概率论与数理统计练习(一)

练习题

1.事件A,B,C中恰好有一个事件发生的事件是().A

(A)ABCUABCUABC;(B)ABC;

(C)ABCUABClJABC;(D)A\JBJC.

2.事件A,民。中恰好有两个事件发生的事件是().C

(A)ABCABCJABCUABC;(B)AB_AC_BC;

(0ABC\JABC\JABC;(D)A|J^UC.

4.事件£=｛事件ARC至少有两个发生｝，则£的表示不正确的是().C

(A)ABC+ABC+ABC+ABC；(B)ABAC_BC；

(0ABC+ABC+ABC；(D)Q-ASIJBCIJAC.

.投掷两颗均匀色子,则出现点数之和等于8的概率为().

(A)—;(B)—;(C)l;(D)—.

1112636

9.从数字1〜9中任取3个排成一个三位数，所得三位数为偶数的概率是().

45-11

(A)-;(B)-;(C)-;(D)

9939

.一批产品共50件,其中有5件次品，任取2件，无次品的概率为().

1⑻二9;99198

(A)To;(O—；(D)

10245245

.某办公室10名员工编号从1至I]10,任选3人其最大编号为5的概率为().

(B)—;(C)l;(D)l.B

(A)—;

122054

12.设P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B\A)=0.8,则P(AU8)=().

(A)0.5;(B)0.6;(C)0.7;(D)0.8.C

.设P(A)=0.4,P(AB)=0.3,则P(B\A)=().A

(A)0.5;(B)0.6;(C)0.7;(D)0.8.

.设尸64)=0.5,2(8阳=0.8,则P(AB)=().D

(A)0.5;(B)0.6;(00.8;(D)0.4.

6.已知P(AUB)=0.7,P(B)=0.3,P(AB)=0.2,则P(A)=().

(A)0.2;(B)0.6;(C)0.4;(D)0.5.

.已知P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(AUB)=0.5,则P(AB)=().

(A)0.1;(B)0.3;(C)0.9;(D).0.2.

10.已知P(A)=0.5,P(B)=0.8,P(AB)=0.4,则P(A|B)=().

(A)0.4;(B)0.5;(C)08;(D)0.6.

17.已知P(A)=0.6,P(AB)=0A,则).

(A)0.4;(B)0.2;(C)0.24;(D)0.6.

14.已知事件A与B相互独立,P(B)=0.5,P(AB)=0.1,则P(A户().

(A)0.5;(B)0.4;(C)0.2;(D)0.1.

15.设P(A)=:，P(8)=[,且人与8相互独立，则P(AUB)=().

2s

(A)l;(B)i；(C)9；(D)/

3236

18.设事件A与8相互独立，P(A)=0.8,P(B)=0.5,求P(而尸().

(A)0.2;(B)0.5;(C)0.6;(D)0.4.

.设A,B,C两两独立,P(A)=0.2,P(B)=0.4,P(C)=0.6,P(AJBUC)=0.96,则

P(AJBJC)=().C

(A)0.24；(B)l；(C)0.8；(D)0.52.C

19.设X的分布律为

X0123

pa0.20.30.2

则。为（）.

(A)0.2;(B)0.3;(C)0.4;(D)0.1.

cx~+I()<Y<1

21.设随机变量X的密度函数f(x)=《~~，则c=().A

0其他

(A)0;(B)3;(C)2;(D)1/3.

0,x<0,i)

22.己知随机变量X的分布函数F(x)=1x2,0<x<L则尸〈一=().

x>1.2J

(A)1;(B)0;(C)1/4;(D)3/4.

23.6(x)是标准正态分布函数，则尸(-4VX(4)=().

(A)(B)2G(a)-1;(0①⑷;(D)1-G(a).

