常州高级中学0高三上学期周练数学试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精江苏省常州高级中学2015—2016学年第一学期高三数学周练（1）班级学号姓名一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1．若复数满足（是虚数单位),则．2．已知集合3．某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间[96,106]，样本中净重在区间[96，100）的产品个数是24，则样本中净重在区间［98,104）的产品个数是4．根据如右上图所示的伪代码，可知输出的结果为5．将一颗骰子投掷2次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为,则方程组只有一个解的概率为6．若对任意，直线都不是曲线QUOTE的切线,则实数的取值范围是7．如图,在中，，，，则=8．定义在上的可导函数满足，．SKIPIF1<0已知，则“”是“”SKIPIF1<0的条件。（填“充要条件”,“充分不必要条件",“必要不充分条件”，或“既不充分也不必要条件”）9．设数列{}是公差不为的等差数列，为其前项和，若，，则的值为10．已知函数,其中．若的值域是，则的取值范围是______11．设,若则的取值范围是________________12．等腰直角△ABC中，斜边，一个椭圆以为其中一个焦点，另一个焦点在线段上，且椭圆经过两点，则该椭圆的离心率为13．若函数在上有最小值,则实数的取值范围是14．函数,若是互不相等的实数，且,则的取值范围为二、解答题：本大题共6小题，共计90分.15．（本小题满分14分）已知函数．(1)求函数的最小值和最小正周期；(2）设的内角、、的对边分别为，,,且，，若，求，的值．ABCEFP16．(本小题满分14分)在直三棱柱中，AC=4,CB=2，AA1=2，，E、F分别是、的中点ABCEFP（1）证明：平面平面;（2）证明：平面；（3）设是的中点，求三棱锥的体积．A17．(本小题满分14分)如图，在边长为6的等边三角形纸片的边上分别取点，,使沿直线折叠三角形纸片后，定点正好落在边上（设为点），设．AEA（1)试用表示；EA(2）求的最大值．DDPABACPABAC18．（本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆过点． （1）若椭圆的离心率为，求椭圆的方程； (2）若椭圆上两动点P，Q，满足OP⊥OQ．①已知命题：“直线PQ恒与定圆C相切"是真命题，试直接写出圆C的方程；（不需要解答过程)②设①中的圆C交轴的负半轴于M点，二次函数的图象过点M．点A，B在该图象上，当A，O，B三点共线时，求△MAB的面积的最小值．19．（本小题满分16分）设数列满足，．数列满足．正数数列满足． （1）求证:数列为等差数列; （2）设数列，的前项和分别为，，求数列的前n项和．20．(本小题满分16分)设函数有且仅有两个极值点．（1）求实数的取值范围；（2）是否存在实数满足？如存在，求的极大值;如不存在，请说明理由．江苏省常州高级中学2015-2016学年第一学期高三数学周练（1）附加题班级学号姓名B．（选修4－2：矩阵与变换)已知矩阵A属于特征值的一个特征向量为．（1）求实数，的值;（2）若曲线在矩阵A对应的变换作用下，得到的曲线为：，求曲线的方程．C.（选修4－4：极坐标与参数方程）在平面直角坐标系xOy中，已知直线的参数方程为(t为参数）,圆C的参数方程为（θ为参数)．若点P是圆C上的动点，求点P到直线的距离的最小值．（第22题图）ABCDEA1B1C1D122．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，CC1＝5，E是棱CC1上不同于端点的点，且eq\o(CE，\s\up7（→)）＝λeq\o(（第22题图）ABCDEA1B1C1D1 （1）当为钝角时，求实数的取值范围； (2）若,记二面角B1－A1B－E的的大小为，求．23．某商店为了吸引顾客,设计了一个摸球小游戏，顾客从装有1个红球，1个白球，3个黑球的袋中一次随机的摸2个球，设计奖励方式如下表：结果奖励1红1白10元1红1黑5元2黑2元1白1黑不获奖(1)某顾客在一次摸球中获得奖励X元，求X的概率分布表与数学期望；（2）某顾客参与两次摸球，求他能中奖的概率．