《直线和圆的位置关系(第三课时)》教案

《直线和圆的位置关系（第三课时）》教案教学目标教学目标：1.理解切线的性质定理；会运用切线的性质定理进行计算与证明.教学重点：用切线的性质定理进行计算与证明.教学难点：用反证法证明切线的性质定理.教学过程时间教学环节主要师生活动2min活动一：复习回顾1.圆的切线是如何定义的?如果直线和圆只有一个公共点，那么这条直线叫圆的切线.2.判断一条直线是圆的切线有哪些方法?切线的判定方法有三种：（1）当直线和圆只有唯一公共点的时候，这条直线是圆的切线；（2）当圆心到直线的的距离等于半径的时候，这条直线是圆的切线；（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.文图式经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.∵OA为⊙O半径，直线l⊥OA于A，∴直线l与⊙O相切于A.（直线l是⊙O的切线.）3.今天我们一起探讨圆的切线有什么性质？9min活动二：探索性质根据切线的定义我们可以得到切线的如下性质：(如图)（1）切线l和⊙O有且只有一个公共点A(这个公共点A就是切点)；（2）圆心O到切线l的距离等于圆的半径.切线的判定定理，实际上可以看成：=1\*GB3①OA为⊙O的半径（点A在⊙O上），=2\*GB3②直线l⊥OA于A.=3\*GB3③直线l是⊙O的切线.（交换判定定理的条件和结论，如果已知直线l是⊙O的切线，下面又可分为“切点已知”和“切点未知”这两种情况分别研究，我们先看“切点已知”的情况）问1：如图，已知直线l是⊙O的切线，切点为A，连接OA,直线l⊥OA吗？从现有知识看，不具备直接证明垂直的条件，我们可以考虑用反证法.已知：直线l是⊙O的切线，切点为A，连接OA.求证：l⊥OA.证明：假设OA与直线l不垂直，则过点O作OM⊥l，垂足为M，根据垂线段最短，得OM＜OA，即圆心O到直线l的距离OM＜半径OA.∴直线l与⊙O相交，这与直线l是⊙O的切线矛盾.∴假设不成立，即l⊥OA.这样，我们就得到了切线的性质定理：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.结合图形分析切线性质定理的条件和结论：文图式圆的切线垂直于过切点的半径.∵直线l与⊙O相切于A，（直线l是⊙O的切线,点A是切点，）∴直线l⊥OA.可以看成：=1\*GB3①OA为⊙O的半径，=3\*GB3③直线l是⊙O的切线,点A是切点.=2\*GB3②直线l⊥OA于A.（我们再来看“切点未知”的情况）问2：如图，已知⊙O的切线l，但切点未知，你能作出切点A吗？我们过O作直线l的垂线，设垂足是T，也就是OT⊥l于T.假设切点是A,由切线的性质定理,过切点A的半径OA⊥l于A，由于“平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，所以垂足T就是切点A.也就是说，过圆心作切线的垂线，垂足就是切点.由此得到结论1：经过圆心且垂直于切线的直线一定经过切点.文图式经过圆心且垂直于切线的直线一定经过切点.∵直线l与⊙O相切（直线l是⊙O的切线），l⊥OA于A，∴点A为切点.实际上可以看成：=3\*GB3③直线l是⊙O的切线，=2\*GB3②直线l⊥OA于A.=1\*GB3①OA为⊙O的半径.问3：请同学们课后研究：结论2:经过切点垂直于切线的直线一定经过圆心.9min活动三：性质的应用例1.如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线.分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OE是⊙O的半径就可以了，而由切线的性质，OD是⊙O的半径，因此只需证明