2

.设随机变量X〜N(l,4),则下列随机变量()〜7V(0,l).B

/八X—]zX—1,.X.X

(A)—T=—;(B)x--------;(C)—;(zD)—

0224

.设变量X密度f(x)=<exp{

),XG/?,则变量y=()〜N(0,l).

2〃4

/、X—3

(A)0⑻罕；©口(D)----r=—.B

2V22

.设随机变量的密度函数为/（/）,且/*）=/.（一"，分布函数为/"）,则对任意实数

有（）.

(A)F(-a)=\-^f(x)dx；(B)产(一。)=g-j"(x)dx；

(C)F(-a)=F(a)：⑻F(-6Z)=2F(«)-1.B

.设离散变量X~3(儿〃)，期望£(X)=2.4,方差3(X)=1.44,则参数小p的值为

().

(A)〃=4,p=0.6；(B)n=6p=0.4；(C)〃=8,〃=0.3；(D)〃=12,〃=0.2.B

.设二维变量(X,y)的边缘x,Y不相关，则下列推论不正确的是().

(A)pXY=0；(B)X,y独立；(C)Cov(X,n=0；(D)D(X+Y)=DX+DY

25.设X”X?,X”为总体7V(2,42)的简单样本，歹是样本均值，正确的是().A

Y—2X-2V_2V_9

(A)^=~N(0,l);(B)—^~N(0,l);(C)—=~N(0J)；(D)—^~/V(0,D.

4/册462/Vn4

.设独立随机变量X~N(〃,cr2),y~%2(〃)，则统计最‘〃(”〃)~().

crVF

-1)；(B)t(n)；(C)N(O/)；(D)F(1,/?).B

22

.设X,独立同分布"(〃,，),记52=-J-TJ(X:-X),S1(X,—又产，

2

S；=^-J(XZ-//),S；=-4)2.则服从分布t(n-1)的是().B

〃-1/=i〃1=1

(A)g；〃)；(B)yJn-i(X-//)八G(X-")小、6(X-〃)

J

.设总体X~N(〃,cr2)，其中均未知,XPX2,...,X“是正态总体N(〃，2)的样本,

计算总体方差置信度为的置信区间时，使用的统计量是().

(A)z2(/z);(B)Z2(77-1);(C)«〃)；(D)r(«-l).B

.设X「X2,…,X〃是正态总体N(〃,b2)的样本.则b?的无偏估计是().

2

(A)〃已知时，统计量——-(X1—JLI)~；(B)〃三知时，统计量——-(Xj—//)；

AX

+JL/a=1«JLa«i=i

(C)//未知时，统计量1Z(Xj—X)~；(D)〃未知时，统计量一-X)?'D

1=1i=\

.设总体X~N(〃02),均值〃的置信度为95%的置信区间含义是().

(A)平均含总体95%的值；(B)平均含样本95%的值；

(0以95%的概率包含〃的值；(D)〃的分布在置信区间的概率为95%

.设正态总体方差〃已知，则均值y的置信区间的长度L与置信度1-a的关系是()

(A)当l-a变小时,L缩短；⑻当1-a变小时,L变长；

⑹当1-a变小时,L不变；(0以上说法都不对.

填空

.设M件产品中含切件次品，从中任取两件至少有一件次品的概率为.

处案1_或d,"+C；=加

.产品中有10件次品,90件正品，抽取5件至少有一件次品的概率为.

答案1一字=1-0.58375=0.41625

或

.从4双不同尺码鞋子中任取2只不成双的概率为.答案

C~287

.袋中有。只红球为黑球，有放回摸球，则P｛第A次摸球首次摸到红球｝=.

外/b丫a"I

生案_________—________

\a+b)a+b(a+b)k

.人的血型为O、A、B、AB型的概率分别为0.46、0.40、0.11和0.03.现任选五人，两人

为A型的概率为________.答案竺

625

.在贝努利概型中，若P(A)=p,求在出现3次.以前出现3次A的概率.

贝努利试验5局3胜中4出现至少3次的概率.

