专题05 函数的概念、性质及应用（原卷版及全解全析）

专题05函数的概念、性质及应用题型1求函数值（常考点）题型13根据函数的最值求参数（常考点）题型2具体函数的定义域题型14函数不等式恒成立问题（难点）题型3函数奇偶性的定义与判断题型15函数不等式能成立(有解)问题（重点）题型4由奇偶性求函数解析式题型16分段函数模型的应用（常考点）题型5函数奇偶性的应用（常考点）题型17求函数的零点题型6由奇偶性求参数题型18零点存在性定理的应用（常考点）题型7定义法判断或证明函数的单调性题型19判断零点所在的区间（难点）题型8求函数的单调区间题型20根据函数零点的个数求参数范围题型9根据函数的单调性求参数值题型21根据二次函数零点的分布求参数的范围题型10根据函数的单调性解不等式题型22二分法求函数零点的过程题型11根据解析式直接判断函数的单调性题型23反函数题型12利用函数单调性求最值或值域题型1求函数值（共4题）例1已知函数，则．【变式1-1】（2024·上海虹口·期末）若表示不大于的最大整数，比如，则．【变式1-2】已知函数满足：对任意非零实数x，均有，则．【变式1-3】已知定义域为的函数满足：①对任意，恒成立；②若则.以下选项表述不正确的是（

）A．在上是严格增函数 B．若，则C．若，则 D．函数的最小值为2题型2具体函数的定义域（共4题）例2（2025·上海·期末）函数的定义域为.【变式2-1】（2025·上海松江·期末）函数的定义域是.【变式2-2】（2025·上海闵行·期末）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【变式2-3】函数的定义域是.题型3函数奇偶性的定义与判断（共4题）例3（2025·上海·期末）偶函数的定义域是，则.【变式3-1】已知常数，函数的表达式为(1)证明：函数是奇函数；(2)若函数在区间上的最大值为2，求实数a的值．【变式3-2】（2025·上海·期末）设常数，．(1)根据的值，讨论函数的奇偶性，并说明理由;(2)设，,写出的表达式.若对于区间上的任意给定的两个自变量的值，当，总有，给出一个区间，并证明结论;(3)当为正整数时，如果对于任意，总有成立，求的值．【变式3-3】（2025·上海·期末）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则.题型4由奇偶性求函数解析式（共4题）例4（2025·上海嘉定·期末）已知函数是偶函数，是奇函数，且，则.【变式4-1】（2025·上海闵行·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，【变式4-2】（2025·上海静安·期末）设函数是定义在上的奇函数，当时,，则不等式的解集为（

