高一数学（人教A版）试题必修二课时跟踪检测（二十一）复数的乘除运算

课时跟踪检测(二十一)复数的乘、除运算(满分100分，选填小题每题5分)1．下列各式的运算结果为纯虚数的是()A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)C．(1＋i)2 D．i(1＋i)2．i(3－i)的共轭复数为()A．3＋i B．3－iC．1＋3i D．1－3i3．(2024·新课标Ⅰ卷)若eq\f(z,z－1)＝1＋i，则z＝()A．－1－i B．－1＋iC．1－i D．1＋i4．若复数z满足(1＋i)z＝|1＋i|，则z的虚部为()A．－eq\f(\r(2),2)i B．－eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2) D．－eq\r(2)5．(多选)若复数z满足(2＋i)z＋5i＝0，则()A．z的虚部为－2B.eq\x\to(z)＝1＋2iC．z在复平面内对应的点位于第二象限D．|z4|＝256.如图，若向量eq\o(OZ,\s\up6(―→))对应的复数为z，且|z|＝eq\r(5)，则eq\f(1,\x\to(z))＝()A.eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i B．－eq\f(1,5)－eq\f(2,5)iC.eq\f(1,5)－eq\f(2,5)i D．－eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i7．(多选)在复数范围内关于x的实系数一元二次方程x2＋px＋2＝0的两根为x1，x2，其中x1＝1＋i，则()A．p＝2 B．x2＝1－iC．x1·x2＝－2i D.eq\f(x1,x2)＝i8．已知a为实数，若复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则eq\f(a＋i2023,1＋i)＝()A．i B．－iC．1 D．－19．(多选)已知复数z＝eq\f(4,1＋\r(3)i)，则()A．z的虚部是－eq\r(3)iB.eq\x\to(z)＝1＋eq\r(3)iC．z·eq\x\to(z)＝|z|2＝4D．z是方程x2－2x＋4＝0的一个根10．(多选)若复数z满足(2＋i)z＝4－3i(其中i为虚数单位)，则下列说法正确的是()A．z在复平面内对应的点位于第四象限B．z·eq\x\to(z)＝5(eq\x\to(z)是z的共轭复数)C．z2＝5－4iD．若|z1|＝2，则|z1－z|的最大值为eq\r(5)＋211．(2024·天津高考)已知i是虚数单位，复数(eq\r(5)＋i)·(eq\r(5)－2i)＝________.12．已知复数z＝eq\f(i＋i2＋i3,1＋i)，eq\x\to(z)是z的共轭复数，则eq\x\to(z)·z＝________.13．写出一个同时具有下列两个性质的复数z＝________.性质1：|z－eq\x\to(z)|＝2性质2：z·eq\x\to(z)＝414．(17分)已知复数z＝eq\f(1－i2＋25＋i,2＋i).(1)计算复数z，并求|z|；(2)若复数z满足z(z＋a)＝b－8i，求实数a，b的值.15．(18分)已知关于x的实系数一元二次方程x2－2x＋k＝0.(1)若方程有一个根1＋eq\r(2)i(i是虚数单位)，求k的值；(2)若方程有两虚根x1，x2，且|x1－x2|＝3，求k的值.课时跟踪检测(二十一)1．选CA项，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数；B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数；C项，(1＋i)2＝2i,2i是纯虚数；D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选C.2．选D由题意得z＝i·(3－i)＝1＋3i，所以eq\x\to(z)＝1－3i，故选D.3．选C因为eq\f(z,z－1)＝eq\f(z－1＋1,z－1)＝1＋eq\f(1,z－1)＝1＋i，所以z＝1＋eq\f(1,i)＝1－i.故选C.4．选B由(1＋i)z＝|1＋i|＝eq\r(2)，得z＝eq\f(\r(2),1＋i)＝eq\f(\r(2)1－i,1＋i1－i)＝eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(2),2)i，所以z的虚部为－eq\f(\r(2),2).故选B.5．选AD由题意，得z＝eq\f(－5i,2＋i)＝－1－2i，虚部为－2，故A正确；eq\x\to(z)＝－1＋2i，故B错误；z在复平面内对应的点为(－1，－2)，位于第三象限，故C错误；|z4|＝|z|4＝(eq\r(5))4＝25，故D正确．