专题1.2 常用逻辑用语（考点清单6个考点梳理+10题型解读）（原卷版及全解全析）

专题1.2常用逻辑用语【清单01】命题1.命题：可供真假判断的陈述语句就是命题．2.判断为真的语句称为真命题；判断为假的语句称为假命题.【清单02】量词（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词．（3）常见量词：量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等∀存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等∃【清单03】全称命题与特称命题1．全称命题（1）含有全称量词的命题，叫做全称命题．（2）全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．2．特称命题（1）含有存在量词的命题，叫做特称命题．（2）特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．【清单4】全称命题与特称命题的否定1.命题的否定对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作¬p，读作“非p”或“p的否定”2.全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．3.含有一个量词的命题的否定（1）全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x∈M，¬p(x).（2）存在量词（特称）命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)【清单5】充分条件与必要条件如果已知p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件.【清单6】充要条件1.如果p⇒q且qeq\o(⇒,/)p，则称p是q的充分不必要条件．2.如果peq\o(⇒,/)q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．3.如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q.4．如果peq\o(⇒,/)q且qeq\o(⇒,/)p，则p是q的既不充分也不必要条件【知识拓广】：1.等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．其他情况依次类推．2.充分、必要条件与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．【考点题型一】判断命题的真假【例1】（24-25高一上·上海·期中）“若且，则且”是命题.（填“真”或“假”）【变式1-1】（24-25高一上·广东·期中）下列命题为真命题的是（

）A．若m>0，则B．集合与集合是相同的集合C．任意一个三角形，它的内角和大于或等于D．所有的素数都是奇数【变式1-2】（24-25高一上·上海杨浦·期中）对任意集合A和集合B，下列两个命题（

）①②A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题【变式1-3】（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）下列命题的否定为假命题的是（

）A．有的无理数的平方是有理数B．任何一个四边形的内角和都是C．四边形都有外接圆D．，使得【变式1-4】（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）下面命题正确的是（）A．若且，则，至少有一个大于1B．直角三角形的外心一定不在斜边上C．如果实数集的非空子集是有限集，那么中的元素必然有最大值D．任何分数都是有理数【考点题型二】根据命题的真假求参数（范围）【例2】（24-25高一上·上海·阶段练习）命题甲：集合，且，命题乙：集合，且，(1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围；(2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围；(3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围．【变式2-1】（多选）（24-25高一上·全国·随堂练习）（多选）给出命题“方程没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（

）A． B． C． D．【变式2-2】（22-23高一·江苏·假期作业）若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是．【变式2-3】（23-24高一上·上海·期中）已知命题“如果，那么”是真命题，则实数的取值范围是.【变式2-4】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根；命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是．【考点题型三】全称命题与特称命题真假的判断【例3】（多选）（24-25高一上·山东日照·阶段练习）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（

）A． B．为奇数C．所有菱形的四条边都相等 D．是无理数【变式3-1】（23-24高一上·青海西宁·阶段练习）以下是真命题的（

）A．，都有 B．，都有C．，有 D．，有【变式3-2】（22-23高一上·山东滨州·期末）下列说法正确的是（

）A．命题“”是假命题B．命题“”的否定是“”C．命题“”是真命题D．命题“”的否定是“”【变式3-3】（多选）（23-24高一上·重庆·开学考试）在下列命题中，真命题有（）A．B．是有理数C．，使D．，【变式3-4】（多选）（22-23高一上·安徽淮南·阶段练习）下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是（

）A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数C．实数都可以写成小数形式 D．一定存在没有最大值的二次函数【考点题型四】根据存在量词命题的真假求参数【例4】（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）命题“存在，使得”是假命题，求实数a的取值范围．（2）若把（1）中的“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围．【变式4-1】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合，若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式4-2】（多选）（24-25高一上·安徽宿州·阶段练习）若“，”为真命题，“，或”为假命题，则集合M可以是（

