地震波动方程

第三章地震波动方程

现在，我们用前一章提出的应力和应变理论来建立和解在均匀

全空间里弹性波传播的地震波动方程。这章涉与矢量运算和复数，附

录2对一些数学问题进行了复习。

3.1运动方程(EquationofMotion)

前一章考虑了在静力平衡和不随时间变化情况下的应力、应变和

位移场。然而，因为地震波动是速度和加速度随时间变化的现象，因

此，我们必须考虑动力学效应，为此，我们把牛顿定律()用于连

续介质。

3.1.1一维空间之振动方程式

质点面上由于应力差的存在而使质点产生振动。如图「3所示,

考虑一薄棒向x轴延伸，其位移量为u:

dxds

:7(x)a(x-dx)

u

Fig3-1

则其作用力为“应力”X”其所在的质点面积”，所以其两边的

作用力差为

ds((r(x+tZr)-(T(X))=^(-dxds

dx

惯量(inertia)为

,,d2U

pdxds不

所以得出

............................................................................(3-1)

其中P为密度(density),。为应力(stress)=。

3-1式表示，物体因介质中的应力梯度(stressgradient)而

得到加速度。如果P与E为常数，则3-1式可写为

d2u1d2u

/一》市

(3-2)

其中c=f

运用分离变量法求解(3-2)式,设u=F(x)T(量，(3-2)式可以变为

XT=4-XF

c~

、小c2XffV

lx-------=—=-co

XT

则可得:

考虑欧拉公式:

/—(x+<?r)(x+er)(x-cz)-i-(x-rz)

ii=Aee+Bee+Cec+Dec(3-3)

其中A,B,C,I)为根据初始条件和边界条件确定的常数.

考虑到可正可负，方程式的解具有的形式，其中f与g为

波的函数，以c的波行速度向+x与-x方向传递。

我们可以采用如下程序模拟地震波的传播。平面波在均匀介质里沿

方向传播，剪切波的齐次微分方程可表达为：

d2u介，d2u

这里是位移。对100公里的波长和假定的情况，我们写出用有限

差分法解这方程的计算机程序。用长度间距，时间间距秒。假定

在(50公里)震源时间函数的形式为：

2

w50(r)=sin(^r/5)0ViV5秒

用(0公里)的应力自由边界条件和(100公里)的固定边界条

件。用有限差分图解来近似二次导数：

©2.=%+|-2〃,+〃?]

以4秒的间隔画出1-33秒的图。

M=moviein(101);

dx=l;dt=0.l;tlen=3;beta=4;%初始化变量，tlen为震源持续时间，

beta为波传播的速度

ul=zeros(101,1);u2=ul;u3=ul;

%ul为前一个时刻的各点的位移，u2为当前时刻的位移，u3为下一个

时刻的位移值，开始均假定为零

t=0;

jj=o；

while(t<=33)%模拟的最长时间为33秒

forii=2:100

rhs=beta"2*(u2(ii+1)-2*u2(ii)+u2(ii-l))/dx"2;%方

程的解

u3(ii)=dt2*rhs+2*u2(ii)-u1(ii);%对时间求导数

end

%左边为自由边界条件，右边为固定边界条件

u3(1)=u3⑵；％左边为自由边界条件

u3(101)=0.0;%右边为固定边界条件

%左右两边为自由边界条件

%u3(l)=u3⑵；％左边为自由边界条件

%u3(101)=u3(100：i;%右边为自由边界条件

%左右两边为固定边界条件

%u3(l)=0.0;%左边为固定边界条件

%u3(101)=0.0;%右边为固定边界条件

if(t<=tlen)

u3(51)=(sin(pi*t/tlen))."21%地震震源时间函数

end

forii=l:101

ul(ii)=u2(ii);u2(ii)=u3(ii);%时刻的更新

end

plot(u2);%绘制目前的波形图

ylim([-1.21.2]);

