断的是（）A． B． C． D．3．（4分）下列命题正确的是A．如果，那么 B．如果、都是单位向量，那么 C．如果，那么 D．如果或，那么4．（4分）在梯形中，，点、分别是边、的中点，图中线段所表示的向量中与向量平行且不相等的向量有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个5．（4分）在中，点、分别在边、上，联结，那么下列条件中不能判断和相似的是A． B． C． D．6．（4分）如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的是A． B． C． D．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知线段，，如果线段是、的比例中项，那么．8．（4分）已知，向量与单位向量的方向相反，且长度为7，那么用表示向量．9．（4分）如图，已知，，，，那么．10．（4分）如果点是线段的黄金分割点，且，已知，则（结果保留根号）．11．（4分）如果直角三角形的斜边长为16，那么它的重心与斜边中点之间的距离为．12．（4分）已知两个相似三角形的周长比是，那么这两个三角形的面积比是．13．（4分）如图，已知在平行四边形中，点在边上，射线交的延长线于点，，，那么的长为．14．（4分）在等腰中，已知，，腰上的中线与底边上的高交于点，那么．15．（4分）如图，在梯形中，，、相交于，若、的面积分别是9和4，那么梯形的面积是．16．（4分）如图，已知点是边长为6的正方形内一点，且，于，若在射线上找一点，使以点，，为顶点的三角形与△相似，则的值为．17．（4分）在中，，，垂足为，，则．18．（4分）在中，，，，点、分别在、上且，设点关于的对称点为，若，则的长为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（11分）已知，且，求的值．20．（11分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AC与BD交于点O，AO：OC＝1：2．（1）设，，试用向量、表示向量＝；（2）先化简，再求作：（直接作在图中）．21．（11分）如图，在中，点是边上一点，过点作，交于，点是延长线上一点，联结．（1）如果，，求边的长；（2）如果，，，求的长．22．（11分）如图，已知，（1）求的长；（2）求四边形的面积．23．（11分）如图，已知，和相交于点，，，是上一点，．（1）求的长；（2）如果△的面积为4，求△的面积．24．（11分）如图，已知在四边形中，，为边延长线上一点，联结交边于点，联结交于点，且．（1）求证：；（2）如果，求证：．25．（12分）已知，在△中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转后得到，过点作交直线于点，连接，．（1）如图①，若点在线段上（且不与点、点重合）时，求证：；（2）延长与直线相交于点．①当点在线段上（且不与点，点重合）时，如图②所示，若平分，，且，求线段的长：②当点在射线上（且不与点、点重合）时，若时，直接写出的值．

参考答案一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）如果，那么下列各式中正确的是（）A． B． C．， D．，解：，，正确，错误；选项和仅为特例，不一定成立，因此错误，故选：．2．（4分）在△中，点、分别在边、上，，那么下列条件中能够判断的是（）A． B． C． D．解：如图，假设，，故选项错误，不符合题意；，故选项错误，不符合题意；反过来，当时，不能得到，故选项错误，不符合题意；当时，能得到，故选项正确，符合题意，故选：．3．（4分）下列命题正确的是A．如果，那么 B．如果、都是单位向量，那么 C．如果，那么 D．如果或，那么解：．向量是既有大小又有方向，表示有向线段的长度，表示长度相等，方向相同，所以选项不正确；．长度等于1的向量是单位向量，所以选项不正确；，所以选项正确；．如果或，那么，不正确．故选：．4．（4分）在梯形中，，点、分别是边、的中点，图中线段所表示的向量中与向量平行且不相等的向量有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个解：梯形，，，点、分别是边、的中点，是梯形的中位线，，，，向量平行且不相等的向量有，共5个，故选：．5．（4分）在中，点、分别在边、上，联结，那么下列条件中不能判断和相似的是A． B． C． D．解：如图，、，，故不符合题意；、，，，故不符合题意；、，，，故不符合题意；、，不能使和相似，故符合题意．