《用列举法求概率(第二课时)》教案

《用列举法求概率（第二课时）》教案教学目标教学目标：1.能运用树状图法求事件概率，体会树状图列举结果的直观性、便利性.2.实际问题数学化，能通过比较概率大小，进行简单决策，制定合理的游戏规则.教学重点：运用树状图法列举试验结果，求事件发生的概率；教学难点：将实际问题归型为多步试验，明确具体分几步，每步结果有哪些教学过程时间教学环节主要师生活动3分钟旧方法解决新问题上节课，我们学会了用直接列举和列表法对两步试验的试验结果进行列举，进而借助概率公式，求出等可能事件的概率.如果实验的步骤增加，你还会求事件概率吗？我们仍以经典的抛掷硬币试验为例.引例：同时抛掷三枚质地均匀的硬币，求三枚硬币均正面向上的概率分析，列表法已经难以胜任（表格是二维的，无法加入第三枚硬币情况），只能用列举法，有序列举（强调如何实现化多变为一变）解法1：同时抛掷三枚硬币，所有可能的结果有8种，即正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反.其中，三枚硬币均正面向上（设为事件A）的结果仅有1种，即正正正，所以P这样直接列举，即使遵循有序原则，也常常会出错，易重易漏.有没有更好的办法呢？3分钟引入新方法，体现优越性解法2：第一枚可能出现两种结果：正、反（第一层），每一种结果又可与第二枚可能出现的两种结果配对，因此，抛掷两枚硬币，会出现四种结果（第二层），继续抛第三枚，可能出现的正、反两种结果，和第二层后出现的四种结果配对，产生八种结果（第三层）.由于这种表示方式像极了倒过来、不断分出枝杈的大树，所以我们叫它“树状图”.用树状图列举试验结果，简单易操作，结果清晰明了，是在多步试验（三步及以上试验）中常采用的方法.用列举的方式写下来，所有可能结果也是8种，如下：正正正正反反反反正正反反正正反反正反正反正反正反三枚硬币均正面向上（设为事件A）的结果有1种，即正正正，所以追问，如果是同时抛掷四枚质地均匀的硬币，所有硬币均正面向上的概率呢？小结：画树状图法求等可能事件概率的一般步骤：（1）明确一次试验分几个步骤（有几个要素）及顺序；（2）画树状图列举一次试验的所有可能结果，；（3）数出等可能事件A包含的结果数m，试验的所有可能结果数n；（4）用概率公式P多步试验（三步及以上试验）中，常采用树状图法列举试验结果，当然，两步试验也可用.6分钟应用方法，落实基础练习1：甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C，D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I．从三个口袋中各随机取出1个小球．取出的3个小球上恰好有1个元音字母的概率是多少？（注：本题中A，E，I是元音字母）解：根据题意，可画出如下树状图：根据树形图,可以看出,所有可能出现的结果是12个,这些结果出现的可能性相等,恰有一个元音字母的结果有5个,所以P恰有一个元音字母练习2：假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同.如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么3只雏鸟中恰有2只雄鸟的概率是多少？分析：关键是要列举3只鸟的雌雄情况，所以我们可将此问题归结为一个三步试验（每一步确定一只鸟的雌雄情况）解：根据题意，可画出如下的树状图第1只鸟雌雄第2只鸟雌雄雌雄第3只鸟雌雄雌雄雌雄雌雄根据树形图，可以看出，所有可能出现的结果有8种.且这些结果出现的可能性相等，其中恰有两只雄鸟（记为事件A）的结果有3种，即（雌，雄，雄），（雄，雌，雄），（雄，雄，雌），所以P6分钟活学活用，学以致用例2：一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，依次随机摸出三个球，每摸出一个球都不再放回袋中，求其中两个球标号之和等于第三个球标号的概率是多少？分析：列举摸出的三个球的标号情况，是该问题关键，则该试验可归结为三步试验，拿第一个球会有4个可能结果，第二个球就剩三种可能结果，第三个球则有两种可能结果解：根据题意，可画出如下树状图：第一个球1234第二个球234134124123第三个球342423341413241412231312根据树形图，可以看出，所有可能出现的结果有24种.且这些结果出现的可能性相等，其中两个球标号和等于第三个球标号（记为事件A）的结果有12种，即（1，2，3），（1，3，2）（1，3，4），（1，4，3）（2，1，3），（2，3，1），（3，1，2）（3，1，4），（3，2，1），（3，4，1）（4，1，3）（4，3，1）所以P练习从1，2，3，4这四个数字中任取3个数,可组成n个无重复数字的三位数，将这n个三位数依次写在n个质地均匀小球上，若三位数的十位数字比个位和百位都大，则被称为“伞数”.