概率论与数理统计练习题含答案

第一章随机事件及其概率

练习：

1.判断正误

(1)必然事件在一次试脸中一定发生，小概率事件在一次试验中一

定不发生。(B)

(2)事件的发生与否取决于它所包含的全部样本点是否同时出现。

(B)

(3)事件的对立与互不相容是等价的。(B)

(4)若P(Q=°，则A=(B)

(5)若P(A)=0.4,P(B)=0.5,则尸(AB)=0.2。(B)

(6)A,B,C三个事件至少发生两个可表示为ABUBCDAC(A)

(7)考察有两个孩子的家庭孩子的性别，

｛(两个男孩),(两个女孩)，(一个男孩,一个女孩)｝，则p｛两个女孩｝二：°

(B)

(8)若P(A)WP(B),则AUB。(B)

(9)n个事件若满足皿„44)=尸(4)尸(4),贝IJn个事件相互

独立。(B)

(10)只有当4uB时,有P(B-A)=P(B)-P(A)。(A)

2.选择题

(1)设A,B两事件满足P(AB)=0,则©

A.A与B互斥B.AB是不可能事件

C.AB未必是不可能事件D.P(A)=O或P(B)=O

(2)设A,B为两事件，则P(A-B)等于(C)

A.P(A)-P(B)B.P(A)-P(B)+P(AB)

C.P(A)-P(AB)D.P(A)+P(B)-P(AB)

(3)以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事

件A为(D)

A.“甲种产品滞销，乙种产品畅销”

B.“甲乙两种产品均畅销”

C.“甲种产品滞销”

D.“甲种产品滞销或乙种产品畅销”

(4)若A,B为两随机事件，且BuA,则下列式子正确的是(A)

A.P(AUB)=P(A)B.P(AB)=P(A)

C.P(B|A)=P(B)D,P(B-A)=P(B)-P(A)

(5)设尸("□8)=a,P(A)=。,尸(8)=c,则P(")等于(B)

A(a+c)cBa+c-1

c.a+b-cD.(l—))c

(6)假设事件A和B满足P(B|A)=1,则(B)

A.A是必然事件B.°加=°

C.AnBD.AuB

(7)设O<P(A)<1,O<P(B)<1,P(MB)+P(A\B)=\则①)

A.事件A,B互不相容B.事件A和B互相

对立

C.事件A,B互不独立D.事件A,B互相独

8.对于任意两个事件4,3,必有(C)

A若*。，则4,8一定独立；氏若A3=人则A,8一定独立；

C.若48+点则A"ff可能独立；。.若AB=我则A,B一定不独立；

9.已知P网A)=g,P(平)VP(AB)=(，则P(4),P(8)的值分别为:(D)

14„13.14h33

AA.一,—B.一»—C.—,—D.—,一

37351535105

三解答题

1.设P(4)=p,P(B)=q,P(AB)=L求下列事件的概率：P(AJ

P(XlJB),P(硒.

解：由德摩根律有P(Auff)=P(AB)=l-P(AB)=l-r;

P(AB)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=q-r;

P(AuB)=P(A)+P(S)-P(AB)=(1-p)+q-(q-r)=\+r-p;

P（AB）=P（AUB）=1-[P（A）+P（0—P（AB）]=1一（〃+夕一厂）.

2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别是0.6和05现

已知目标被命中，求它是甲射击命中的概率。

解：设事件A9表示甲命中，A乙表示乙命中，8表示目标被命中。

P(ApB)尸(即)_0.6

%/网==0.75

P(B)-P(A|.MA^)-0.6+0.5-0.6x0.5

（因为4uB,所以A/=Af），

目标被命中只要甲乙至少有一个命中即可，所以P（或二P（A〃uA乙）

甲乙独立射击，所以P（A俏乙）=P（4JP（A乙）。

3.设一枚深水炸弹击沉一潜艇的概率为06求释放4枚深水炸弹能

击沉潜艇的概率。

(3)PQ)中的a是一个常数，它的概率含义是均值。(A)

(3)P(a<X<b)=P(a<X<b)Q(B)

(4)若X的密度函数为/(x)=cosx,则20<*<1)=[3皿.(8)

2选择题

(i)若X的概率函数为"=幻=。下，〜)』2,则的值为(D)

A.AB.—A,C.e"D.e'

(2)设在区间&同上，X的密度函数/(x)=sinx,而在团可之外,

〃x)=0,则区间[〃回等于：(A)

A0,y5.[0,/r]C.-pOD.0,y

(3)若x~尸(㈤,当加=()时P(x=㈤最大？(A)

/U或[刃B.2-1C.[A]D.A,

三解答题

(1)已知一批产品共20个，其中有4个次品，按不放回与有放

回两种抽样方式抽取6个产品，求抽得的次品数的概率分布。

解：不放回抽样，次品数X〜"(4,6,20)

P(X=k)=,2=0,1,2,3,4.