故选：．6．（4分）如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的是A． B． C． D．解：，，．故正确．平分，，．故正确．，，．故正确．而不能证明，故错误．故选：．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知线段，，如果线段是、的比例中项，那么6．解：若是、的比例中项，即．则．故答案为：6．8．（4分）已知，向量与单位向量的方向相反，且长度为7，那么用表示向量．解：是单位向量，，又与方向相反，且，，故答案为：．9．（4分）如图，已知，，，，那么．解：，，，解得：，故答案为：．10．（4分）如果点是线段的黄金分割点，且，已知，则（结果保留根号）．解：点是线段的黄金分割点，且，，，故答案为：．11．（4分）如果直角三角形的斜边长为16，那么它的重心与斜边中点之间的距离为．解：连接并延长交于点，连接，并延长到，使，如图所示：，在△中，，，点是中心，点是的中点，经过点，，，四边形是平行四边形，，即，又，是△的中位线，，，，重心与斜边中点之间的距离为．故答案为：．12．（4分）已知两个相似三角形的周长比是，那么这两个三角形的面积比是．解：相似三角形的周长比是，对应边之比为，这两个三角形的面积比是，故答案为：．13．（4分）如图，已知在平行四边形中，点在边上，射线交的延长线于点，，，那么的长为．解：如图，四边形为平行四边形，，；△△，，，，故答案为．14．（4分）在等腰中，已知，，腰上的中线与底边上的高交于点，那么2．解：如图所示：在等腰中，，底边上的高，，是的中线，腰上的中线与交于点，点是的重心，，，，，，故答案为：215．（4分）如图，在梯形中，，、相交于，若、的面积分别是9和4，那么梯形的面积是16．解：，，．设的面积为，则的面积为，等高的三角形的面积比等于底的比，．．．解得：或16（不合题意，舍去），的面积为1，则的面积为3．，．．．故答案为16．16．（4分）如图，已知点是边长为6的正方形内一点，且，于，若在射线上找一点，使以点，，为顶点的三角形与△相似，则的值为5或．解：四边形是边长为6的正方形，，，于，点在射线上，，，如图1，，，，△△，，，；如图2，，，，△△，，，综上所述，的值为5或，故答案为：5或．17．（4分）在中，，，垂足为，，则．解：，，，，，，同理，，，，，．故答案为：．18．（4分）在中，，，，点、分别在、上且，设点关于的对称点为，若，则的长为2．解：如图，设，，，，，点关于的对称点为，，，，，，即，解得，，，，即，解得：，即．故答案为：2．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（11分）已知，且，求的值．解：设，则，，，，，解得，．20．（11分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AC与BD交于点O，AO：OC＝1：2．（1）设，，试用向量、表示向量＝；（2）先化简，再求作：（直接作在图中）．解：（1）∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴AO：OC＝AD：BC＝2：1，∴，∵，∴，∴＝，故答案为：；（2）原式＝，＝，作图如下：即为所作．21．（11分）如图，在中，点是边上一点，过点作，交于，点是延长线上一点，联结．（1）如果，，求边的长；（2）如果，，，求的长．解：（1），，，，，，；（2），，，，，，，，，．22．（11分）如图，已知，（1）求的长；（2）求四边形的面积．解：（1）设，则，，，即，解得，；（2），，即，解得，．23．（11分）如图，已知，和相交于点，，，是上一点，．（1）求的长；（2）如果△的面积为4，求△的面积．解：（1），，，△和△同高，且，，．，，，（2），，，△△，．，．，，．24．（11分）如图，已知在四边形中，，为边延长线上一点，联结交边于点，联结交于点，且．（1）求证：；（2）如果，求证：．【解答】证明：（1），△△，，，，；（2），△△，，，，，，，，．25．（12分）已知，在△中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转后得到，过点作交直线于点，连接，．（1）如图①，若点在线段上（且不与点、点重合）时，求证：；（2）延长与直线相交于点．①当点在线段上（且不与点，点重合）时，如图②所示，若平分，，且，求线段的长：②当点在射线上（且不与点、点重合）时，若时，直接写出的值．【解答】（1）证明：，，，，，在△和△中，，△△，，，，；（2）解：①如图①，设与