6．选D由题意，设z＝－1＋bi(b>0)，则|z|＝eq\r(1＋b2)＝eq\r(5)，解得b＝2，即z＝－1＋2i，所以eq\f(1,\x\to(z))＝eq\f(1,－1－2i)＝eq\f(－1＋2i,－1－2i－1＋2i)＝eq\f(－1＋2i,5)＝－eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i.7．选BD因为实系数一元二次方程x2＋px＋2＝0的两根为x1，x2且x1＝1＋i，所以x1x2＝2，可得x2＝eq\f(2,x1)＝eq\f(2,1＋i)＝1－i，故B正确；又x1＋x2＝1＋i＋1－i＝2＝－p，所以p＝－2，故A错误；由x2＝1＋i，所以x1·x2＝(1＋i)2＝2i≠－2i，故C错误；eq\f(x1,x2)＝eq\f(1＋i,1－i)＝eq\f(1＋i2,2)＝eq\f(2i,2)＝i，故D正确．故选B、D.8．选B因为复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1＝0，,a＋1≠0，))解得a＝1.所以eq\f(a＋i2023,1＋i)＝eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(1－i2,1＋i1－i)＝eq\f(－2i,2)＝－i.故选B.9．选BCD因为z＝eq\f(4,1＋\r(3)i)＝eq\f(41－\r(3)i,1＋\r(3)i1－\r(3)i)＝1－eq\r(3)i.则z的虚部是－eq\r(3)，故A错误；eq\x\to(z)＝1＋eq\r(3)i，故B正确；因为z·eq\x\to(z)＝(1－eq\r(3)i)(1＋eq\r(3)i)＝4，|z|＝eq\r(12＋－\r(3)2)＝2，所以z·eq\x\to(z)＝|z|2＝4，故C正确；因为x2－2x＋4＝0，即(x－1)2＝－3，解得x＝1±eq\r(3)i，所以方程x2－2x＋4＝0的复数根为1±eq\r(3)i，即z是方程x2－2x＋4＝0的一个根，故D正确．10．选ABDz＝eq\f(4－3i,2＋i)＝eq\f(4－3i2－i,2＋i2－i)＝eq\f(5－10i,5)＝1－2i，在复平面内z所对应的点坐标为(1，－2)，在第四象限，故A正确；z·eq\x\to(z)＝(1－2i)·(1＋2i)＝1＋4＝5，故B正确；z2＝(1－2i)2＝1－4－4i＝－3－4i，故C错误；对于D，|z1|＝2，则表示复数z1的点P的集合是以(0,0)为圆心，2为半径的圆，而|z1－z|＝|z1－(1－2i)|，即为点P到点M(1，－2)之间的距离，所以|z1－z|的最大值为eq\r(12＋－22)＋2＝eq\r(5)＋2，故D正确．11．解析：(eq\r(5)＋i)(eq\r(5)－2i)＝(eq\r(5))2－2eq\r(5)i＋eq\r(5)i－2i2＝7－eq\r(5)i.答案：7－eq\r(5)i12．解析：因为z＝eq\f(i＋i2＋i3,1＋i)＝eq\f(－1,1＋i)＝eq\f(－1＋i,1＋i1－i)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i，所以eq\x\to(z)·z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(1,2)i))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(1,2)i))＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)13．解析：设z＝a＋bi，a，b∈R，则eq\x\to(z)＝a－bi，从而z－eq\x\to(z)＝(a＋bi)－(a－bi)＝2bi，因为|z－eq\x\to(z)|＝2，所以|2b|＝2，解得b＝±1.因为z·eq\x\to(z)＝4，所以(a＋bi)·(a－bi)＝a2＋b2＝4，解得a＝±eq\r(3)，所以z＝±eq\r(3)±i.答案：±eq\r(3)±i(写出其中一个即可)14．解：(1)因为z＝eq\f(1－i2＋25＋i,2＋i)＝eq\f(1－2i＋i2＋10＋2i,2＋i)＝eq\f(10,2＋i)＝eq\f(102－i,2＋i2－i)＝4－2i，所以|z|＝eq\r(42＋－22)＝2eq\r(5).(2)由z(z＋a)＝b－8i，得(4－2i)(4＋a－2i)＝b－8i，16＋4a－8i－8i－2ai＋4i2＝b－8i,12＋4a－(16＋2a)i＝b－8i，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12＋4a＝b，,16＋2a＝8，))解得a＝－4，b＝－4.15．解：(1)由题意可知1－eq\r(2)i是方程的另一复数根，所以(1－eq