.设P(A)=0.5,P(A-B)=0.2,则P(AB)=.答案0.7

39.设事件独立,P(4)=0.4,P(A)=0.6,则P(AUB)=.答案0.76

.已知P(A)=P(B)=P(C)=4,P(AB)=0,%/4。)=26。)=4，则九8,。全不发生

的概率为.答案卷

40.甲、乙独立地射击，中靶率依次为。.8,0.7,则都中靶的概率为.

.某单位装有两种系统A与B，系统A单独使用时有效概率为0.7:在系统A有效的条件下,

系统B有效概率为Q84.则两种系统都有效的概率为.

答案0.588

43.产品经两道独立工序，每道工序次品率为0.2,则产品是次品的概率为.

9

答案1-(1-().2)2=W

.产品经三道独立工序，每道工序次品率为0.2,则产品是次品的概率为.

答案1一(1—0.2)3=列

125

46.设连续型变量XH勺分布产(幻=4+&一爹，r>0,则A=,B=.

0,x<0.

由分布性质得

()=limF(x)=lim(4+&二)=8+及

.x->0x->0+0A=l,B=-\

l=F(+cc)=lim(A+Be-)=A,

x—>-x»

——x+10<x<2,

51.已知变量X密度2'廿…则X分布函数/(x)=______,

其它.

°，

0,x<0,

答案F(x)=+x,0Wx<2,

4

l,x>2.

fl-e-2v,x>0,,、

.已知变量X的分布函数为尸(x)=J则P{TKX<3}=

.设X的分布律为

-2-1013

111111

P

r

5651530

则Y=X?的分布律为.

0,x<0,11

.已知变量X的分布产。)=4炉，0<%<1,则P.

1,x>\.142J

.设随机变量X~N(l,22),则概率P(2<X<3.5)=.

(0(0.5)=0.69l,(D(l)=0.841,(l)(1.25)=0.894,(D(1.96)=0.975)答案0.203

(2—]X—I35_i

P(2<X<3.5)=P\——<-----<-——"①(1.25)-0(0.5)=0.894-0.691=0.203

I222

X_3

62.设随机变量X~N(3,9),则随机变量丫=--〜.

.答案工

.设随机变量X密度/(x)=L,xeR,则其方差为.

2万

.在编号为1至5的球中任选3只，最小号码X的分布列为.

p(X=〃)=詈二12,3.

Clk-C}k_C：k_(5-k)(4-k)

P(X=k)=P(X>k)-P(X>k-])=，上=1,2,3.

C；20

或

X123

331

Pi

5ToTo

.在编号为1至5的球q［任选3只，最大号码X的分布列为.

123

c("1)也一2)

P(X=Z)=言,k=3,4,5.

20

P(X=k)=P(X<k)-P(X<k-\)=、k=3,4,5.

20

或

X345

133

Pi

10105

.设二维变量(X,y)边缘独立，联合分布阵列如下，则a=邛

X123

j_1

1

6918

2aP

9

12

答案a=二尸=*.

39

p[X=]}=pL=：+:+^=g,p{y=i}=p」=*+a,p{y=2}=〃2=[+万,

11fj\A11111f1A2

由Pll=Pl.P.l，得Z=W-+«Liz=-,由P12=P|.P.2,得G+^，得夕=定

O3yvJ33)9319))y9

111I

或Pl3P21=

1n11n2

Pl3P22=Pl.A3P2,P2=02P32，区夕=,§，〃=§•

f10111一1z,2

或a:—=p1—=—:—=2:1,a=一,p=—.

6391839

子器手，且则

.设变量X的密度/(X)=EX=0.75,DX=

0,共匕

c=3,a=2,答案。X=a

8()

.设随机变量X和Y的数学期望分别为5和0,则随机变量3X-2Y的数学期望为.

58.设随机变量X,丫相互独立，并且方差分别为4和9,则方差52X+y)=.