放同抽样，次品数Y〜R6,士)

20

14

P(X=幻=C：(葭]严次=0,1,2,3,420.

(2)设X的分布律是尸(乂=-1)=±。(乂=1)=±求它的分布函数。

22

解:

x<-\,P(X<x)=0,F(x)=0;

F(x)=P(X<x)=P(X=-\)=

1<x,F(x)=P(X<x)=P(X=-1)+P(X=l)=1;

0,x<0;

F(x)=一,一1<x<1

2

l,x>1.

(3)设连续型随机变量X的分布函数为

0,x<0,

F(x)=<Asinx,0<x<-|^,^<(1)常数A的值

,>一71

2

(2)P(W<5)(3)X的密度函数

解：由分布函数的右连续性，函数的右极限值等于函数值有

limF(x)=F(-),所以1=Asin.，所以A=1.

冗\n/汽4\L/4\r->/冗\.乃C।

<一)=P(—<X<一)=F(一)—F(—)=sin---0=—.

6666662

cosx,()<x<­,

fM=Fr(x)=«

0,其它.

4设随机变量X的概率密度函数为.二黑十，求⑴常数人

⑵p(-]<^<|)

(3)X的分布函数。

解：由密度函数性质有

[Axdx=1,A—?=2A——=I,.'.A=—.

P(-\<x<-)=pf(x)dx=^lOclx+p-xdx=-x22=—.

分布函数为：

当xVI时，F(x)=P(X<x)=O-

当］<x<2时，/(x)=P(X<x)=J：=J：g，d/=lr2|；=lx2-i.

当xN2时，尸(x)=l.

5.电话站为300个电话用户服务，在一小时内每一电话用户使用电话

的概率等于0.()1,求在一小时内恰有4个用户使用电话的概率：先用

二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差。

解:4*=4)=C；0006ro.993叱4=01689,九二叩二300x0.01=3。

34

/>(x=4)=—e-3=0.1680

4!

式」6-刁=0.53%

6

第三章随机变量的数字特征

练习1判断正误：

(1)只要是随机变量，都能计算期望和方差。(B)

(2)期望反映的是随机变量取值的中心位置，方差反映的是随机变

量取值的分散程度。(A)

(3)方差越小，随机变量取值越集中，方差越大越分散。(A)

(4)方差的实质是随机变量函数的期望。(A)

(5)对于任意的X,Y,都有叩=碇口,"'-丫)=。*-力丫成立。⑴)

(6)若EX=C/iJx=y。(B)

2选择题

⑴对于X与Y,若EXY=EXEY,则下列结论不正确的是(A)

A.X与Y相互独立B.X与Y必不相关

C.D(X+Y尸DX+DYD.cov(X,Y)=0

(2)X~BQi,p),EX=2.4,DX=1.44,则几p的值为(B)

A.4,0.6B.6,0.4

C.8,0.3D.24,0.1

(3)两个独立随机变量X和Y的方差分别为4和2,则3X-2Y的方差

是(D)

A.8B.16C.28D.44

(4)若EX,DX存在，则E(DX),D(EX)的值分别为(C)

A.X,XB.DX,EXC.DX,0D.EX,DX

3解答题

(1)X与Y相互独立，且EX=EY=1,DX=DY=1,求E(X-YJ

解：

E(X-y)2=O(X-y)+£：2(x—y)=ox+Qy+(EX-Ey)2=l+l+0=2.

(2)设X与Y独立同分布，都服从参数为2的泊松分布，设

U=2X+Y,V=2X-Y

求U与V的相关系数0。

解：cov(f/,V)=EUV-EUEV.

E(UV)=EQX+y)(2X-Y)=F(4X2-Y2)=4(DX+E2X)-(DY+E2Y)=3(2+22).

EUEV=E(2X+Y)E(2X-Y)=(22+2)(22-2)=3A2.

cov(U")=EUV-EUEV=3(/l+/l2)-3A,2=32.

