第一次月考卷01（北师大版）（全解全析）A4版

20242025学年八年级数学上学期第一次月考卷（）1

基础知识达标测

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意事项：

I.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、

准考证号填写在答题卡上。

2.回答第【卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效,

4.测试范围：第一章~第二章（北师大版）。

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、单选题

1.下列运算正确的是（）

A.-J（-7）2=7B.J（一6尸=-6C.-^25=-5D.^9=±3

【答案】C

【分析】根据算术平方根及平方根的性质依次化简即可做出判断.

【详解】解：A."（一7）2=一如=一7,故本选项运算错误；

B.J（—6）2=辰=6,故本选项运算错误；

C.-辰=-5,故本选项运算正确；

D.3=3,故本选项运算错误.

故选：C.

【点睛】此题考查了算术平方根及平方根的运算，熟练运用算术平方根及平方根的性质化简是解题

的关键.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项.

【详解】—1.4144,有限小数，是有理数，不是无理数；

7,分数，是有理数，不是无理数；

*

0.3,无限循环小数，是有理数，不是无理数；

故选：D.

【点睛】本题主要考查了无理数.初中范围内学习的无理数有：兀，2兀等；开方开不尽的数；以及

像0.1010010001…，等有这样规律的数.

3.下列各组长度的线段能组成直角三角形的是（）

A.1,hJ3B.4,5,6C.7,8,10D.5,Jll,J12

【答案】A

【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可.

【详解】解：A、12+（/）2=3=（F）2,则能组成直角三角形，故A正确；

B、42+52工62,则不能组成直角三角形,故B错误;

C、72+82¥：102,则不能组成直角三角形，故C错误；

D、（6尸+（口）2H52,则不能组成直角三角形，故D错误；

故选：A.

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意:

如果一个三角形的三边a、b、c满足a2+b?=c2,那么这个三角形是直角三角形.

4.以下是甲、乙、丙、丁四位同学对相关知识的描述，其中描述错误的是（）

甲：16的平方根是±4乙：下的平方等于5

丙：-1的平方根是±1丁：4的算术平方根是2

A.甲B.乙C.内D.J

【答案】C

【分析】根据平方根和算术平方根的性质依次判断即可.

本题主要考查了平方根和算术平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平

方根叫做算术平方根；负数没有立方根；0的平方根是0.熟练掌握平方根和算术平方根的性质是

解题的关键.

【详解】解：16的平方根是±4,故甲的描述正确；

乙：J的平方等于5,故乙的描述正确；

丙：-1没有平方根，故丙的描述错误；

T：4的算术平方根是2,故丁的描述正确.

故选：C.

5.实数m〃在数轴上的位置如图所示，且⑷＞依，则化简廊・|2〃+臼的结果为（）

a0b

A.2a+bB.-2a+bC.a+bD.2a-b

【答案】C

【分析】首先根据实数小〃在数轴上的位置.，可得a〈0V〃；再结合二次根式的性质、绝对值的计

算进行化简即可.

【详解】解：根据图示，可得aVOV儿

.*.Va2|2«+/?|=（a）C2ab）=a+2a^-b=a+b.

故选：C.

【点睛】本题考查了实数与数轴、二次根式的化简和性质、绝对值，解题的关键是注意开方结果是

非负数、以及绝对值结果的非负性.

6.如图，每个小正方形的边长都是1,A,B,C分别在格点上，则乙A8C的度数为（）.

A.30°B.45°C.50°D.60°

【答案】B

【分析】连接4C,根据勾股定理逆定理可得△ABC是以AC、3c为腰的等腰直角三角形，据此可得

答案.

【详解】解：如图，连AC,

7-5<7-<7-4

/.2<7-^24<3.•.估算7-5X•的值应在2到3之间

故选：A.

8.如图，在△力BC中，乙4c3=90。，AC=2BC,以点8为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于

点0;以点4为圆心，力0长为半径画弧，交线段AC于点£则空的值是（）

【答案】B

【分析】木题主要考查了勾股定理，线段的尺规作图，先利用勾股定理得到=JAC?+BC?=

5BC,再由作图方法推出4EBC,据此可得答案.

【详解】解：在Rt△力8c中,

'：LACB=90°,AC=2BC,

=\/AC2+BC2=5BC,

由作图方法可知8。=BC,AE=AD,

：^AE=AD=AB-BD=AB-BC=

.竺匚邑

AC2BC2

故选:B.

9.如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中48=9,BC=6,BF=5,点M在棱48上，且

AM=3,点N是产G的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点M它需要爬行的最

短路程为（）

【答案】A

【分析】此题主要考杳了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分

析得出是解题关键.利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可.