）A． B． C． D．【变式4-3】（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）若命题“存在，”为假命题，则实数的取值范围是【变式4-4】（24-25高一上·江西南昌·期中）命题“”为假命题，则实数的取值范围为．【考点题型五】根据全称量词命题的真假求参数【例5】（多选）（24-25高一上·山东临沂·开学考试）已知命题，若命题是真命题，则实数的值可以是（

）A．0 B．1 C．2 D．【变式5-1】（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知命题，，若为真命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式5-2】（24-25高一上·上海·期中）对任意，等式成立，则实数.【变式5-3】（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知命题：“，，使得”是假命题，则实数m的取值范围是.【变式5-4】（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）若“”是真命题，则的最小值是．【考点题型六】命题的否定及其真假的判断【例6】（24-25高一上·全国·课堂例题）写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：实数的平方是非负数；(2)p：质数都是奇数；(3)p：方程有实数根；(4)p：菱形的对角线互相垂直且平分．【变式6-1】（24-25高三上·陕西西安·开学考试）已知命题：，；命题：，，则（

）A．和都是真命题 B．和都是真命题C．和都是真命题 D．和都是真命题【变式6-2】（24-25高一上·广西玉林·期中）命题“，”的否定形式为（

）A．， B．，C．， D．，【变式6-3】（24-25高一上·云南大理·期中）命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【变式6-4】（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知命题，命题，则（

）A．和均为真命题 B．和均为真命题C．和均为真命题 D．和均为真命题【考点题型七】根据命题否定的真假求参数【例7】（17-18高三上·河南郑州·阶段练习）已知，，命题“若则”为假命题，命题“若则”为真命题，求实数的取值范围.【变式7-1】（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）若命题“，使得”的否定是真命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．或【变式7-2】（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知命题，成立，若为真命题，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【变式7-3】（20-21高一上·浙江台州·阶段练习）命题有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式7-4】（24-25高一上·新疆哈密·期中）已知命题，命题.(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；(2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围.【考点题型八】判断命题成立的条件【例8】（24-25高一上·吉林延边·期中）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式8-1】（24-25高一上·广东佛山·期中）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式8-2】（24-25高一上·江苏淮安·期中）设，则“”的充要条件为（

）A．至少有一个为1 B．都为1C．都不为1 D．【变式8-3】（24-25高一上·河南新乡·期中）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式8-4】（23-24高一上·山东·期中）“一元二次方程有一个正根和一个负根”是“”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点题型九】充分条件、必要条件的探求与应用【例9】（24-25高一上·陕西西安·期中）已知，．(1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．(2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【变式9-1】（24-25高一上·安徽·期中）使成立的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【变式9-2】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（

）A． B． C． D．【变式9-3】（22-23高一上·河南·期中）已知集合，．(1)若，均有，求实数的取值范围；(2)若，设：，，求证：成立的充要条件为．【变式9-4】（20-21高一上·重庆九龙坡·期中）若集合，，试写出：（1）的一个充要条件；（2）的一个必要不充分条件.【考点题型十】根据命题成立的条件求参数（范围）【例10】（20-21高一·全国·单元测试）设集合或，或.(1)设，，且是的充分而不必要条件，求实数的取值范围；(2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.【变式10-1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，集合．(1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围；(2)若是成立的充要条件，求实数的值．【变式10-2】（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知．(1)若是的充要条件，求的值；(2)若是的充分不必要条件，求的取值范围.【变式10-3】（24-25高一上·河北衡水·期中）已知，集合．(1)若，求；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．【变式10-4】（24-25高一上·全国·课后作业）设全集，集合，非空集合，.(1)若，求；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.