.设独立变量X和Y的方差分别为1和3,则方差D(3X-2Y)=为.

60.设随机变量X服从二项分布8(10,0.5),则E(X)

61.设随机变量X服从参数为4的泊松分布，且E(X)=.

59.设X”X,,…,X〃为NJ。?)的简单样本，则》支X,的期望为.

63.设X，X”…,X”为N(0,l)的简单样本，则样本均值又二,之X,〜.

〃曰

.叙述独立同分布切比雪夫大数定律.

设随机变量Xj』=12…，独立同分布，EX\=",DX、=『,则对于任意的£>0,有

lim<£[=1.记，£X：」\金依极啊.」>4，〃-g

5I”日广

64.设用/2,…,X。为总体N(0,l)的简单样本，则X；++X二〜.72(10)

.设x「x”...,x“独立同分布仅〃,三),x=lyx.,s2=」二大(X,-天>，则

n-\汩

1)X~⑵~;3)又与夕是否独立.

b

答案又~5T产〜/(〃—])超

nb

65.设X「X2，X3为总体N(〃,4)的简单样本，则〃的矩估计为.

.设XI,X2,…,X〃为总体N(4Q2)的简单样本则/的无偏估计是.

.设X1,X2,…,X〃为有限方差总体X的简单样本，则DX的无偏估计是

答案52=-^£(匕一5)2

〃-1i=i

.设样本X],X2，...,X〃来自正态总体N(4，2),在计算〃的置信区间时，若。2己知，采

用的统计量及服从的分布是V；若叁口，采用的统计量及服从的分布

是.答案U=^^~N(O,I),r=(〃一1)

66.X1,X2，...,X〃独立同分布N(/Q2),若，未知，计算〃的置信区间时采用的统计量,

服从的分色及参数是._

答案r二—g~八〃—1)或r=—"，服从/—分布，维度(自由度)参数为〃一1.

S14nS14n

67.设总体X~N(小已知，X「X2,…,X”为来自X的一个样

本，(①(1.96)=0.975).则〃的置信度为95%的置信区间为.

68.设X-X2,…,X”为来自总体X~N（〃,4）的一个简单样本，X是样本均值

（①（%/2）=1-。）・见〃的置信度为1一。的置信区间为

X_〃a,,2%，X+%/2^]

答案X_%/2?，X+%/2

LV72

•设X1,X2，...,X〃是正态总体N（〃,，）的简单样本，若〃未知，则，的置信度为1—。的

答案（〃7炉（〃-W

置信区间是

69.从正态总体N（4,b2）中抽取容量为10的简单随机样本，样本均值元=45.75,样本标

准差s=3.522,rOO25（9）=2.262.则〃的置信度为0.95的置信区间为

—S—S=X-0025(9)•~，X+4,025⑼，~j=]

X——,下，X+

y/n7n

._____3.522._____3.522

=45.75—2.262—=-,45.75+2.262—­=-

_VioVio_

=45.75-2.52,45.75+2.52]=[43.23-2.52,48.27J

计算题

71.从数字0』,…9中任选三个不同的数字，计算下列事件概率:

4={不含3和7};42={含3或7};4={含3但不含7}.

».、或8x7x673!7

尸（A）=——=-----------=——;

C,o10x9x8/3!15

7x

P（A2）=I-P（A）=I--=-;

c'c28x7/2!「7

尸(&)=#

10x9x8/3!"30

又法，记B={含3};C={含7}.

3r1

P(8)=P(C)=gP(BC)=U8I

1°。10x9x8/3!"15?