）A．() B．[] C． D．【变式4-3】（2025·上海金山·期末）若函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数在上的最大值为.题型5函数奇偶性的应用（共6题）例5（2025·上海·期末）已知幂函数是奇函数，则.【变式5-1】（2025·上海·期末）已知函数的定义域为，那么“函数的图象关于原点对称”是“对任意，都存在，使得成立”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【变式5-2】（2025·上海杨浦·期末）已知定义在是的函数满足，且是奇函数，则.【变式5-3】（2025·上海闵行·期末）设，且函数是偶函数，若，则【变式5-4】（2025·上海·期末）已知函数的图像绕着原点旋转角后，与原来图像重合，则称函数为角旋转周期函数.(1)判断奇函数是否是角旋转周期函数，若是，求出；若不是，说明理由；(2)若是角旋转周期函数，判断以下四个点，哪个点可能在的图像上；(3)若是角旋转周期函数且上的点除原点外必不在的图像上，求所有满足要求的（可用三角比或具体数值表示）.【变式5-5】（2025·上海长宁·期末）偶函数在区间上的最大值为，则实数．题型6由奇偶性求参数（共5题）例6（2025·上海·期末）已知，关于的函数不是奇函数也不是偶函数，那么的取值范围是.【变式6-1】已知为实数，且函数是偶函数，则.【变式6-2】设.若函数是定义在上的奇函数，则.【变式6-3】（2025·上海金山·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.其中a，m为实数，且.若对任意，恒成立，求实数a的取值范围.【变式6-4】（2025·上海长宁·期末）设为实数，已知函数为偶函数：(1)求的值：(2)判断函数在区间上的单调性，并用定义加以证明；题型7定义法判断或证明函数的单调性（共7题）例7（2025·上海·期末）已知函数．(1)证明：函数是奇函数；(2)用定义证明：函数在上是严格增函数；(3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围．【变式7-1】（2025·上海长宁·期末）已知是定义域为的奇函数，且在上是严格增函数．(1)求的值，并证明：是上的严格增函数；(2)判断函数是否一定是上的严格增函数．如果是，给与证明：如果不是，举出反例，并说明理由．【变式7-2】（2025·上海普陀·期末）已知函数是定义在区间上的函数(1)判断并证明函数的奇偶性；(2)用定义证明函数在区间上是增函数；(3)解不等式．【变式7-3】（2025·上海·期末）已知对于任意的，，恒有，且当时，，则能使成立的一个的整数值为.【变式7-4】（2025·上海浦东新区·期末）已知函数的表达式为.(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)用定义证明:函数在区间上是严格减函数.【变式7-5】（2025·上海闵行·期末）已知，．(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)若，证明：在区间上是严格增函数．【变式7-6】（2025·上海奉贤·期末）已知函数，其中．(1)当且时，求的值；(2)在下面三问中选一个，若都选，只按第（1）问阅卷．①当时，求函数的值域．②判断时函数在内的单调性，请说明理由．③判断函数的奇偶性，请说明理由．题型8求函数的单调区间（共3题）例8（2025·上海宝山·期末）函数的单调递减区间为.【变式8-1】（2025·上海普陀·期末）（1）解不等式．（2）函数的单调区间和对称中心．【变式8-2】（2025·上海·期末）已知函数的表达式为，且（）.(1)求实数的值，并判断函数的奇偶性；(2)判断函数的单调性，并证明；(3)解关于的不等式.题型9根据函数的单调性求参数值（共6题）例9（2025·上海长宁·期末）已知函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是．【变式9-1】（2025·上海·期末）已知，关于的函数在区间上是严格减函数，且在该区间函数值不恒为负，则实数.【变式9-2】（2025·上海·期末）已知函数在区间上是严格增函数，则的取值可以是（

）A． B． C． D．【变式9-3】（2025·上海·期末）已知为常数.(1)若为偶函数，求的值；(2)若函数为单调函数，求实数的取值范围.【变式9-4】（2025·上海嘉定·期末）对于定义在上的函数，设区间是的一个子集，对于区间上任意给定的两个自变量的值、，如果总有，则称函数在区间上是“舒缓函数”.(1)判断函数、在上是否是“舒缓函数”，并说明理由；(2)若函数在上是“舒缓函数”，求实数的取值范围；(3)已知函数，的最大值是、最小值是，在上是“舒缓函数”，且，求证：.【变式9-5】（2025·上海·期末）对于定义在的两个函数和，若函数满足：①是严格减函数；②其函数值恒大于零，则称函数和为“在上的函数对”．(1)分别判断下列各组中两个函数是否为“在上的函数对”，并说明理由①，；②，；(2)设常数，若和为“在上的函数对”，求的取值范围(3)设常数，若和为“在上的函数对”，求证：的值有且仅有一个．题型10根据函数的单调性解不等式（共7题）例10（2025·上海长宁·期末）不等式的解集是．【变式10-1】（2025·上海杨浦·期末）已知是定义在上的严格增函数，则不等式的解集为.【变式10-2】（2025·上海徐汇·期末）试用函数观点解不等式，则该不等式的解集为.【变式10-3】（2025·上海松江·期末）已知函数的表达式是，则满足的实数的最大值是.【变式10-4】（2025·上海长宁·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为．【变式10-5】（2025·上海宝山·期末）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为.【变式10-6】（2025·上海杨浦·期末）已知函数为奇函数(1)求：的值(2)解关于x的不等式，题型11根据解析式直接判断函数的单调性（共3题）例11（2025·上海徐汇·期末）下列函数中，既是偶函数，又在区间上为严格减函数的是（