【详解】解：如图1,

图1AB=9,BC=6,BF=5,

・•.BM=9—3=6,8N=5+3=8,

如图2,

图2•••A8=9,BC=GF=6,BF=5,

PW=9-3+3=9,NP=5,

,+52=J106,

MN=

•••10<

•••它需要爬行的最短路程为10.

故选：A.

10.如图1,^ACB=90%AC=4,BC=3,以这个直角三角形两直角边为边作正方形.图2由

图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为4:3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的

直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为（）

【分析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识，解题的

关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.根据题意分别计算出图1、图2和图3中正方形的面

积，得出规律即可求解.

【详解】解：=90°,AC=4,BC=3,

：,AB2=AC2+BC2=42+32=25,

图1中所有正方形面积和为：42+32+25=25x2=50,

图2中所有正方形面积和，32+42+32+42+25=25X3=75,

图3中所有正方形面积和，32+42+32+42+32+42+52=25x4=100

・•・第〃个图形中所有正方形的面积和为25（/+1）,

，图6中所有正方形的面积和为：25x（6+1）=175,故B正确.

故选：B.

第II卷（非选择题）

二、填空题

[s-3/s-2

11.比较大小：■（选填“>=<”或"="）

【答案】V

【分析】两式作差，通分后比较分子与。的关系即得答案.

15-35-235-G25-45-5

【详解】解：•••=一==2——±—=±—<0,

,36o6

・b3b2

故答案为：V.

【点睛】本题考查了实数的大小比较，属于常考题型，掌握作差法解答的方法是关键.

12.有一个数值转换器，原理如图所示，当输入X的值为16时，输出y的值是.

【答案】」2

【分析】先看懂数值转换器，若输入一个数，求出的这个数的算术平方根，若结果是有理数，再重

新输入，若结果是无理数就输出.据此作答即可.

【详解】解：・・•16的算术平方根是4,4是有理数，

又Y4的算术平方根是2,2是有理数，

・•・还需求2的算术平方根是JL

•・•京是无理数，

・・・y的值是

故答案为：JI

【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键值注意读懂数值转换器.

13.设4一胃的整数部分为小小数部分为乩贝+的值是

【答案】1

【分析】此题主要考查了无理数的估算，由于2V4-」3V3,所以可求出小进而求出九代入计

算即可求得.

【详解】解：:IC{3V2,

•'-2<-^3<-1,

，2<4-^3<3,

，整数部分为a=2,小数部分为b=2—1,

・・・(a+J7)b=(2+1)(2一J)=L

故答案为：1.

14.如图，梯子力B靠在墙上，梯子的顶端A到墙根。的距离为24m,梯子的底端B到堵根。的距离

为7m,一不小心梯子顶端力下滑了4米到C,底端8滑动到。，那么8。的长是_m.

【答案】8

【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题时注意勾股定理应用的环境是在直角三角形中.由题意

可知0B=7m,0A=24m,先利用勾股定理求出A8,梯子移动过程中长短不变，所以48=DC,

又由题意可知。。=15m,进而得出答案.

【详解】解：在直角三角形4。8中，因为4。=24m,OB=7m,

由勾股定理得：AB=+=25(m),

由题意可知=CD,

又。C=24-4=20(m),

根据勾股定理得：。。=>lDC2-CO2=15(m),

故EO=DO-50=15-7=8(m).

故答案为：8.

15.如图，网格中的小正方形的边长均为1,小正方形的顶点叫做格点，△A8C的三个顶点都在格

点上，则48边上的高为.

【分析】如图（见解析），先根据网格的特点、勾股定理求出AB的长，再根据三角形的面积公式

即可得.

【详解】设AB边上的高为h

如图，由网格的特点得：AC=2,AD=4,BD=3,AB=>/AD2^BD2=5

11

•・•S=厂AC・BD=-AB-h

AARC22

：•一x2x3=-x5,/i

22

解得h=g

故答案为：

【点睛】本题考查了勾股定理的网格问题，熟记勾股定理是解题关键.

16.定义：我们把三角形某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中高

偏度值如图，在为△ABC中，乙4c8=90。，AC=4,BC=3,则△/BC中AB边的“中高偏度

值''为.

c

【答案】7

【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出△ABC中AB边上的高和该边上的中点到C。的距离,

再求它们的比值即可.

【详解】解：作COJ■力B于点。，CE为aACB的中线，

vZACB=90°,AC=4,BC=3,

AAB=>lAC2+BC2=[42+32=5,

..ACBC_ABCD

22

.4x35CD

,—=—

解得CD=£,

:.BD=JBC2-CD2=J32-(y)2=(

,・，CE为/?£△AC8斜边4B上的中线，AB=5,

・・.BE=|,

597

/.ED=BE-BD=--7=—,

2510

即点E到CD的距离为高

5

・•・△ABC中AB边的“中偏度值”为：5

故答案为：y.

【点睛】本题考察了勾股定理，解答本题的关键是明确题意，求出AB边上的高和该边上的中点到

高的距离.