DU=D(2X-Y)=4DX+DY=5尢DV=DQX-Y)=4DX±DY=5A.

_cov(U,V)_3-_3

'-V5Z7V57一反屈一寸

(3)

-LX<0

X〜U(-l,2),Y=\0,X=0

1,X>0

求EY及DY。

解：Ey=-ixp(y=-i)4-oxp(y=o)+ixp(y=i)=-ixp(x<o)+ixp(x>o)

F1(21

=—1x-4-1x=.

333

1Q

DY=EY2-E2Y=(一I)?xP(X<0)+l2xP(X>0)-(-)2=

（4）假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时

全天停止工作，若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元，发

生一次故障仍可获利润5万元；发生二次故障所获利润为0元；发生

三次或三次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少？

解：设X表示出故障的次数，Y表示利润。

10,x=o

5,X=I

X〜例5,0.2),Y=〈

0,X=2

-2,3<X<5

"=10xP(X=0)+5xP(X=l)+(-2)[P(X=3)+P(X=4)+P(X+5)]

EK=10x。；0.200.8$+5xC^O.Z'O.S4+(-2)[Cj0.230.82+C；0.240.£+C^O.2SO.8°J

化简即可。

（5）汽车起点站分别于每小时的10分、30分和55分钟发车，若乘

客不知发车的时间，在每小时的任一时刻随机到达车站，求乘客等候

时间的数学期望。

解：设X表示乘客的到达时间，则Y表示等候时间，

10-X,0<X<10

30-X,10<X<30

X〜U[0,60],Y=\

55-X,30<X<55

70-X,55<X<60

<-10]1,55If60I5

EY=\(10-x).—dx-¥\(3()-x).一dx+\(55-x)dx+\(7()-JC)dx=\0—

J。60Jl060人。60J556012

第四章正态分布

练习题：

1.判断题：

(1)若X则以，人称为正态分布的两个参数，且

//>0,CT2>0.(B)

(2)正态分布的密度函数是偶函数，其图象关于)'轴对称。(B)

(3)正态分布密度函数的图象对称轴由〃决定，平坦度由。2决定。

(A)

(4)P{a<X<b)=<D(Z?)-0(/7);⑴)

(5)若XNO/*阳一5,1),则X+YN(0,2).(B)

2.选择题：

(i)若两个相互独立的随机变量x和丫分别服从正态分布MO』)和

N。/)，则(B)。

A.P(X।ywo)=l；B.P(X।y

2,2

c.p(x-y<o)=-；<1)=-；

22

(2)已知XN"d),则随。的增大，利X-4<b)的值(c)c

A单调增加；R单调减少；

C保持不变；D非单调变化.

(3)在本门课程中，习惯上用/表示标准正态分布的上侧。分位数,

则①(%)=(3)

ZV

A.a;BA-a;CA——;。.无法确定。

2

(4)若XN(O,1),且P(X>%)=a,则列x|>%)=(5).

AaR2aC.—DA--

22

3解答题

(1)已知X-M&OS),求

P(X<9),P(7.5<X<10),P(|X-8|<1),P(|X-9|<0.5).

解：

P(X<9)=F(9)=<D(——)=(D(2)=0.9772,

5

1A_Q75_o

P(7.5<X<10)=F(10)-F(7.5)=0(---)一0(-——)

09^5

=①⑷一①(―1)p0>(1)=0.8413,

P(|X-8|<1)=P(^—^<—)=2O(2)-l=0.9544,

110.50.5

P(|X-9|<0.5)=尸(-0.5<X-9<0.5)=P(8.5<X<9.5)

95-885-8

=O(——)-<D(——)b1-0.8413=0.1587.

0.50.5

(2)某地抽样调查考生的英语成绩(按百分制)计算，近似服从

正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的

2.3%,求考生的英语成绩在6084分之间的概率。

解：设X表示考生的英语成绩，则X〜N(72,b2),由已知有

P(X>96)=0.023,则PiX£96)=1-0.023=0.977,

即X-72<96-72)=0(—24)=0.977,查正态分布表知2上4二2,所以。=12.要求

(7(7(7(7

P(60<X<84)=P(")—72<<84~72)=①⑴-①(—1)=2①⑴-1=0.6826.

