2025-2026学年上海市徐汇区九年级（上）期中数学试卷 （含答案）

2025-2026学年上海市徐汇区中国中学九年级（上）期中数学试卷一．选择题（共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）已知，那么下列等式中，不一定正确的是A． B． C． D．2．（4分）下列二次函数中，如果函数图象的对称轴是轴，那么这个函数是A． B． C． D．3．（4分）下列说法中，正确的是A．如果，是非零向量，那么 B．如果是单位向量，那么 C．如果，那么或 D．已知非零向量，如果向量，那么4．（4分）如图，在的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点、，如果线段与网格线的其中两个交点为、，那么的值是A． B． C． D．5．（4分）如果二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象经过A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限6．（4分）如图，在正方形中，△是等边三角形，、的延长线分别交边于点、，联结，，与相交于点，下列结论中错误的是A． B．△△ C．△△ D．二、填空题（共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知线段厘米，厘米，那么线段和的比例中项是厘米．8．（4分）如果两个相似三角形的相似比为，两个三角形的周长的和是，那么较小的三角形的周长为．9．（4分）在比例尺为地图上测得甲、乙两地间的图上距离为4厘米，那么甲、乙两地间的实际距离为千米．10．（4分）抛物线在对称轴右侧的部分是的．（填“上升”或“下降”11．（4分）已知点，、，为抛物线上的两点，如果，那么．（填“”“”或“”12．（4分）已知点是线段上的一点，且，如果，那么．13．（4分）如图，△的中线、交于点，点在边上，，那么的值是．14．（4分）如图，某小区门口的栏杆从水平位置绕固定点旋转到位置，已知栏杆的长为3.5米，的长为3米，点到的距离为0.3米，支柱的高为0.6米，那么栏杆端点离地面的距离为米．15．（4分）如图，已知，，，，那么线段的长度等于．16．（4分）如图，将沿射线方向平移得到，边与相交于点，如果，的面积等于，的面积等于，那么．17．（4分）定义：如果以一条线段为对角线作正方形，那么称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，如图①中正方形即为线段的“对角线正方形”．如图②，在中，，，，点在边上，如果线段的“对角线正方形”有两边同时落在的边上，那么的长是．18．（4分）在△中，，，，点、分别是边、的中点，将△绕着点旋转，点、旋转后的对应点分别为点、，当直线经过点时，线段的长为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（6分）已知，求的值．20．（8分）已知二次函数图象的最高点是，且经过点，与轴交于、两点（点在点的左侧）．求的面积．21．（12分）如图，已知在梯形中，，，，点在边上，，过点作交边于点．（1）求线段的长；（2）设，，联结，请用向量、表示向量．22．（12分）如图，在中，点、分别在边、上，，垂足为点，，垂足为点，．（1）求证：；（2）如果，，求的长．23．（12分）如图，在中，是边上的高，点在边上，联结交于点，且，是的平分线，交于点，交于点．求证：（1）；（2）．24．（14分）如图，已知抛物线经过点，点．点在线段上（与点，不重合），过点作轴的垂线与线段交于点，与抛物线交于点，联结．（1）求抛物线表达式；（2）联结，当时，求的长度；（3）当为等腰三角形时，求的值．25．（14分）已知在菱形中，，，点是直线上任意一点，联结．在内部作射线与对角线交于点（与、不重合），且．（1）如图，当点在边上时，如果，求线段的长；（2）当点在射线上时，设，，求关于的函数解析式及定义域；（3）联结，直线与直线交于点，如果与相似，求线段的长．

参考答案一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）已知，那么下列等式中，不一定正确的是A． B． C． D．解：、由比例的性质得到，故本选项不符合题意．、根据比例的性质得到是正整数），故本选项符合题意．、根据合比性质得到，故本选项不符合题意．、根据等比性质得到，故本选项不符合题意．故选：．2．（4分）下列二次函数中，如果函数图象的对称轴是轴，那么这个函数是A． B． C． D．解：二次函数的对称轴为轴，则函数对称轴为，即函数解析式中，，故选：．3．（4分）下列说法中，正确的是A．如果，是非零向量，那么 B．如果是单位向量，那么 C．如果，那么或 D．已知非零向量，如果向量，那么解：、如果，是非零向量，那么，错误，应该是．、如果是单位向量，那么，错误．应该是．、如果，那么或，错误．模相等的向量，不一定平行．、已知非零向量，如果向量，那么，正确．故选：．4．（4分）如图，在的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点、，如果线段与网格线的其中两个交点为、，那么的值是A． B． C． D．解：，，，故选：．5．