M(:,jj+D=getframe;%获得当前的图像

t=t+dt;%时间延长

end

movie(M)%演示波形传播

3.L2三维空间之振动方程式

推导三维空间之振动方程式的过程，与上节中所采用的一维空

间讨论方式类似，如图3-2所表示，先探讨在x方向之位移量u:

Fig3-2

在y-z面上的作用力差为：

在x-z面上的作用力差为：

在x-y面上的作用力差为：

惯量为：

pdxdydz^-

得出

............................（3-4）

其中oxx、oyx与ozx分别为stresstensor在xx（x面方向、x

力方向），yx（y面方向、x力方向）与zx（z面方向、x力方向）

方向的分量。注意，在本讲义中有关stresstensor的两个下标

（indexes）之定义，依序为面的方向与力的方向。

将oxx、。yx与。zx与其对应的应变之关系代入3-4式可推导

得出三维空间之振动方程式如下：

............................（3-5a）

其中人与口为常数，而为Laplacianoperator,代表。

以相同的方法，可以得出在y与z方向的振动方程式，若其位

移量分别为v与w,则其相对应之振动方程式可分别表示如下：

c2v(\d0Er

p-T=U+^)—+AVV+/............................

oroyV

(3-5b)

...............••••••........(3-5c)

若以向量形式来统一表示3-5a、b、c式，可改写如下：

...............(3-6)

其中为位移向量，在X、y与Z方向的位移分量分别为11、V与W。

其中为体力，只有在研究震源时，才考虑该体力。这是构成

许多地震学理论基础的基本方程，称之为连续介质方程或运动方程。

体力通常包括重力项和震源项。在正常模型地震学中，重力项

是频率很低时的一个直要因子，但对所观测到的典型波长范围，即

在体波和面波的计算中，通常可被忽略。在这本书后面我们将考虑震

源项。在没有体力的情况下，有齐次运动方程：

p=(A+f.i)grad(divw)+//V2w(3-7)

在场论中考虑到：

VxVxu=VVu-V2u(3.8)

将其变为更常用的形式，即：

V2u=VVu-VxVxu(3.8)

将这个式子代入(3.12)得到：

p-7=(A+/.irot(rotu)

/ii=（2+2//）Wu-//VxVxu

上式决定了在震源区以外，地震波的传播。解真实地球模型的上述

方程是地震学的重要部分，这样的解给出了离震源某一距离的特

定地点预期的地面运动，通常称为合成地震图。

3.1.3体波（纵波与横波）之振动方程式

首先，我们考虑由介质伸缩所衍生的质点体积应变之振动方程

式。从上节所描述的单一方向（x、y、z）上之位移量（u、v、w）

所导出的振动方程式，可以进一步地推求体积应变所引发的振

动方程式，由的基本定义可以很自然的联想到分别将3-4a、3-4b

以与3-4c三式分别对x、y与z微分之后再相加，忽略体力，即可

得到下式：

J+2外力6.....................................

dt2p

（3-7）

另外，考虑剪切应变可能产生的振动方程式。若将3-5c式对y

微分、3-5b式对z微分，然后相减，忽略体力可得到下式：

................（3-7）

其中括弧内的孚-2项就是质点运动绕X轴的扭转角度。

dydz

V

Fig3-3

参考图3-3,一个质点P（y、z）向逆时针方向扭转到P'（y、

z）,扭转角度为3x,若其扭转半径为r,根据几何关系可得到：

y=rcosa,z=rsin（z

其位移形变为

v=-rcoxsin。=-zcox

w=rcoxcosa=ycox

将其分别对y与z微分且相加，得出

1（dw

叱=5显一法J

同理得到和，所以质点扭转的运动方程式可写为：

立¥=巴寸5

etP

-^r=—^2（°y

ap

^^=巴/阳..........................................