三、解答题

17.计算:

J(-27-

(1)5—3.14)°+

⑵弧』一口+麻』.

【答案】(1)6；

(2)4-13.

【分析】(1)根据零指数基，平方根，立方根，即可求解,

(2)根据二次根式混合运算，即可求解,

本题考查了，零指数累，立方根，二次根式的混合运算，解题的关键是：熟练掌握相关预算法则.

【详解】(1)解：(11-3.14)°+J(-2)2-^27

=1+2-(-3)

=6；

=F-2百+

=4-3.

18.已知2%+1是49的算术平方根，x+4y-10的立方根是一3.

(1)求x,)，的值；

(2)求y-2%的立方根.

【答案】(1及=3,y=-5

⑵-石

【分析】本题考查立方根，平方根以及算术平方根的定义，熟记概念并求出x、y的值是解题的关键.

(1)根据算术平方根的定义求出-再根据立方根的定义求出乃即可解答；

(2)将％=3,丫=一5代入求出丫-2%的值，再根据立方根的定义解答.

【详解】（I）解：・・・2x+l是49的算术平方根,

2x+1=7,

解得x=3,

...x+4y-10的立方根是一3,

:.x4-4y-10=(-3)3,

解得：y=-5.

(2)解：x=3,y--5,

•••y-2x=-5—2x3=-11,

・・・y-2x的立方根是口=-6

19.如图，点。在△ABC中，乙BDC=90。,AB=6,AC=BD=4,CD=2

（1）求BC的长;

（2）求图中阴影部分的面积.

【答案】（1）2/

（2）41-4

【分析】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面积；

（1）根据勾股定理和NBDC=90。，BD=4,CD=2,可以求出BC的长；

（2）根据勾股定理的逆定理可以判断△ABC的形状，从而可以求出阴影部分的面积.

【详解】（1）解：VzfiDC=90°,BD=4,CD=2,

BC=>JBD2+CD2=jp+2?=2^5,

（2）'：AB=6,AC=4,

•%AC2+BC2=42+I25）=16+20=36=62=AB2,

：,△4cB是直角三角形，Z.ACB=90°,

4卜4.

•••s阴影=S^ACB~SABDC=gx4x2Is-1x4x2

故图中阴影部分的面积为415-4.

20.如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8.

（1）求出这个魔方的校长；

（2）图①中阴影部分是一个正方形/13CD,求出阴影部分的面积及其边长.

（3）把正方形48co放到数轴上，如图②，使得点A与一1重合，那么点O在数轴上表示的数为

【答案】（1）2

【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可；

（2）根据棱长，求出每个小正方体的棱长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长,

即可得解；

（3）用点4表示的数减去边长即可得解.

【详解】（1）解：设魔方的棱长为工,

则炉=8,

解得：%=2；

（2）.・•棱长为2,

・••每个小立方体的边长都是I,

•••正方形力BCD的边长为：J/+i2=,

'S正方形48CD=(?)=2;

(3):正方形为BCD的边长为JZ,点4与一1重合，

・••点0在数轴上表示的数为：一1一口,

故答案为：-1-@.

【点睛】本题主要考查实数与数轴、立方根、勾股定理的综合应用，解决此题的关键是能求出每个

小正方形的边长.

21.如图1,居家网课学习时，小华先将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏0B与底板。力所在

水平线的夹角120。，侧面示意图如图2；如图3,使用时为了散热，他在底板下垫入散热架4C0’后,

电脑转到力。R7立置，侧面示意图如图4.已知。4=。8,。'。1。力于点。，/-O'AC=30°,AC=

⑴求OA的长;

(2)垫入散热架后，显示屏顶部8’比原来升高了多少cm?

【答案】(I)OA的长为20cm

(2)显示屏顶部8,比原来升高了30-

【分析】(1)根据含30。的直角三角形的性质得到40'=2。。'，再根据勾股定理即可得到结论;

(2)过点5作8。1A0交40的延长线于。，根据勾股定理即可得到结论.

【详解】(1)*：0C10A,

：.£ACO'=90°,

'：LCAO'=30°,

：.A0=2C0,

22

*：AO=AC2+CO,

・・・/=(10g)+(70)：

解得4。'=20或一20（不合题意，舍去），

：.A0=AO'=20,

答：04的长为20cm；

（2）过点B作8。140交AO的延长线于

B'/E

B

O,

A-

COD

'：LA0B=120°,

=60°,

:.乙OBD=30°,

：・0D/OB,

*：GB=0A=20cm,

CD=10cm,

：.BD=y/OB2-OD2=202-102=10

VOC1OA,Z.CAO'=30°,

・・・"0‘C=60°,

'：LAOB'=120°,

：.£AO'C+^AO'B>=180°,

10^3=(30-10

・•・CR'+O'C-80=20+10-

••・显示屏顶部B'比原来升高了（30-100）

cm.