江苏省常州高级中学2015-2016学年第一学期高三数学周练（1）参考答案1、 2、3、60 4、55、6、7、 8、充要9、 10、11、 12、13、 14、15、解:（1)，…………3分 则的最小值是－2,…………5分 最小正周期是;…………7分(2)，则，，，，…………10分,由正弦定理，得，①…………11分由余弦定理，得，即，②由①②解得．…………14分16、（1)证明：在，∵AC=2BC=4，∴,∴,∴由已知,∴又∵…………5分（2）证明:取AC的中点M，连结在,而，∴直线FM//平面ABE在矩形中,E、M都是中点，∴而，∴直线又∵∴故…………10分（或解：取AB的中点G,连结FG,EG，证明EG，从而得证)（3）取的中点,连结，则且,由（1)，∴，∵P是BE的中点，∴…………………14分17、（1）连接DP,则在中,解得：，其中………（7分)(2） 当时取“=”，的最大值为.………（14分)18、解：(1）由,所以．························································2分设椭圆方程为,将(1，1）代入得，所以，椭圆方程为．·············································5分(2)①．··················································································9分②由题意,二次函数为y=x2-1．······························································10分设直线AB的方程为y=kx．由，消去得,．设，，则，．······································12分所以．·····························14分当时，△MAB的面积S的最小值为1．·············································16分19、解：（1)由，得．又，所以．·······························································3分又b1=a1=1,所以数列｛bn｝是以1为首项，1为公差的等差数列．·····················4分（2)由（1)得，Bn=．·············································6分因,故．由dn〉0，得．于是,．······································································10分又当n≥2时,bnDn+dnBn-bndn=（Bn-Bn—1）Dn+（Dn—Dn-1）Bn-（Bn—Bn-1）（Dn-Dn-1）=BnDn-Bn—1Dn—1，所以Sn=（BnDn-Bn-1Dn-1)+（Bn-1Dn-1-Bn-2Dn—2)+…+（B2D2—B1D1)+B1D1=BnDn．··········14分因S1=b1D1+d1B1-b1d1=B1D1也适合上式，故对于任意的n∈N*，都有Sn=BnDn．所以Sn=BnDn==．···································16分20、解：(1）=2ax+ex．显然a≠0，x1，x2是直线y=与曲线y=g(x)=两交点的横坐标．··············2分 由==0，得x=1．列表:x(-∞,1)1(1，+∞）+0—g(x)↗g(x)max=↘·························································4分此外注意到：当x〈0时，g(x）<0;当x∈[0,1］及x∈（1，+∞）时,g（x)的取值范围分别为[0，］和（0，)．于是题设等价于0〈<a〈，故实数a的取值范围为(—∞，)．········6分(2)存在实数a满足题设．证明如下：由（1）知，0<x1<1<x2，=2ax1+=0，故f(x1）===，故．····························8分记R（x）=（0<x<1),则=，于是，R（x）在(0，1)上单调递减．又R（）=0，故R（x）有唯一的零点x=．从而，满足f（x1)=的x1=．所以，a=．