专题1.2常用逻辑用语【清单01】命题1.命题：可供真假判断的陈述语句就是命题．2.判断为真的语句称为真命题；判断为假的语句称为假命题.【清单02】量词（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词．（3）常见量词：量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等∀存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等∃【清单03】全称命题与特称命题1．全称命题（1）含有全称量词的命题，叫做全称命题．（2）全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．2．特称命题（1）含有存在量词的命题，叫做特称命题．（2）特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．【清单4】全称命题与特称命题的否定1.命题的否定对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作¬p，读作“非p”或“p的否定”2.全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．3.含有一个量词的命题的否定（1）全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x∈M，¬p(x).（2）存在量词（特称）命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)【清单5】充分条件与必要条件如果已知p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件.【清单6】充要条件1.如果p⇒q且qeq\o(⇒,/)p，则称p是q的充分不必要条件．2.如果peq\o(⇒,/)q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．3.如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q.4．如果peq\o(⇒,/)q且qeq\o(⇒,/)p，则p是q的既不充分也不必要条件【知识拓广】：1.等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．其他情况依次类推．2.充分、必要条件与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．【考点题型一】判断命题的真假【例1】（24-25高一上·上海·期中）“若且，则且”是命题.（填“真”或“假”）【答案】假【知识点】判断命题的真假【分析】直接取特殊值验证即可.【详解】当时，且；此时不满足且，故该命题为假命题.故答案为：假【变式1-1】（24-25高一上·广东·期中）下列命题为真命题的是（

）A．若m>0，则B．集合与集合是相同的集合C．任意一个三角形，它的内角和大于或等于D．所有的素数都是奇数【答案】C【知识点】判断两个集合的包含关系、判断命题的真假、判断“或”命题的真假【分析】举反例可说明选项A错误；化简两集合可得选项B错误；根据“或”命题真假的判断可知选项C正确；2是素数但不是奇数可得选项D错误.【详解】A.当时，，选项A错误.B.，，，选项B错误.C.任意一个三角形，它的内角和等于，选项C正确.D.是素数，但不是奇数，选项D错误.故选：C.【变式1-2】（24-25高一上·上海杨浦·期中）对任意集合A和集合B，下列两个命题（

）①②A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题【答案】B【知识点】判断两个集合的包含关系、交集的概念及运算、并集的概念及运算、判断命题的真假【分析】根据集合交并运算，判断集合间包含关系，进而判断命题的真假.【详解】①因为，，所以，真命题，②当时，，此时，假命题.故选：B【变式1-3】（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）下列命题的否定为假命题的是（

）A．有的无理数的平方是有理数B．任何一个四边形的内角和都是C．四边形都有外接圆D．，使得【答案】AD【知识点】判断命题的真假【分析】由原命题的真假，即可判断其否定的真假.【详解】若命题的否定为假命题，则原命题为真命题.对于A，因为是无理数，2是有理数，A中命题是真命题，其否定是假命题；对于B，平面四边形的内角和是，B中命题是假命题，其否定是真命题；对于C，因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为假命题，其否定为真命题；对于D，因为当时，，所以原命题为真命题，其否定为假命题.故选：AD.【变式1-4】（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）下面命题正确的是（）A．若且，则，至少有一个大于1B．直角三角形的外心一定不在斜边上C．如果实数集的非空子集是有限集，那么中的元素必然有最大值D．任何分数都是有理数【答案】ACD【知识点】判断元素与集合的关系、判断命题的真假【分析】借助反证法可得A、C；结合直线三角形性质与外心定义可得B；利用分数与有理数定义可得D.【详解】对A：假设，都小于或等于，则，与已知矛盾，故假设错误，故A正确；对B：直角三角形的外心在斜边中点,故B错误；对C：假设非空集合中的元素无最大值，则集合必为无限集，这与实数集的非空子集是有限集矛盾，故中的元素必然有最大值，故C正确；对D：由有理数定义可知，任何分数都是有理数，故D正确.故选：ACD.【考点题型二】根据命题的真假求参数（范围）【例2】（24-25高一上·上海·阶段练习）命题甲：集合，且，命题乙：集合，且，(1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围；(2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围；(3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)(3)或【知识点】根据或且非的真假求参数、已知命题的真假求参数、根据交集结果求集合或参数【分析】（1）根据条件，利用集合的运算结果得到，即可求解；（2）利用，将问题转化成或集合中元素是非正数，从而通过方程的解，求得，即可求解；（3）利用（1）和（2）中结果，分命题甲是真命题，命题乙是假命题和命题甲是假命题，命题乙是真假命题两种情况，即可求解.【详解】（1）因为，又，所以，解得，所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为.（2）因为，且，则或集合中元素是非正数，又，所以中元素是方程的解，当时，，解得，当集合中元素是非正数时，设是方程的根，因为，则且，解得，所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为.（3）当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，，得到，当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，或，得到，所以命题甲和乙中有且只有一个真命题，实数的取值范围为或.【变式2-1】（多选）（24-25高一上·全国·随堂练习）（多选）给出命题“方程没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【知识点】已知命题的真假求参数【分析】先求出命题“方程没有实数根”为真时，的取值范围，再结合选项，即可求解.【详解】当方程没有实数根时，有，得到，故选：BC.【变式2-2】（22-23高一·江苏·假期作业）若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是．【答案】或【分析】分和两种情况，然后根据一元一次方程、一元二次方程有根的条件求解即可．【详解】①当时，方程为，只有当时，方程才有实数解；②当时，方程为一元二次方程，方程有实数解的条件为．综上可得当或时，方程有实数解．故答案为：或【变式2-3】（23-24高一上·上海·期中）已知命题“如果，那么”是真命题，则实数的取值范围是.【答案】【知识点】已知命题的真假求参数【分析】由命题为真求解即可.【详解】已知命题“如果，那么”是真命题，则实数的取值范围是.故答案为：【变式2-4】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根；命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是．【答案】【知识点】方程与不等式、已知命题的真假求参数【分析】分别求出命题甲和命题乙为真时的取值范围，问题转化为甲真乙假和甲假乙真时两种情况，利用不等式组求解即可.【详解】命题甲为真时，则关于的方程有两个不相等的负实数根，设两根为，则有，解得；命题乙为真时，则关于的方程没有实数根，有，解得.若甲、乙有且只有一个是真命题，当甲真乙假时，则有，解得；当甲假乙真时，则有，解得.实数的取值范围是.故答案为：.【考点题型三】全称命题与特称命题真假的判断【例3】（多选）（24-25高一上·山东日照·阶段练习）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（