【点睹】本题考查了勾股定理的应用，正确的画出图形是解决本题的关键.

22.今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破

坏力.如图，台风“烟花”中心沿东西方向A8由A向B移动，已知点。为一海港，且点C与直线A8上

的两点A、8的距离分别为AC=300km,8c=400km,乂4B=500km,经测量，距离台风中心

260km及以内的地区会受到影响.

(1)求NAC8的度数；

(2)海港。受台风影响吗？为什么？

(3)若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？

【答案】(l)NACB=90。

(2)海港C受台风影响，理由见解析

(3)台风影响该海港持续的时间为小时

【分析】(1)根据勾股定理逆定理，即可求解；

(2)过点。作。。，4从根据直角三角形的面积可得ICxBC=gc/)xA8,从而得到CQ=240km,

即可求解；

(3)设台风中心的移动到点E处开始影响该海港,移动到点厂处开始该海港开始不受影响,则EC=

FC=260km,根据等腰三角形的性质可得防=2£Q=200km,即可求解.

【详解】(1)解：V/^C=300km,BC=400km,AB=500km,

：.A€^+BC2=AB2,

・••△ABC是直角三角形，/AC8=90。；

(2)解：海港C受台风影响，理由：

过点C作。QJ_A从

「△A8c是直角三角形，

•二ACxBC=：CDxAB,

22

/.ix300x400=：x500xCQ,

22

AC£）=240（km）,

,/距离台风中心260km及以内的地区会受至IJ影响，

・••海港。受台风影响；

（3）解：设台风中心的移动到点E处开始影响该海港，移动到点尸处开始该海港开始不受影响，则

EC=FC=260km,

由（2）得：COJ_AB,C£>=240km,

:・EF=2ED,

VED=y/cE2-CD2=100（km）,

200km,

•・•台风的速度为28千米/小时，

・•・200:28=,（小时）.

答：台风影响该海港持续的时间为日小时.

AEDFB

【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理,

等腰三角形的性质是解题的关键.

23.阅读下列材料，然后回答问题，在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如如六

J3+1

一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：

工=2如=巫=r_1（1）

（辰1邛-1）©2T2N

以上这种化简的步骤叫做分母有理化.

还可以用以下方法化简：

J3+1

（如2-12_#+1）（（3-1）

3-1（2）

①请参照（1）（2）的方法用两种方法化简：

网5

方法—!高一

方法二高=-

②直接写出化简结果：I—2I——_I—2I—=_

313+J11J15+J13

③计算：厂2厂+

J/

【答案】①方法一:

方法一.2_7-5_（加-5_（6+%-一典_

75

FFFT下E=F^二

②,口；，一m

【分析】①根据材料运用的两种方法进行分母有理化即可;

②根据材料运用的两种方法进行分母有理化即可：

③先分母有理化，再根据式子的规律即可求解.

2x（f邛）2（/邛）

2

【详解】①方法一:7-15

F+F（辰辰„御一小）2

7-5_（J_5+5-

方法二:阶如如_

22x（阶口）

©-

Mm5+6）（险6）（同一（旧）2二阶5

2x（J15-J13）2（下一日）

?干_

辰R（场+向0_晌（值）2-（向26

故答案为旧一口；J15-J13

G2222

2田一2(JB-JS)2(jli-j8)2(^32-^29)2(辰一辰)

-3133**13*~3

=1#一,口4+6-«+…+口-如+•丰)

号(辰一如

3

【点睛】本题主要考查二次根式的分母有理化，分析材料，运用材料的方法是解题关键.

24.勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.千百年来，人们对它的证明趋之若鹫，其中有著

名的数学家，也有业余数学爱好者.向常春在1994年构造发现了一个新的证法.证法如下：

把两个全等的直角三角形(R£A4C8MRtAD4E)如图I放置.^DAB==90°,AC1DE点

E在边AC上，现设两直角边长分别为C8=b、AB=a,斜边长为AC=c,请用a、b、c

分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得

到勾股定理

(1)请根据上述图形的面积关系证明勾股定理

(2)如图2,铁路上A、B两点(看作直线上的两点)相距40千米，CD为两个村庄(看作直线上的

两点),ADLAB,BCLAB,垂足分别为A、B,AD=25千太，8C=16千米，则两个村庄的

距离为_千米.

(3)在(2)的背景下，若AB=4阡米，AD=25千米，BC=I6千米，要在AB上建造一个供应站P,

使得PC=PD,请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出AP的距离.

(4)借助上面的思考过程，当1cxVII时，求代数式J%2-2%+5+-22%+130的最小值.

图1图2

【答案】(I)见解析；(2)41千米；(3)见解析，/尸=甯T•米；(4)最小值为