说p

（3-8）

3-6式与3-8式可用通式描述如下：

..................................（3-9）

其为典型之波动方程式。根据

对3-8式而言，，可得出.........（3-10）

对3-6式而言，，可得出.............（3T1）

3-10可视为纵波（亦称为P波），因其质点运动方向与波的传播

方向相同（如图3-4）o

Particlemotion

»Ray

质点运动方向波传方向

Fig3-4

1-24视为横波（亦称为S波），因3为扭转应变，其质点的转动

方向与波的传播方向成正交。S波依其质点振动方向的不同可分为

SV与SH,如图3-5所示。

SHwave

牛〃SVwave

波传方向

Fig3-5

综合以上所得，在完全弹性介质中，当其受外力作用时，产生

两种波相：纵波与横波。由前节所述之各弹性系数的关系，我们可

将3-10式以与3-11式写为：

—）

其他弹性系数与速度的关系如下:

.(3-12)

(3-13)

..........................

(3-14)

JLI=/E___=p\/^......................................................................................

,2(1+<T)产2

(3-15)

其中3T3式可化为

..(3-16)

在地函内部，大部分的泊松比。接近于1/4。

若。=1/4,则

而且

E=5p^=5£^

-62

我「52叶_52或

93

〃=嚓二04

若。=1/2,即介质为纯液体，则

〃、E与均皆为零

2=A*=pVy

地震所产生之弹性波，穿过地球内部，藉由弹性波传播所产生

的速度变化，参考弹性理论以与弹性系数关系，我们可以探索地球

内部的情况。

3.1.4地震波的势

位移往往可以根据P波的标量势和S波的矢

量：

u=V^9+Vx^,▽.0=0(3.25)

那么有:

Vu=S72(p=G(3.

26)

将其代入，得到:

广。-善。

\7xu=Vx(V^+Vx^)=VxVx^

=W-^-VV(根据3.13)

=-VV(因为▽•0=0)(3.27)

.dw。八八.cu施、八,dv八

=(--------)x+(-------------)y+(----------)z

dydzdzdxdxdy

将(3.27)代入吗=

dtp

需=铲电可得：

▽2%祟=0(3.29)

3.3P波的解由的标量波动方程给出，S波的解由的矢量波

动方程给出。

3.4平面波

式(3.28)和(3.29)具有相同的形式,它们在直角坐标

系可以表示为:

2M包+包+包1

dr-1苏/2击2,

我们用分离变量法来寻找形式的解。每个因子是仅仅一个变

量的函数。由上式可得:

c2d2Xc2d2Yc2d2Z1(FT

---T----T----T=---r

Xdx2Ydy-Zdz2Tdr

这意味着是常数，令其为可得：

乌+。27=0,Ta/”

dr

同理，对于某常数，有

驾+k；X=O,XW

dx-

R+《y=o,yoc*“

dy2

空十^Z=0,Zoce±^z

dz~

应注意，，因此解可由三个量，而不是四个量来表示。类

似于一维形式的推导。该方程可以有如下形式的通解：

卜…?+铮卜小+%»?+吧、

其中，，令

下面我们看看儿一……%z］的物理意义。令

IcJ

nx+ny+n.z

t——;x-----;-v-----=const=a

c

当t=tl时;

当t=t2时，

由平面解析几何知识可知第一式为离原点距离为的平面,

第二式为离原点距离为的平面，并且两平面的法线方向都为。因

此两平面之间的距离为，为波从tl时刻传播到t2时刻所传播的距

离，传播的速度恰为3这也是为什么我们在波动方程中将其称之为

速度的原因。

类似地，表示以速度c向-n方向传播的平面波。

任意函数都可以写成简谐平面波叠加的形式

根据Fourier叠加原理，可以把屋里上实际存在的平面波动，

以数学形式分解成抽象的、覆盖整个频率范围的平面波的积分来表

示：

(叫=黑脸也

%J-8(f>

实际问题不考虑-口。

因此通常取为方程的基本解。而为波传播的方向，由于C

为波的传播速度，通常称为慢度矢量。对不同的做Fourior叠加

即可得到任意函数形式的平面波。

引进平面波的概念很有帮助。平面波是一个位移只在波

的传播方向上变化，在与波传播方向相互垂直的方向上，位移为常

数的波动方程的解。例如，沿轴传播的波，位移可表达为：

u(xj)=f(r±%)(3.30)