）A． B．为奇数C．所有菱形的四条边都相等 D．是无理数【答案】AC【知识点】判断全称命题的真假、判断命题是否为全称命题【分析】利用全称量词命题的定义，结合真假判断逐项分析即可.【详解】对于A，，恒成立，该命题是全称量词命题，且是真命题，A是；对于B，该命题是存在量词命题，不是全称量词命题，B不是；对于C，该命题是全称量词命题，且是真命题，C是；对于D，该命题不是全称量词命题，D不是.故选：AC【变式3-1】（23-24高一上·青海西宁·阶段练习）以下是真命题的（

）A．，都有 B．，都有C．，有 D．，有【答案】C【知识点】判断特称（存在性）命题的真假、判断全称命题的真假【分析】利用全称量词命题、存在量词命题真假判定方法逐项判断即得.【详解】对于A，当时，，A是假命题；对于B，当时，，B是假命题；对于C，当时，满足，C是真命题；对于D，当且仅当时，，因此不存在，使得，D是假命题.故选：C【变式3-2】（22-23高一上·山东滨州·期末）下列说法正确的是（

）A．命题“”是假命题B．命题“”的否定是“”C．命题“”是真命题D．命题“”的否定是“”【答案】C【知识点】判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假、全称命题的否定及其真假判断、特称命题的否定及其真假判断【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的知识确定正确答案.【详解】A选项，自然数都是整数，所以命题“”是真命题，A选项错误.B选项，命题“”的否定是“”，B选项错误.C选项，当时，，所以“”是真命题，C选项正确.D选项，命题“”的否定是“”，D选项错误.故选：C【变式3-3】（多选）（23-24高一上·重庆·开学考试）在下列命题中，真命题有（）A．B．是有理数C．，使D．，【答案】BC【知识点】判断特称（存在性）命题的真假、判断全称命题的真假【分析】利用存在量词命题、全称量词命题的真假判定方法逐一判断作答.【详解】对于A，，，A是假命题；对于B，因为有理数的四则运算（除数不为0）结果仍为有理数，因此一定是有理数，B是真命题；对于C，时，成立，C是真命题；对于D，当时，，D是假命题．故选：BC【变式3-4】（多选）（22-23高一上·安徽淮南·阶段练习）下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是（