P(A,)=1-P(A)=1-P(BUC)

3317

=1-P(B)-P(C)+P(BQ=1

101015—15’

7x

P(A2)=l-m)=1--=-;

QO1Q

或P(AJ=P(BUC)=P(B)+P(C)-P(BQ=—+—-—=—;

1()1()1515

Q7

P（A）=1-P（A）=1--=-；

.在某城巾共发行甲、乙、丙三种报纸，居民订甲报（记为A）的有45%,订乙报（记为B）的

有35除订丙报（记为C）的有30乐同时订甲、乙两报（记为D）的有10席,同时订甲、丙两

报（记为E）的有8%同时订乙、丙两报（记为F）的有5船同时订三种报纸（记为G）的有

试表示下列事件，并求其百分比：（1）只订甲报的；（2）只订甲、乙两报的；（3）只订一种

报纸的；（4）正好订两种报纸的；（5）至少订一种报纸的；（6）不订任何报纸的.

72.从1〜9九个数字中，任取3个排成一个三位数，求:⑴所得三位数为偶数的概率;（2）所

得三位数为奇数的概率.

73.设某批产品共30件，其中有4件次品，现从中任取3件，求：（1）其中无次品的概率；

⑵其中恰有2件次品的概率.

1_已-3*X>0

91.设变量X的分布厂（幻二/''求X的密度；P{X>1}；P{-1<X<1}.

0,x<0.

A¥2,0<x<1,

92.设变量X的密度为=,（1）求常数A；（2）计算概率P{X>■!■}.

o,其它.2

87.设随机变量X的分布列为

X|0|13

p0.3p03

求（I）〃；（2）期望七（X）；（3）方差Q（X）.

设变量的密度为，0<v<l

90.X/（x）］?”且£(X)=0.75求与D(X).

U，其它

.某单位同时装有两种报警系统A与B，当报警系统A单独使用时，其有效的概率为0.7;当

报警系统B单独使用时，其有效的概率为0.8.在报警系统A有效的条件下，报警系统B有效

的概率为（）.84.计算:1）两种报警系统都有效的概率;2）在报警系统B有效的条件下，报警系

统人有效的概率;3）两种报警系统都失灵的概率.

1）P（AB）=P（A）P（BjA）=0.70x0.84=0.588;

P(AB)P(A)P(3|A)=0.70x0.84=0.588

P(A\B)=

2)-PW-P(B)~~~(186--0.80

3)P(AU砂=P(4)+P(B)-P(AB)=0.70+0.80-0.588=0.912;

P(AB)=1-PiAUB)=0.088.

94.两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03,第二台出现废品的概率是

。.。2,加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件占总量的|,第二台加工的

零件占总量的L求任意取出一个零件是废品的概率.

3

95.某工厂有甲、乙两个车间生产同一种产品，两车间产品的次品率分别为0.03和0.02,

生产出来的产品放在一起，且甲车间的产量比乙车间的产量多一倍.求该厂产品的合格率.

96.已知袋中有10只白球3只黑球，在其中取二次每次随机地取一只，取后不放回，求第

二次取出的是黑球（记为事件B）的概率.

.〃件产品中有6件次品，任取两件，求：

1）在所取两件中至少有一件是次品的条件卜：另一件也是次品的概率；

5』m-\

答案---------

2/?-m-\

2）在所取两件中至少有一件不是次品的条件下，另一件是次品的概率.

答案2〃？

11+-1

.两台车床加工同样的零件，出现废品的概率依次为0.03,0.02,第一台加工的零件量是

第二台的2倍.计算：

(1)任取一个零件是废品的概率；(2)如取出的是废品，它是第二台车床加工的概率.

记8尸｛取出的零件由第i台车床加工｝,i=l,2,则用，扇构成样本空间一个划分.设A=(取

2

得废品｝,已知P(B)=-,P(A|Bi)=0.03,P(A|B)=0.02.

3232

(1)由全概率公式得

21

P(A)=P(Bi)P(4|Bi)+P(B)P(A|B)=-X0.03+-X0.02=0.0267.