这里是波的速度，是任意函数(矢量函数需表达

出波的偏振)，这波沿方向传播。位移不随变化。在方向上，

波无限扩展。如果是离散的脉冲，那么假定有以平面波阵面传播

的位移脉冲形式。更普遍地说，在位置矢量处，平面波在单位矢量

方向传播的位移可表达为：

u(x,r)=f(r-sx/c)(3.31)

=f(z-sx)(3.32)

这里是慢度矢量，它的值是速度的倒数。

由于地震能量通常由局部的震源辐射出来，地震波阵

面总有某种程度的弯曲。然而，在离震源足够大的距离，波阵面平坦

到足以使平面波的近似在局部上是正确的。因此，许多解地震波动方

程的方法总是把整个解表达为不同传播角度的平面波的和。往往通过

变换到频率域，从方程中去掉与时间的依赖关系。在这种情况下，

可以把特定角频率的位移表达为：

u(x,r)=A®)/dix)(3.33)

=A3)/—(3.34)

这里叫做波数矢量。在这本书中，我们将用复数来表示谐波。其详

细情况在附录2中作了复习。把谐波称为单色的平面波，有时也把它

叫做调和的或稳态平面波解。用来描述这样的波的其他参数是波数

,频率

,周期和波长。波数为单位长度内波的震动次数。

在波的传播过程中，某一振动状态(周相)在单位时间内传播

的距离为波速3因此波速又叫做相速。应注意介质中各质点的振动

速度和波的传播速度c是两个完全不同的概念。振动速度由震源确定,

它是周期性变化的，而波速的大小只与介质性质有关。

将不同的谐波参数归纳于表3.1。

表3.1谐波参数

角频率(0co=2疔==ck

CD\C

频率f/c=----=-=—

2万7人

丁124八

周期T

f(OC

八,0

速度CC=—=fA=—

Tk

c12乃

波长AA=—=cT=——

fk

波数kk=2再也

CAC

3.4〃波和S波的偏振

考虑沿方向传播的P波，根据(3.28)式有:

2

adxx(p=d„(p(3.35)

可以把(3.35)式的解写成:

°=供)(，士力)(3.36)

这里减号相应于沿方向传播，加号相应于沿方向传播。因为，

故有：

勾=3"

uy=0(3.37)

u.=0

注意对沿方向传播的平面波，在和方向没有变化，所以空间

导数和为零。对P波仅在沿轴波的传播方向上有位移。这样的

波叫做纵波。而且因为，运动是不旋转的，或“无旋”的。由于P

波使介质体积发生变化，所以P波也叫“压缩”波或“膨胀”波。然

而，要注意的是P波包括剪切和压缩，这是为什么P波速度对体积

模量和剪切模量反应都灵敏的原因。实际的P波谐振运动可以用图

3.2来说明。

图3.2沿页面水平传播的谐振平面〃波（上面）和S波（下面）的

位移。

S波纯剪切,没有体积变化。而P波包括材料体积的变化和剪切

（形状变化）。相对于地球实际的应变，这里应变被放大。

现在考虑沿正方向传播的S波，矢量势为:

“=疥+疥+也疥(3.38)

位移为：

Ux=(Vxip)v=d.i//y-dyi//z=0

Uy=(VXip)v=-d:y/x=(3.39)