甲、乙两人玩游戏，规则是：从这n个球中任取一球，若球上标着的三位数是“伞数”，则甲胜，否则乙胜.(1)你认为这个游戏规则公平吗？(2)如果不公平，你能制定出一个公平的游戏规则吗？分析：（1）怎样算公平？组成三位数是伞数概率若为二分之一则公平.(2)组成的三位数共有哪些可能结果，符合“伞数”的又有多少个？该问题可归结为三步试验，分别取个位、十位、百位数字解：（1）根据题意，可画出如下的树状图百位数1234十位数234134124123个位数342423341413241412231312根据树形图，可以看出，所有可能出现的结果有24种.且这些结果出现的可能性相等，其中是伞数（记为事件B）的结果有8种，即132，142，143，231，241，243，341，342，所以P显然，是伞数的概率仅有13，（2）由例2可知，将规则改为，任意两个位置上的数字和等于第三个位置上的数字，则甲胜，否则乙胜，则游戏是公平的.4分钟轻松一刻，高效决策思考：一个行李箱可设置3位密码（每个位置上的数字可以是0-9这10个数字中的一个）.请问任意拨3个数字，密码箱恰好能打开的概率是多少？分析：这依然是一个三步试验，但最终可能的结果数太多，可由前面列树状图经验，得知第一个位置的10种可能结果，对应第二个位置的10个可能结果，配对方式有100种，这100种再与第三个位置的10种可能结果配对，则可组成1000组密码，而正确密码唯一答案：密码恰好能打开的概率为千分之一.追述故事：这个概率实在是太小了，所以密码箱还是很安全的.果真如此吗？请听一个真实的故事：我大学两位舍友，或许是忘记了自己密码箱的密码，或许是设置时出现失误，总之都打不开了自己的密码箱,舍友A急得团团转，焦躁了20分钟后，毅然决定找专业师傅撬锁，一小时后，师傅赶到，舍友A花了20元撬锁，密码锁损坏，密码箱从此成为一个普通储物箱.舍友B不愧为学霸，沉着冷静，先将一二位密码归0，之后变换最后一位数字为0-9，每变一次，尝试打开，之后，将第2位密码变为1，重复前面操作，结果15分钟就将密码箱打开.大家不必惊讶，虽然千分之一的概率极小，然而，带着大家算一笔账，每拨一个数字1秒，尝试按按钮打开1秒，1000个结果全试一遍，也就大约2000秒（前两位由0-9变化，还需20秒，忽略不计），一分钟60秒，即大约33分钟，事实上，设置的密码未必是999，因此，只要沉着冷静，打开密码锁绝不会超过40分钟.幸运的话，也许几分钟就能试出正确密码.这么看来三位密码并不安全啊！2分钟课堂总结课堂总结：（1）画树状图法求等可能事件概率的步骤（2）画树状图快捷准确列举结果的关键（3）“放回”与“可重复”性问题类似“不放回”与“不可重复”性问题类似(4)概率应用意识须增强:概率在生活中的应用极其广泛，要活学活用，有应用意识，才能让我们的生活因为数学更便利、更有趣.1分钟布置作业1.经过某十字路口的汽车,可能直行,也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率：(1)三辆车全部继续直行；(2)两辆车向右转，一辆车向左转；(3)至少有两辆车向左转.2.小红、小明、小军三人参加课外兴趣小组，他们都计划从编程小组、科技小组、书法小组中选择其中一个，求下列事件的概率：(1)三人选择同一个兴趣小组；(2)三人都选择不同兴趣小组．3.小明是个小马虎,晚上睡觉时将两双不同的袜子放在床头，早上起床没看清，随便穿了两只就去上学，问小明正好穿的是同一双袜子的概率是多少？4.定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数，叫做“V数”，如“947”就是一个“V数”.求下列事件的概率：（1）若十位上的数字为2，则从1，3，4，5中任选两数，能与2组成“V数”；（2）从1，3，4，5中任选三个数，能组成“V数”.知能演练提升一、能力提升1.不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球,搅匀后从中摸出一个球,放回搅匀,再摸出一个球,两次都摸出白球的概率是()A.49 B.29 C.23 2.甲、乙两人参加社会实践活动,随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”中的一项,那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为()A.34 B.14 C.13 3.某市举办中学生篮球赛,初中男子组有市区学校的A,B,C三个队和县区学校的D,E,F,G,H五个队.如果从A,B,D,E四个队与C,F,G,H四个队中各抽取一个队进行首场比赛,那么参加首场比赛的两个队都是县区学校队的概率是.