）A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数C．实数都可以写成小数形式 D．一定存在没有最大值的二次函数【答案】AC【知识点】判断命题是否为全称命题、判断全称命题的真假【分析】逐项判断各个命题是否为全称命题，是否为真命题.【详解】A选项中，“任何”是全称量词，它是全称量词命题，且为真命题；B选项中，“都”是全称量词，它是全称量词命题，由于0是自然数，不是正整数，故该命题是假命题；C选项中，“都”是全称量词，它是全称量词命题，且为真命题；D选项中，“存在”是存在量词，它是存在量词命题．故选：AC．【考点题型四】根据存在量词命题的真假求参数【例4】（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）命题“存在，使得”是假命题，求实数a的取值范围．（2）若把（1）中的“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数【分析】（1）写出命题的否定，即可求解；（2）将问题转化为，即可求解.【详解】（1）命题“存在，使得”是假命题，所以此命题的否定“任意，使得”是真命题，因为对任意，都有，所以，所以，即实数a的取值范围为．（2）由题意知“存在，使得”是真命题，故有，所以，即实数a的取值范围为．【变式4-1】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合，若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】特称命题的否定及其真假判断、根据特称（存在性）命题的真假求参数、根据全称命题的真假求参数【分析】求出命题的否定，再结合全称量词命题为真求出a的范围.【详解】由命题“”为假命题，得为真命题，而，则，，因此，所以实数a的取值范围为.故选：D【变式4-2】（多选）（24-25高一上·安徽宿州·阶段练习）若“，”为真命题，“，或”为假命题，则集合M可以是（

）A． B． C． D．【答案】BD【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、根据全称命题的真假求参数【分析】利用特称命题的否定形式及真假计算即可.【详解】因为，或为假命题，所以，为真命题，可得，又，为真命题，可得，所以．故选：BD．【变式4-3】（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）若命题“存在，”为假命题，则实数的取值范围是【答案】【知识点】根据全称命题的真假求参数、含有一个量词的命题的否定的应用【分析】根据命题的否定为真命题，讨论的取值，结合二次不等式恒成立问题，即可求解.【详解】由题意可知，任意，是真命题，当时，成立，当时，，得，综上可知，的取值范围是.故答案为：【变式4-4】（24-25高一上·江西南昌·期中）命题“”为假命题，则实数的取值范围为．【答案】【知识点】特称命题的否定及其真假判断、根据全称命题的真假求参数【分析】写出原命题的否定，根据真假性列不等式来求得的取值范围.【详解】命题“”为假命题，命题“”为真命题，所以，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：【考点题型五】根据全称量词命题的真假求参数【例5】（多选）（24-25高一上·山东临沂·开学考试）已知命题，若命题是真命题，则实数的值可以是（

）A．0 B．1 C．2 D．【答案】ABD【知识点】根据全称命题的真假求参数【分析】由自变量的取值范围以及不等式可得，可得结论.【详解】根据题意可知不等式恒成立，可得，即.因此实数的值可以是.故选：ABD【变式5-1】（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知命题，，若为真命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】根据全称命题的真假求参数【分析】由题意可得，由此可解得实数的取值范围.【详解】因为命题，，且为真命题，则，解得.故选：D.【变式5-2】（24-25高一上·上海·期中）对任意，等式成立，则实数.【答案】【知识点】根据全称命题的真假求参数【分析】利用全称命题的真假性，结合等式成立的性质列式即可得解.【详解】因为对任意，等式成立，所以，则，解得.故答案为：.【变式5-3】（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知命题：“，，使得”是假命题，则实数m的取值范围是.【答案】【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、根据全称命题的真假求参数【分析】先分析得命题是真命题的等价条件，从而求得的取值范围，进而求得命题为假命题时的取值范围，由此得解.【详解】若命题：“，，使得”是真命题，则它等价于，因为，，则，所以当命题为假命题时，.故答案为：.【变式5-4】（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）若“”是真命题，则的最小值是．【答案】4【知识点】根据全称命题的真假求参数【分析】由命题为真有在上恒成立，求参数范围，进而确定最小值.【详解】由题设在上恒成立，而，所以，故其最小值为4.故答案为：4【考点题型六】命题的否定及其真假的判断【例6】（24-25高一上·全国·课堂例题）写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：实数的平方是非负数；(2)p：质数都是奇数；(3)p：方程有实数根；(4)p：菱形的对角线互相垂直且平分．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析(4)答案见解析【知识点】判断命题的真假、写出简单命题的非命题【分析】（1）（2）（3）（4）写出各个命题的否定，再判断其真假.【详解】（1）：实数的平方不都是非负数；而命题是真命题，因此是假命题．（2）：质数不都是奇数；2是质数，但2是偶数，所以为真命题．（3）：方程没有实数根；由，得是真命题．（4）：菱形的对角线不互相垂直或平分；而命题是真命题，因此是假命题．【变式6-1】（24-25高三上·陕西西安·开学考试）已知命题：，；命题：，，则（