%=(▽xip)；=「。必=一©%

这里我们再用，即给出：

1|=〃匕，一3r匕W（3.40）

运动在和方向，垂直于传播方向。S波的实际运动往往可以

分成两个分量：在含传播矢量的垂直面里的运动（波）和取向与这

个面垂直的水平运动（SH波）。因为，运动是纯剪切的，没有任何

的体积变化（因此叫做剪切波）。在垂直方向偏振的剪切谐波（波）

的质点运动如图3.2所示。

3.5球面波

如果我们假定球对称，P波势中的标量波动方程（3.28）就可能有另

外的解。在球坐标系里，拉普拉斯方程为：

=（3.41）

r~cr\_or

因为球对称，这里去掉角的偏导数，由表达式（3.28）,即得到：

Jar2£^1_1£^=0（3.42）

厂打[_dr]a~dt-

在点以外，方程的解可表达为：

如（3.43）

r

注意到除了因子外，这与平面波方程（3.30）是相同的。分别用+

和-号表不向

内和向外传播的波。因为这个表达式通常用来模拟从点源辐射的波,

所以在正常情况下，项表示波的振幅随距离衰减的几何扩散因子,

在第6章将进一步的探

讨。

在时，（3.43）不是方程（3.42）的正确的解。然而，这表明（例

如Aki和Richards,4.1节），（3.43）可能是以下非齐次方程的解:

祟Z昉⑺加）(3.44)

这里函数在以外的任何地方都为零，它的体积积分为1。因子

表示在震源时间函数。在第9章讨论震源理论时，我们将回到这个方

程上来。

平面波的反射和折射

地壳与地球内部是成层结构，内部有不少分界面。地表也可

看作一个界面，震源在各向同性的均匀介质中产生的地震波波阵面

是成球形的一层一层向外传播，称为球面波。因此，严格来讲，我们

应该讨论球面波遇到分界面时的情况。但当距离震源足够远时，也就

是说震源到接收点的距离比波长大得多时，作为一种近似，可讨论

平面波在分界面上的行为。同时当（为分界面的曲率半径），也

可以将分界面看作平面，这样可使讨论大大简化而不影响对许多现

象本质的揭示。同时，球面波在理论上可以看作是许多不同方向的均

匀或不均匀的平面波的叠加，因而先弄清了平面波在分界面上的行

为，也比较容易讨论球面波在分界面的行为。

P波、SV波

设平面波（指均匀的平面波）的传播方向在xz平面内，传播方

向就是波阵面的法线方向，波的位移场可以表示为：

U=up++VX（|）（1）

其中满足压缩波的波动方程，满足剪切波的波动方程.

由于均匀平面波波阵面上的为常数，而这里平面波传播方向

在XZ平面内，因此垂直于XZ平面的直线上的各点必在同一波阵面内,

也就是：。

P波产生的位移为:

P波产生的应力为

-Aw.(d2(pd2(p\/d2(p

（。二）,=尤。+2〃6口=4羡+—+2〃一=Z—r+—r+2;/—V

dz)dzIdx1dz"J3z~

2

以）,，=2〜端+豹0d(p

dxdz

（%）=2“小错+朗dv

=Lt——=0

dz

SV波的位移

%

%=—西—17=一下

z

­（〃）=等一尊二0

OZOX

%=（〃）=空—蚣=空

，J'dxdydx

SV波产生的应力为：

〃么

D=M+2«==2嗖:=29/z——

dxdz

/\_/aOUocw、(e2净如、

（。）=2-愕+用

ldz2dx2)

/\、（dv3卬1dv

QJ=2［把_、.=〃—+—n

\"4l.、尸（dzdy）dz

将上面两式代入（1）式得:

d(p讷

u=u+u=----------

dxdz

初d(/f.

v=v„+v=————

/'dzdx

d(p

卬=W+=——+--

pnsdzdx

分析界面条件，界面应力为:

..=20+2心心+当+2心=2VV+2

\dxdzd二z一

(du(d2(p+a*6M.