·····························12分此时f（x）=，=，又〉0，〈0，>0，而x1=∈（0，1)，故当a=时，f(x）极大=f（x1）=．·······················································16分B．选修4—2:矩阵与变换解:（1)因为矩阵A＝eq\b\bc\[(\a\co2\vs2\hs8(2,b,1，3))属于特征值的一个特征向量为α＝eq\b\bc\[(\a\al\vs2（1,－1）)，所以eq\b\bc\[（\a\co2\vs2\hs8(2，b，1,3))eq\b\bc\［（\a\al\vs2(1，－1））＝eq\b\bc\［（\a\al\vs2（1，－1)），即eq\b\bc\［（\a\co1\vs4\hs8(2－b，－2)）＝eq\b\bc\[(\a\co1\vs4\hs8(，－))．………3分从而eq\b\lc\{（\a\al(2－b＝,，－2＝－．)）解得b＝0，＝2．…………5分（2）由（1）知,A＝eq\b\bc\[(\a\co2\vs2\hs8(2,0,1,3))．设曲线C上任一点M（x，y）在矩阵A对应的变换作用后变为曲线C上一点P（x0，y0）,则eq\b\bc\［(\a\co1\vs4\hs8（x0，y0))＝eq\b\bc\［（\a\co2\vs2\hs8(2，0，1，3)）eq\b\bc\[(\a\co1\vs4\hs8(x，y))＝eq\b\bc\［（\a\co1\vs4\hs8(2x，x＋3y))，从而eq\b\lc\{（\a\al（x0＝2x，，y0＝x＋3y．）)……………7分因为点P在曲线C上，所以x02＋2y02＝2，即（2x)2＋2（x＋3y)2＝2，从而3x2＋6xy＋9y2＝1．所以曲线C的方程为3x2＋6xy＋9y2＝1．………………10分C．选修4—4：坐标系与参数方程解：（方法一)直线l的普通方程为x－eq\R（,3)y＋eq\R（，3）＝0．……3分因为点P在圆C上,故设P（eq\R(，3）＋cosθ,sinθ），从而点P到直线l的距离d＝eq\F(|eq\R(，3）＋cosθ－eq\R(，3）sinθ＋eq\R(,3)｜，eq\R(，12＋（－eq\R（,3）)2））＝eq\F（|2eq\R(，3）－2sin(θ－EQ\F(π,6）)｜，2)．……7分所以dmin＝eq\R（,3)－1．即点P到直线l的距离的最小值为eq\R(，3)－1．………………10分（方法二）直线l的普通方程为x－eq\R(,3）y＋eq\R（,3)＝0．………………3分圆C的圆心坐标为（eq\R(,3），0)，半径为1．从而圆心C到直线l的距离为d＝eq\F（|eq\R(，3）－0＋eq\R(，3)|,eq\R（,12＋(－eq\R(，3)）2）)＝eq\R(，3）．…………6分所以点P到直线l的距离的最小值为eq\R（，3）－1．…………10分（第22题图）xyzABCDEA1B1C1D122．解：（第22题图）xyzABCDEA1B1C1D1 由题设,知B（2，3,0），A1(2,0，5），C(0,3，0)，C1(0，3，5）．因为eq\o（CE,\s\up7(→）)＝λeq\o（CC1,\s\up7(→)），所以E（0，3，5λ）． 从而eq\o(EB,\s\up7(→））＝（2,0,－5λ），eq\o（EA1,\s\up7(→))＝(2，－3，5－5λ)．……2分 当∠BEA1为钝角时，cos∠BEA1＜0， 所以eq\o(EB，\s\up7(→）)·eq\o(EA1，\s\up7(→))＜0，即2×2－5λ（5－5λ)＜0， 解得EQ\F(1，5)＜λ＜EQ\F(4,5)． 即实数λ的取值范围是(EQ\F（1,5），EQ\F(4,5）)．……5分（2）当λ＝EQ\F(2,5）时，eq\o（EB,\s\up7（→））＝（2，0，－2）,eq\o(EA1，\s\up7(→）)＝（2,－3，3）．设平面BEA1的一个法向量为n1＝（x，y,z），由EQ\b\lc\{（\a\al（n1·eq\o（EB，\s\up7(→）)＝0，，n1·eq\o(EA1，\s\up7（→））＝0）)得EQ\b\lc\{（\a\al（2x－2z＝0，，2x－3y＋3z＝0，)） 取x＝1,得y＝EQ\F(5，3),z＝1,所以平面BEA1的一个法向量为n1＝（1，EQ\F（5，3），1）．…………………7分 易知,平面BA1B1的一个法向量为n2＝(1，0，0)． 因为cos<n1，n2>＝EQ\F(n1