4.现有四张完全相同的卡片,上面分别标有数字-1,-2,3,4.把卡片背面朝上洗匀,然后从中随机抽取两张,则这两张卡片上的数字之积为负数的概率是.

5.现有四张正面分别标有数字-1,1,2,3的不透明卡片,它们除数字外其余完全相同,将它们背面朝上洗均匀,随机抽取一张,记下数字后放回,背面朝上洗均匀,再随机抽取一张记下数字,前后两次抽取的数字分别记为m,n,则点P(m,n)在第二象限的概率为.

6.一张圆桌旁有四个座位,A先坐在如图所示的座位上,B,C,D三人随机坐到其他三个座位上,求A与B不相邻而坐的概率.7.一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球,这些球除颜色外都相同,搅匀后从中任意摸出1个球(不放回),再从余下的2个球中任意摸出1个球.(1)用列表法列出所有可能出现的结果;(2)求两次摸到的球的颜色不同的概率.二、创新应用8.如图,管中放置着同样的绳子AA1,BB1,CC1.(1)小明从这三根绳子中随机选一根,恰好选中绳子AA1的概率是多少?(2)小明先从左端A,B,C三个绳头中随机选两个打一个结,再从右端A1,B1,C1三个绳头中随机选两个打一个结,求这三根绳子能连接成一根长绳的概率.知能演练·提升一、能力提升1.A用列表法表示所有可能出现的情况如下:第2球第1球红白白红红红白红白红白红白白白白白白红白白白白白共有9种等可能的结果,其中两次都是白球的有4种结果,∴P(两次都是白球)=49,故选A2.B用表列举出所有可能出现的结果,如下:甲打扫社区卫生打扫社区卫生参加社会调查参加社会调查乙打扫社区卫生参加社会调查参加社会调查打扫社区卫生由上表可知,可能出现的结果有4种,且都是等可能的,其中两人同时选择“参加社会调查”的结果有1种,则所求概率为14.故选B3.38列表如下篮球队ABDEC(C,A)(C,B)(C,D)(C,E)F(F,A)(F,B)(F,D)(F,E)G(G,A)(G,B)(G,D)(G,E)H(H,A)(H,B)(H,D)(H,E)从表格中可以看出所有等可能的情况一共有16种,两个队都是县区学校队的有(F,D),(F,E),(G,D),(G,E),(H,D),(H,E),共6种,因此两个队都是县区学校队的概率是6164.23抽取的两张卡片共有6种等可能的结果,分别为-1和-2;-1和3;-1和4;-2和3;-2和4;3和4,结果为负数的占4种结果,分别为-1和3;-1和4;-2和3;-2和4,所以这两张卡片上的数字之积为负数的概率是25.36.解由于A的位置已经确定,B,C,D随机而坐的情况共有6种(如图):6种情况出现的可能性相同.其中A与B不相邻而坐的情况共有2种,所以所求的概率是267.解(1)给白球编号为白1,白2,列表如下:第一次第二次白1白2红白1(白2,白1)(红,白1)白2(白1,白2)(红,白2)红(白1,红)(白2,红)(2)由上表可知,一共有6种可能出现的结果,它们是等可能的.其中两次摸到的球的颜