一+一=〃

(Hzdx)dxdzdx2dz2

c(dvdwdv

12侔小〃后+利

界面条件为界面两边应力相等，位移连续，即:

M=«',V=V*,M'=W

分析位移场在y方向的分量，也就是v全部为横波场的分量。

再由界面应力条件看，v只出现的表达式中，而u,w只出现在的

表达式中。因此，SH波和P-SV波产生的波场是分离的。

地球表面是一个特殊的分界面，它将无限介质划分为两个半空

间，地面以上空气介质，其密度与地面以下的岩石或海平面以下的

海水层相比可以忽略。地球表面可以看成是一个弹性半空间表面，表

面下面视为理想弹性介质，表面上面为空气，这种界面称为自由界

面，自由界面上的应力作用为零。本节中将介绍弹性波在自由表面上

的反射。

P波在自由界面的反射

如图所示，取xoy平面为自由表面，设有一P波自下部介质入射

到自由表面上，由于自由表面以上不存在介质，所以当波遇到自由

表面时，只可能折回到原来的介质，而不会透过它，即只存在反射

被而不存在透射波。当P波入射到自由表面上时，为满足自由表面处

的边界条件，反射波中会同时产生P波和SV波两种成分，此时，SV

波称为转换波。但是，由于SH波的振动方向与P被和SV波的振动方

向是相互独立的，所以反射波中不会产生SH波。

设入射P波为平面简谐波，入射面为xOz平面，法线为z轴，入

射P波的入射角为，反射SV波的反射角为，由图中各波的传播方

向与坐标轴方向的关系，它们的波函数可以写为：

这里只考虑分量，这是由于只有产生xoz平面的振动。

h="sin=^sin£sinz；

式中，°°P

；(o„(1)

K,=—CGSId，k.=—COSJ,k.=——cos人

-aap

由边界条件可知，在z=0处，方程为的线性组合(其中由于

z=0,指数因子中的z因子全为零)。所以必有，因此必有：

sinidsinidsini；

aap

这就是Snell定律，回忆一下儿何光学，可见上式与几何光学中

的折射定律和反射定律完全一致，这是由于它们在本质上(波动性)

有相同之处。而折射反射定律正是反映了物质的波动相关的一种规

律。在光学中是从光学实验或惠更斯原理得到了折射反射定律，而这

里我们从波动方程和边界条件出发也得到了它。

我们在以后的推导中令上式为常数Po

则波函数可以写为：

价=4©Ia)9…Ia©=Be(夕)

则：P波产生的位移为：

xdx

%«)="

p'p/：dz

P波产生的应力为

①)=(署+署］+2〃?=(疗”2_疗-2"丝J(P

p(drdz)oz~IaJa

，fYsin2i.cos2i.y_cos2/,|cos2/.

=-co~(AA-1+—d+2/Z-1=-co-cp—+24-f

(a-a-)a-\4-J

222

24+2//cosid4-2//sin(z-2/zsinid

“①a1

=-(cr(p"+=-dr(pp-2〃s—=-co2(pp(\-2/72/92)

—ccLva一

(CF.J=2侔"=//(—+—1=2〃=-2/ji(op—=-Ip^icop—

SV波的位移

SV波产生的应力为:

(%)"=柏+2侔==2^—=2〃—=-Ipiicoj)=-2PBw—21

dzcxozozdz

2

(\9(6〃3叫(6203Ml2Jcos/；jjp-V

=疗P(3-S#-丝'),=苏P(1-242P2/、.

IPPP)

根据边界条件，可得:

对于正应力：

%Lo=(q),+(%)“.=-P(I-2俨p2好&+心-2。俨而PU=U

dz

对于剪应力：

外Lo=(%),+0^)皿=一2〃%勿(詈+詈)+夕(1一2夕/么二°

将入射波反射波的势的表达式代入可得：

p(l-2U〃为A+4)+2〃2p等A=0

232P£2^/(A-A2I+P(1-262P2)8=0

a

由第二个式子可得：，代入第一式得到折射系数：

443回空M-2夕p?)2

4_________________

X4"/但'区入伍2夕”丫

反射系数为：

B-4"〃警（「2夕/）

由于、，代入上面的式子可得到:

A

p2sin2isin21-a2cos22i

Ads

P~sin2isin2（+a2cos22/

8dv

2sin，cos2Z

--Ip2i/v

A2

-2sin2idsin2is+a2cos2is

位移位的振幅并不表示质点的振幅，不具有实际物理意义，下

面讨论作为位移振幅比的反射系数。

对于稳态传播的P波，位移振幅为：；对于稳态传播的S波振

幅为：。我们可以举例说明上面的式子成立，如对于上面所表示的

入射波:

〃产g嗯=5

),=。

J\===T.①—cos'上、6

oza

其合成振幅为:

对于上面提到的SV波:

3玄.cosi

噜嘿——=-ico-----

dzp外

即V池地..