）A．和都是真命题 B．和都是真命题C．和都是真命题 D．和都是真命题【答案】C【知识点】判断非命题的真假、判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假【分析】根据题意，分析命题、的真假，进而分析选项，可得答案.【详解】当时，，所以命题为假命题，则命题为真命题；当时，，所以命题为真命题，则命题为假命题；所以和都是真命题.故选：C【变式6-2】（24-25高一上·广西玉林·期中）命题“，”的否定形式为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【知识点】特称命题的否定及其真假判断【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，直接写出该命题的否定命题即可．【详解】根据存在量词命题的否定，命题“，”的否定为：，.故选：D.【变式6-3】（24-25高一上·云南大理·期中）命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【知识点】全称命题的否定及其真假判断【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得答案．【详解】解：由全称量词命题的否定是存在量词命题，即先将量词“”改成量词“”，再将结论否定，所以该命题的否定是“，”.故选:D．【变式6-4】（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知命题，命题，则（

）A．和均为真命题 B．和均为真命题C．和均为真命题 D．和均为真命题【答案】B【知识点】判断非命题的真假、判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假【分析】直接判断命题的真假.【详解】对于命题，当时，，所以为假命题，则为真命题；对于命题，当时，，所以为真命题.综上，和均为真命题.故选：B.【考点题型七】根据命题否定的真假求参数【例7】（17-18高三上·河南郑州·阶段练习）已知，，命题“若则”为假命题，命题“若则”为真命题，求实数的取值范围.【答案】.【知识点】根据或且非的真假求参数、解含有参数的一元二次不等式、分式不等式【详解】试题分析：根据分式不等式以及一元二次不等式求出命题和，命题“若则”为假命题，命题“若则”为真命题可得出为的充分不必要条件，，从而求出的范围.试题解析：，，因为“若则”假，“若则”真，所以为的充分不必要条件，所以为的充分不必要条件，所以，所以有或，（或写成（等号不能同时成立））解得.【变式7-1】（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）若命题“，使得”的否定是真命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．或【答案】C【知识点】特称命题的否定及其真假判断、根据全称命题的真假求参数【分析】先得到特称命题的否定，再根据一元一次方程的解的性质得到结果.【详解】命题“，使得”的否定是“，”，因此.故选：C.【变式7-2】（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知命题，成立，若为真命题，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】根据全称命题的真假求参数【分析】写出，由其为真命题，确定不等关系即可求解.【详解】:，为真命题，所以.故选：C【变式7-3】（20-21高一上·浙江台州·阶段练习）命题有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】已知命题的真假求参数【解析】因为方程最高项系数含参，所以需分类讨论，结合命题的真假，即可求出答案.【详解】是假命题，则p是真命题，有实数根，当a=0时，方程为，解得，有根，符合题意；当a≠0时，方程有根，等价Δ=4−4a≥0，且，综上所述，a的可能取值为a≤1.故选：B【变式7-4】（24-25高一上·新疆哈密·期中）已知命题，命题.(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；(2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数【分析】（1）利用全称量词命题为真求出的范围，再由为真求得答案.（2）由存在量词命题为真求出命题，进而求出，再结合（1）的信息求出结果.【详解】（1）对于任意，不等式恒成立，而，则，即命题，则命题，所以实数的取值范围是.（2）由，得，解得，即命题，则命题，由（1）知命题，由命题和均为真命题，得，所以实数的取值范围是.【考点题型八】判断命题成立的条件【例8】（24-25高一上·吉林延边·期中）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【知识点】判断两个集合的包含关系、判断命题的充分不必要条件、分式不等式、几何意义解绝对值不等式【分析】解分式不等式及绝对值不等式，根据解集的关系及充分、必要条件的定义计算即可.【详解】由，解之得或，记该范围对应集合，由或，解之得或，记该范围对应集合，显然A是B的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A【变式8-1】（24-25高一上·广东佛山·期中）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】判断命题的必要不充分条件【分析】根据必要不充分条件的判定方法进行判断.【详解】由“”不能推出“”，所以“”不是“”的充分条件；由“”可以推出“”，所以“”是“”的必要条件．综上可知：“”是“”的必要不充分条件.故选：B【变式8-2】（24-25高一上·江苏淮安·期中）设，则“”的充要条件为（