121212

第五章

1.判断正误。

(1)总体是随机变量，样本也是随机变量，并且它们的概率分布

完全相同。(A)

(2)样本来自总体，样本与样本，样本与总体之间都是相互独立

的。(B)

(3)统计问题的核心是由样本估计总体，样本容量越大，估计越

准确。(A)

(4)统计量是样本的函数，但不是所有的统计量都是随机变量。

(B)

（5）样本均值与耿是相等的。（B）

2.选择题。

（1）X，X2-X”为来自总体的一个样本，〃已知，未知,

则以下是统计量的是（A）

(Z^.-X)2

A，C^X.-X)2

£（X,「反）

（2）乂工2…X”为来自总体N（0,1）的一个样本,反了分别为

样本均值和样本方差，则以下不正确的是（B）

A.nX~N(0,〃);B.-^〜/(/?—1)

cZXf(〃)-I

DX~N((),一)

（3）下列统计量服从二（〃）分布的是：（D）

/=l

c.3$=里⑸田

bnMcr

（4）X”M…乂。和&X2…Xg是分别来自总体N（1.4）和N（2,9）的样

若

本，ka?分别是它们的样本方差，则常数〃=（。时，统计量可

服从尸（9,8）分布。

394

A—B2C.-及二

249

（5）若x〜/⑺，则上（乂2）=（C）

A.3nB.2nC.n2+2/?D.n2+n

（6）X「X?…X”为来自总体N",『）的一个样本，区为样本均值,

则P(匿—“<cr)(C)

A与b有关；A与〃有关；C.与n有关；D.为一常数

（7）设x〜/⑹,丫〜/⑸，且X,y相互独立，则箫〜（0

A---------8/(5,6)C.—!—0/(6,5)

F(5,6)尸(6,5)

X«〃)(〃>1),y=—

(8)设x2贝ij(C)

AY〜/(〃)CY^F(nA)。丫~/(1,〃)

（9）设X〜N（（）,l）,y~N（0,l）,则必有（C）

A.X+Y服从正态分布

庆亡十产服从/分布

C.X2与片都服从/分布

Y2

D.产服从F分布。

第六章参数估计

1.判断题

（1）参数的点估计适用于总体分布已知但参数未知的情形。A

2参数的点估计由不用的估计法得到的估计量完全相同。B

3同一参数的矩估计量优于极大似然估计量。B

4无偏估计量的函数未必是无偏估计量。A

5同一参数的矩估计量往往不唯一。A

6同一参数的两个估计量方差越小的越有效。B

2.选择题。

⑴若1,1,1,0,1,1是来自总体B（1，P）的观察值,则p的

矩估计量是（D）

A-B.-C.-D.-

5526

（2）XPX2X”是来自总体X的一个样本，且OX=/,匕S?分

别是样本均值和样本方差，则必有（D）

A.S是不勺无偏估计量8s是不勺极大似然估计量

C.G与S?相互独立D.ES。=cr2

（3）正态总体X的方差，已知，为使总体均值的置信度为l—a的

置信区间长度不大于L,则样本容量〃应取（D）

.2222"J"

A.n>B.n>JC.n<—^；—D.n>———

1}I）I）I）

（4）总体X服从（0,6）上的均匀分布,8>0未知，乂区…X0是来

自总体X的一个样本，则。的矩估计量为：（B）

A.XB.2XC.min{X,,X2...XJ/Zmax{XpX2..-XJ

（5）总体X的分布律为P（X=x）=&r,x=0』,2…，而1,2,5,7,

x!

8是来自X的观察值，则义的最大似然估计值为（C）

23

4.4B.5C.—D.3

5

（6）X1,X2，X3是来自总体X的一个样本，DX=a2,则以下无偏估

计量中（B）最有效。

3121

A.—X.4—X、4—X?+Xf+X3）

5152533,23

C.-X.+—X、+—XQD.-X.+—X、H—XQ

613-2-414-23

3.解答题

(1)乂,占…x.是来自总体x的一个样本，其中总体有密度

2

/“劭=标(D求未知参数的矩估计量

o,其他

(ii)判断矩估计量的无偏性

(iii)计算估计量的方差

解：(i)先求总体的一阶原点矩即数学期望

EX=\"x-(O-x)dx=^x-Odx-^x-xdx=--^-^-—^=-.

Jo。八J。4Jo仍。2°O?3°3

_f)__

令研=又即一二又，得9=3北

3

(ii)£6>=E(3X)=3E(X)=3E(X)=3--=<9,

3

所以该估计量是无偏估计量。

(iii)估计量的方差

DX=EX2-E2X=f\2~(6>-xWr-(-)2=—;

J。e13is

--DX〃2

。⑻=〃(3X)