%=(")=—;----------3=『=一"也

dxdydx

其合成振幅为:

由此可知，入射P波在做自由界面上的反射P波位移反射系数与

势反射系数相同，而反射SV波的反射系数为势反射系数的倍，即

122

a2_psin2idsin2ix-acos2(

222

4psin2i(lsin2is+tzcos2zv

b__2a/7sin2/zcos2z5

222

4psin2idsin2is+acos2/v

假定SV波入射到自由表面上，其势振幅为A,入射角为，反射

SV波的势振幅为B,由反射定律可知其反射角为，反射P波的势振

幅为C,反射角为，则根据前面P波和SV波产生的势的定义式和

表面应力条件可得：

-2p俨+夕(1—2"忧》f回+心=0

=一夕(1一2夕2"2W(P-2P优i(D[[?+=0

I6zoz)

从而得到：

p^-2p2p2\A+B)-2p/32p^C=0

2〃/贵(A-8)”(1-2夕p?上=0

由第一个式子可得：，代入第二式得到折射系数:

将其带入上面的式子得

由于、，代入上面的式子可得到:

22

Bsin2ipsin2(-acos2is

122

Apsin2ipsin2/v+acos2Zv

C_2a2sin2idcos2/v

122

Apsin2ipsin2is+tzcos2/v

考虑势振幅和位移振幅之间的关系，可得

122

psin2ipsin2/^-acos2zv

22

ftsinsin2i、+a?cos2zv

2rz/?sincos2/5

22

夕2sin2sin2/v+(2cos2]

SH波在自由界面上的反射

设入射SH波的位移为：

/^（xsinii-zcasi,y-iaN

S=Hep

反射SH波位移分别表示为：

i\4-zcos/\

S'=H'efi

边条件为：

,a（5+s1）

产a=°n

dz

将其简化为：，即在自由表面SH波的反射系数为1.

从前面的讨论可以看出，当一列P波入射到自由表面时，会产生

一列反射P波和一列反射SV波；同样，如果一列SV波向自由表面入

射，会产生一列反射SV波和一列反射P波。或者说，在一般反射问

题中半空间内至少存在三列简谐平面波（纯SH波仅反射SH波）。如

果我们令式中的分子为零，则转换波的振幅为零，半空间中只存

在一列反射波。即P波入射只反射SV波，SV波只反射P波，这种现

象称为偏振交换。

自由界面上的位移，视出射角

地面测量得到的是地面的实际位移，也就是自由表面的位移。入

射波射到自由表面后由于产生了反射波，因而自由表面上的位移并

不等于入射波的位移，这是十分重要的。对于P波我们称自由表面位

移向量与界面法线的夹角为视入射角。称自由表面上的位移向量与

地面之间的夹角为视出射角。当P波入射时，有

将P波入射反射为P波和SV波的势函数，并采用反射系数可得

因此，由地震记录可得到P波入射到地而后地而位移的北南、东西与垂直分量，求

北南、东西分量的平方利再开方得到地面的水平分量，而水平分量和垂直分量的比值就是

的一半即为SV波的反射角，根据折射定律即可求得，即真入射角：

或.

a9(T+5

cose,,=—cos---------

''p2

当SV波入射到自由表面时，其真入射角为，仿效这个式

子，我们定义这种情况下的视入射角为，则

B)、+cosiC

-iccxpHAaA.

tan6=上=叫+%+%=

li必i+3〃「[cos]2c

-icixp

akAJ

2夕sin2i,sin，cost.

2

asin/vs2co%

2a2