）A．至少有一个为1 B．都为1C．都不为1 D．【答案】A【知识点】探求命题为真的充要条件【分析】将化为求解，结合充分、必要性定义即可得答案.【详解】由，则，可得或，即至少有一个为1，所以“”的充要条件为至少有一个为1，故只有A符合，其它选项均不符.故选：A【变式8-3】（24-25高一上·河南新乡·期中）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【知识点】判断命题的充分不必要条件【分析】求出绝对值不等式的解，由充分、必要条件概念得解.【详解】由，得或，故“”是“”的充分不必要条件．故选：A【变式8-4】（23-24高一上·山东·期中）“一元二次方程有一个正根和一个负根”是“”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】C【知识点】充要条件的证明【分析】根据题意，由韦达定理代入计算，结合充分条件以及必要条件的定义，即可得到结果.【详解】若“一元二次方程有一个正根和一个负根”成立，由韦达定理可得，所以成立，反之，若“”成立，此时一元二次方程的，此时方程有两个不等的根，由韦达定理可得此时，即方程两个根的符号相反，即一元二次方程有一个正根和一个负根，所以“一元二次方程有一个正根和一个负根”是“”的充要条件.故选：C【考点题型九】充分条件、必要条件的探求与应用【例9】（24-25高一上·陕西西安·期中）已知，．(1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．(2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1)不存在，理由见解析(2)存在，【知识点】必要条件的判定及性质、根据充要条件求参数【分析】（1）由列出等式求解即可；（2）分和两类情况讨论即可.【详解】（1）要使是的充要条件，需使，即，此方程组无解，故不存在实数，使是的充要条件．（2）要使是的必要条件，需使．当时，，解得，满足题意；当时，，解得，要使，则有，解得，所以．综上可得，当实数时，是的必要条件．【变式9-1】（24-25高一上·安徽·期中）使成立的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】判断命题的充分不必要条件【分析】根据充分不必要条件的判定即可得到答案.【详解】设，则使成立的一个充分不必要条件是集合的真子集．对照选项知只有B符合题意.故选：B．【变式9-2】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由可得，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解.【详解】因为一元二次方程有实根，所以，解得.又是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：A【变式9-3】（22-23高一上·河南·期中）已知集合，．(1)若，均有，求实数的取值范围；(2)若，设：，，求证：成立的充要条件为．【答案】(1)(2)证明见解析【知识点】根据元素与集合的关系求参数、探求命题为真的充要条件、含有一个量词的命题的否定的应用、解不含参数的一元二次不等式【分析】（1）根据二次不等式，解得集合的元素，利用分类讨论思想，可得答案；（2）根据充要条件的定义，利用集合之间的包含关系，可得答案.【详解】（1）．因为，均有，