OD=OE.证明：如图，过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA.∵⊙O与AB相切于点D，∴OD⊥AB.又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线.又∵OE⊥AC，OD⊥AB，∴OE=OD，即OE是⊙O的半径.∵OE为⊙O的半径，OE⊥AC于E，∴AC与⊙O相切.例2.如图，AB为⊙O的直径，AC是弦，D是eq\o\ac(\s\up6(⌒),AC)的中点，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E.（1）求证：AC∥ED；（2）若OA=AE=4，求弦AC的长.分析：这里有三个条件：（1）AB为⊙O的直径；（2）D是eq\o\ac(\s\up6(⌒),AC)的中点；（3）ED切⊙O于D.特别要关注D的作用：它即是弧的中点，又是切点.（1）证明：连接OC，OD.∵ED切⊙O于D，∴OD⊥ED.∴∠1=90°.∵D是eq\o\ac(\s\up6(⌒),AC)的中点，∴eq\o\ac(\s\up6(⌒),AD)=eq\o\ac(\s\up6(⌒),CD)，∴∠2=∠3，又∵OA=OC，∴OD⊥AC，∴∠4=90°=∠1，∴AC∥ED.（2）连接AD.∵∠ODE=90°，OA=AE=4，∴.又∵OA=OD=4，∴△ADO为等边三角形.由（1）OD⊥AC，设垂足为F，∴，在Rt△ADF中，可得，∴.2min活动四：课堂小结课堂小结：1.切线的判定与性质的关系：(1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.=1\*GB3①OA为⊙O的半径（A在⊙O上），=2\*GB3②直线l⊥OA于A.=3\*GB3③直线l是⊙O的切线.(2)切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.=1\*GB3①OA为⊙O的半径，=3\*GB3③直线l是⊙O的切线,点A是切点.=2\*GB3②直线l⊥OA于A.(3)结论：结论1:经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；=3\*GB3③直线l是⊙O的切线，=2\*GB3②直线l⊥OA于A.=1\*GB3①OA为⊙O的半径.结论2:经过切点垂直于切线的直线必过圆心.2.已知圆的切线，要利用切线的性质时常添的常用辅助线：切点的位置如果确定，常常是连接圆心和切点；切点位置如果不确定，可以过圆心作切线的垂线,垂足就是切点.1min活动五：布置作业1.如图,已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°,过点C的切线PC与AB的延长线相交于点P,则∠P=_______°.2.如图，已知⊙O的半径为3，直线AB是⊙O的切线，OC交AB于点C，且∠OCA=30°，则OC的长为_________.3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，点O在AB上，OB=2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长.知能演练提升一、能力提升1.已知☉O的半径为R,直线l和☉O有公共点,若圆心到直线l的距离是d,则d与R的大小关系是()A.d>R B.d<RC.d≥R D.d≤R2.若☉O的直径为5,直线l与☉O相交,圆心O到直线l的距离是d,则d的取值范围是()A.4<d<5 B.d>5C.2.5<d<5 D.0≤d<2.53.已知☉O的半径为5,圆心O到直线AB的距离为2,则☉O上到直线AB的距离为3的点的个数为()A.1 B.2 C.3 D.44.如图,在平面直角坐标系中,☉O的半径为1,则直线y=-x+2和☉O的位置关系是()A.相离B.相交C.相切D.以上三种情形都有可能5.已知直线l与☉O相切,若圆心O到直线l的距离是5,则☉O的半径是.

6.如图,☉O的半径OC=10cm,直线l⊥CO,垂足为H,交☉O于A,B两点,AB=16cm,为使直线l与☉O相切,则需把直线l.

7.如图,给定一个半径为2的圆,圆心O到水平直线l的距离为d,即OM=d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d=0时,l为经过圆心O的一条直线,此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点,即m=4.由此可知:(1)当d=3时,m=;

(2)当m=2时,d的取值范围是.

8.如图,∠AOB=60°,M为OB上的一点,OM=5,若以M为圆心,2.5为半径画☉M,请通过计算说明OA和☉M不相切.★9.已知等边三角形ABC的面积为33,若以A为圆心的圆和BC所在的直线l:(1)没有公共点;(2)有唯一的公共点;(3)有两个公共点.求这三种情况下☉A的半径r的取值范围.二、创新应用★10.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,AO=x,☉O的半径为1,问:当x在什么范围内取值时,AC所在的直线和☉O相离、相切、相交?知能演练·提升一、能力提升1.D2.D3.C4.C直线y=-x+2与x轴的交点A的坐标为(2,0),与y轴的交点B的坐标为(0,2),则AB=2,△ABO的面积为1.由等面积法得点O到直线y=-x+2的距离为1.因此d=r,故相切.5.56.向左平移4cm或向右平移16cm连接OA,设CO的延长线交☉O于点D.因为l⊥OC,所以OC平分AB.所以AH=8cm.在Rt△AHO中,OH=AO2-A所以CH=4cm,DH=16cm.所以把直线l向左平移4cm或向右平移16cm时可与圆相切.7.(1)1(2)1<d<3(1)当d=3时,由于圆的半径为2,故只有圆与OM的交点符合题意,所以m=1;(2)当m=2时,即圆上到直线l的距离等于1的点的个数为2,当d<1时,m=4,当d=1时,m=3,当d=3时,m=1,当d>3时,m=0,故m=2时,1<d<3.8.解如图,过点M作MC⊥OA于点C.在Rt△OMC中,∠AOB=60°,∴∠OMC=30°.∴OC=12OM=2.5∴MC=52-2.52=532>9.解在等边三角形ABC中,过点A作AD⊥BC,垂足为D(图略),得BD=12BC在Rt△ABD中,由勾股定理,得AD=AB2-B由三角形面积公式,得12BC·AD=12BC·32BC=所以BC=23.所以AD=32BC=3(1)当☉A和直线l没有公共点时,r<AD,即0<r<3(如图①);(2)当☉A和直线l有唯一公共点时,r=AD,即r=3(如图②);(3)当☉A和直线l有两个公共点时,r>AD,即r>3(如图③).二、创