（4分）如果二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象经过A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为，且在第四象限，，，则一次函数的图象经过第一、三、四象限．故选：．6．（4分）如图，在正方形中，△是等边三角形，、的延长线分别交边于点、，联结，，与相交于点，下列结论中错误的是A． B．△△ C．△△ D．解：四边形是正方形，，△是等边三角形，，，，故正确，，，，又，，，，，△△，故正确，，△与△不相似，故错误，，，，△△，，，故正确，故选：．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知线段厘米，厘米，那么线段和的比例中项是6厘米．解：线段和的比例中项为，，即，（负值舍去）．故答案为：6．8．（4分）如果两个相似三角形的相似比为，两个三角形的周长的和是，那么较小的三角形的周长为40．解：设较小的三角形的周长为，则较大的三角形的周长为，两个相似三角形的相似比为，两个相似三角形的周长比为，，解得，，故答案为：40．9．（4分）在比例尺为地图上测得甲、乙两地间的图上距离为4厘米，那么甲、乙两地间的实际距离为320千米．解：设甲、乙两地的实际距离为，比例尺，，，甲、乙两地的实际距离为是，故答案为：320．10．（4分）抛物线在对称轴右侧的部分是下降的．（填“上升”或“下降”解：，抛物线开口向下，对称轴右侧的部分呈下降趋势．故答案为：下降．11．（4分）已知点，、，为抛物线上的两点，如果，那么．（填“”“”或“”解：，，抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线，，．故答案为．12．（4分）已知点是线段上的一点，且，如果，那么．解：点是线段上的一点，，，，解得．故答案为：．13．（4分）如图，△的中线、交于点，点在边上，，那么的值是．解：△的中线、交于点，是△的重心，，，，，，故答案为：14．（4分）如图，某小区门口的栏杆从水平位置绕固定点旋转到位置，已知栏杆的长为3.5米，的长为3米，点到的距离为0.3米，支柱的高为0.6米，那么栏杆端点离地面的距离为2.4米．解：过作于，过作于，则，，，栏杆从水平位置绕固定点旋转到位置，，，，，，，，栏杆端离地面的距离为．故答案为：2.4．15．（4分）如图，已知，，，，那么线段的长度等于．解：，，，，，即，解得：，故答案为：16．（4分）如图，将沿射线方向平移得到，边与相交于点，如果，的面积等于，的面积等于，那么2．解：，，，，，．故答案为：217．（4分）定义：如果以一条线段为对角线作正方形，那么称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，如图①中正方形即为线段的“对角线正方形”．如图②，在中，，，，点在边上，如果线段的“对角线正方形”有两边同时落在的边上，那么的长是．解：当线段的“对角线正方形”有两边同时落在的边上时，设正方形的边长为，，，，，解得，，，，故答案为：．18．（4分）在△中，，，，点、分别是边、的中点，将△绕着点旋转，点、旋转后的对应点分别为点、，当直线经过点时，线段的长为或．解：如图1，当点在的延长线上时，，，，，点、分别是边、的中点，，，，，将△绕着点旋转，，，，在△和△中，，，△△，，且，四边形是平行四边形，且，四边形是矩形，；如图2，当点在线段的延长线上时，，，，将△绕着点旋转，，，△△，，，，故答案为：或．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（6分）已知，求的值．解：根据题意，设，则，，，，，解得：，，，，．20．（8分）已知二次函数图象的最高点是，且经过点，与轴交于、两点（点在点的左侧）．求的面积．解：设二次函数解析式为，把代入得解得：，令，那么，解得：，，点的坐标为，点的坐标为，，点的坐标为，，的面积是：．21．（12分）如图，已知在梯形中，，，，点在边上，，过点作交边于点．（1）求线段的长；（2）设，，联结，请用向量、表示向量．解：（1）过作交于，交于，则，，，，；（2），，，，，，，，．22．（12分）如图，在中，点、分别在边、上，，垂足为点，，垂足为点，．（1）求证：；（2）如果，，求的长．【解答】证明：（1），，，设，，，，，，，，，，；（2），，且，，，，，．23．（12分）如图，在中，是边上的高，点在边上，联结交于点，且，是的平分线，交于点，交于点．求证：（1）；（2）．【解答】证明：（1），，是边上的高，，和是直角三角形，，，又，，．，；（2）在和中，，，，，即，在和中，．，是的平分线，，即．24．（14分）如图，已知抛物线经过点，点．点在线段上（与点，不重合），过点作轴的垂线与线段交于点，与抛物线交于点，联结．（1）求抛物线表达式；（2）联结，当时，求的长度；（3）当为等腰三角形时，求的值．解：（1）将，分别代入抛物线解析式，得．解得．故该抛物线解析式是：；（2）设直线的解析式是：，把，分别代入，得．解得，．则该直线方程为：．故设，．则，．，．，．．．又，．于是，即．解得，（舍去）．；（3）由两点间的距离公式知，，，．①若，，解得，（舍去）．即符合题意．②若，，解得，（舍去）．即符合题意．③若，，解得．综上所述，的值为1或或2．25．（14分）已知在菱形中，，，点是直线上任意一点，联结．在内部作射线与对角线交于点（与、不重合），且．（1）如图，当点在边上时，如果，求线段的长；（2）当点在射线上时，设，，求关于的函数解析式及定义域；（3