2233

(2)由贝叶斯公式得

P(AB?)P(B)P(A\B)I

P(B\A)=22=

2P(A)P(A)~4

.将信息编码为A,8传送，由于信号干扰,接收站收到信息时，A被误收作B的概率为

0.2,B被误收作A的概率为0.1,发出编码A,8的概率依次为0.6,0.4,计算：

1)接收站收到信息A的概率⑵在收到信息A的条件下发出信息B的概率.

记事件8=｛收到信息A｝,A尸｛发出信息A｝,&二｛发出信息B｝.

1)P(B)=P(A)/BIA)+尸(4)2例4)

=0.6x(l-0.2)+0.4x0.1=0.52;

P(AB)P(4)P(8|4)0.4X0.14

2)P(A|B)=2—=0.07692

P(B)P(B)0.5252

97.将信息编码为A和8传送，由于信号干扰,接收站收到信息时，A被误收作B的概率为

0.02;B被误收作4的概率为().01,编码A与8传送频繁程度为2:1,计算：

1)接收站收到信息A的概率⑵在收到信息A的条件下发出信息B的概率.

记事件B=(收到信息A),4尸｛发出信息A｝,4=｛发出信息8｝.

1)P®=P(A)P1B|4)+P(A2)P(B\A2)

21

=——x(1-0.02)+——xO.Ol

1+21+2

=-x0.98+-x0.01=0.6567;

33

P(&B)P(4)P(B|4)

2)P(AIB)=

2P(B)P(B)

-xO.Ol

=-----=0.00508.

0.6567

.市场上供应的某种商品由甲厂，乙厂及丙厂生产.甲厂产品占50%；乙厂产品占30%；丙

厂产品占20%.甲厂产品合格率为88%；乙厂产品合格率为70%；丙厂产品合格率为75%.

计算：

(】)在市场上任意购买一件这种商品是合格品的概率；

(2)在市场上已购买的--件不合格品是乙厂生产的概率.

记事件4二｛任意购买一件此商品是合格品｝,A=(此商品是甲厂生产｝,4=｛此商品是乙

厂生产),43=｛此商品是丙厂生产｝.

(1)全概率公式得

P(B)=P(A)P(B|A,)+P(Aj)P(B\A2)+P(A3)P(A3)P(B|A3)

=0.5xO.88+0.3x0.7+0.2x0.75=0.80.

(2)后=｛任意购买一件此商品是不合格品｝

=P(28)二P(4)P(B|A?)=0.3x(l-0.7)=2=045

P(4|B)P(B)-1-P(B)1-0.8"20"'

.某公司甲、乙、丙车间生产同一产品，产量依次为60%,30%,10%；次品率依次为3%,

4%,6%.计算:

(1)总产品中任取一件产品是次品的概率；(2)随机检出的一件次品是乙车间生产的概率.

记事件B=｛任取的一件产品是次品｝,4=｛次品是甲车间生产｝,A?=｛次品是乙车间生产｝,

｛次品是丙车间生产｝.

(1)全概率公式得

P(B)=P(4)尸(8|A)+P(4)P(8|4)+P(4)P(&)P(例4)

=60%x3%+30%x4%+10%x6%=3.6%.

(2)由贝叶斯公式得

P(AB)二P(4)P(8|4)30%x4%_1

尸(4|B)=2

P(8)P(B：3.6%

.从含4只红球和3只黑球的袋中任取3只球，计算:1)取出红球数X的分布列;2)不少于2

只红球的概率.

32

1)P(X=())=^C-=I—;P(X=l)=c^'^C-=1—2;

C-35C；35

C2cl

P(X=2)=-^=

J

184??

2)P(X>2)=P(X=2)+P(X=3)=—+—.

353535

.设随机变最X~N(0,l)，计算变量r=ex的密度函数.

当时，丫=©、的分布%()，)=0,当>，>0时，

x

Fy(y)=P(Y<y)=P(e<y)=P(X<lny)=O(lny),

因而y的密度为

fy(y)=①(Iny)=奴Iny)(lny)=”奴Iny),

2

1pynf(lny)l

0,y<0.

又法反函数X=lny,,q=lny,

人(y)=奴％奴ln)，)

-"^iexp_(、?)],y>0.——3分

72兀y2J

2.设随机变量X~NW，/)，计算:变量K=ex的密度函数.

当y<0时，丫=6、的分布弓()，)=0,当〉，>0时，

x

4(),)=2(丫Ky)=P(e<y)=P(X<Iny)=Fx(Iny).

因而y的密度为

fY(y)=工(Iny)=Zx(lny)(\ny)'=fx(\ny)

y>0,

又法反函数X=In匕xv=Iny,当)，K0吐fY(y)=0,

人")=fx(x»y=A(ln=(lny)；

(lny-〃)2

=exp>>0.

75fe2

3.设变量X密度/Q）=奈-卜哥。>0,A>0.il算:变量Y=X2的分布和密度.

2

FY(y)=P(Y<y)=P(X<y)=P(X<^)=Fx(4y)-

/r(.V)=4(y)=F,x(V7)=fx(V7)—U

2]

性exp卜贵康《exp卜盘y>0.

因此y〜指数分布

或反函数x=VF,xy=6,

fy(y)=fx(4)x；=/x(Vy)(V7)

_V?exDj__y_l_l___l_exDf__y_lv>0

(y~2bJ2yly2b2bJ

因此丫~指数分布上(」下]

\2aJ

.设随机变量x〜mi)，计算变量z=ix।的密度.

z=|X|的分布函数为Fz(z)=P(Z<z)=P(|X|<z),

当zW0时，匕(z)=()；当z>0时，%(z)=P(-z<X<z)=①(z)-①(一z)=2①(z)-1.

因而Z的密度函数为

7/\-^^exp|-,z>0,

fz(z)=\&I2J

0,z<0.

又法X](z)=一z,X2(z)=z,

—(z)=—(不⑶)IX(z)I+fx(x2(z))|马⑶上居exp{-1},z>0.

.二维变量（x,y）的联合分布阵列及边缘分布列的部分分布概率如下表,x,y独立,计算表

中的其它分布点上的分布概率（需要有过程）.

Xy为%Pi-

8

1

8

1

p-j6

111

-----=---

Ai=PA-P21

6824

据独立性有

Pi.+P2.=1，

P12=PLP.2,

IP2LP2P」，

代入

111

解得

13

外=产.=了幺

2

11

=1-1--=—,

623

1I3

—=

P12=P.2-P\2=-

881

1111

1

〃23=〃3-〃13=-T2-4

又法

Xy\y>Pi-

王aeg

8

1

428bfh

1c1

Pj6d

11

a+—=2a=——,

8624

〃:Lc1I2]〃31

•.一

816(882

]_

d=1—

63

/1」1ri

ea=f:-=d:—=2\\,e=——，于=一,

86124

11111

#=〃+—+e=---1---1-——=—,

8248124

11,,1313

h=—+f=—iF-=一,

88844

13

或〃=1-g=1—=—.

44

乂法

111

"1~6824

111_3

P11P22=P\.P\P2.P.l=P\1P1\^—P22藐"签获'

311

P.2=Pl\+P22=-+y

ooZ

I1111

P.3=1-Pj-/?2=1-T--,..

o23

111I

〃“3=人〃业户〃,，五养〃/，〃“二五，

1111

P21P,3=〃2.〃.科3=〃23〃」，--=P23-^23=-，

1111

Pl.=Al+P12+A3=T7+-^

Z4o124

I113

Pi.=1-A.=1-7=7»

44

X123

1

1Y

618

2aP

9

由独立性，两行成比例，=2=?=2,a=L夕=2/

1/±3

618

。111,

。+4+/+—+—+—=1,

6918

c-21

P+y=_邛=_、'/=一.

399

1?1

因此a=§，尸=