）A． B．C． D．【变式11-1】（2025·上海·月考）设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为严格增函数，则、、中至少有一个严格增函数；②若、、均是奇函数，则、、均是奇函数，下列判断正确的是（

）A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题【变式11-2】（2025·上海·期末）下列关于x的函数中，在其定义域上是严格增函数的是（填序号）：.①；②；③；④；⑤.题型12利用函数单调性求最值或值域（共7题）例12（2025·上海·期末）已知正实数满足，则的最大值为.【变式12-1】（2025·上海长宁·期末）函数的最大值为．【变式12-2】（2025·上海松江·期末）函数的最小值是.【变式12-3】（2025·上海闵行·期末）雅各布·伯努利（JakobBemoulli）是17世纪著名的数学家，他在概率论、数学分析及无穷级数等多个领域作出了重大的贡献，对后世数学的发展产生了深远的影响．1689年，他提出了一个著名的不等式称为伯努利不等式，其内容如下：设，且，n为大于1的正整数，则．由此可知，函数在区间上的最小值是【变式12-4】（2025·上海松江·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且.(1)求函数的表达式；(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明;(3)设函数，若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围.【变式12-5】（2025·上海·期末）已知定义在上的函数是偶函数(1)求的值；(2)解不等式；(3)设函数，.若对任意，存在，使得，求实数的取值范围.【变式12-6】（2025·上海宝山·期末）某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库．因仓库的背面靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元．(1)设仓库前面墙体的长为x米（），试将甲工程队的整体报价y表示为x的函数；(2)当仓库前面墙体的长度为多少时，甲工程队的整体报价最低？(3)现有乙工程队也参与此仓库改造竞标，其给出的整体报价为元，其中，不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功，求实数k的取值范围．题型13根据函数的最值求参数（共5题）例13（2025·上海·期末）已知函数的最小值为，则【变式13-1】（2025·上海闵行·期末）若函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为【变式13-2】（2025·上海嘉定·期末）已知.(1)当时，判断在区间上的单调性，并证明你的结论；(2)若在区间上的最大值比最小值大1，求实数的值.【变式13-3】已知函数.(1)若恒成立，求的最大值；(2)若在上单调，求的取值范围；(3)求在上的最小值为，求.【变式13-4】（2025·上海杨浦·期末）已知函数的定义域为D，对于任意，均有，则称为定义在D上“p阶增函数”(1)若，函数为定义在区间上的“1阶增函数”，求：实数的取值范围(2)若为定义在区间上的“1阶增函数”，且，其中，求证：(3)如果存在常数，对于任意，都有，则称在D上有上界，问：是否存在常数M，使得对于所有定义在区间上且有上界的“2阶增函数”，都有，若存在，求：M的最小值；若不存在，请说明理由.题型14函数不等式恒成立问题（共5题）例14（2025·上海普陀·期末）已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是．【变式14-1】（2025·上海宝山·期末）已知.若任取、，均有成立，则实数的取值范围是.【变式14-2】（2025·上海浦新·期末）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为.【变式14-3】（2025·上海普陀·期末）幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数．(1)求的表达式；(2)求函数的单调区间（只写结果，不要证明）；(3)对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．【变式14-4】（2025·上海宝山·期末）定义：对于函数，.如果存在正常数，使得当取其定义域中任意值时，有，且成立，则称是“一致变化函数”，而这个常数就叫做函数的“一致变化系数”.(1)给出，.判断函数是否为“一致变化函数”，并说明理由；(2)给出，.若是“一致变化函数”，求“一致变化系数”与之和的最小值；(3)给出，.求证：函数是“一致变化函数”，并求“一致变化系数”的取值范围.题型15函数不等式能成立(有解)问题（共3题）例15（2025·上海·期末）已知函数（常数）.(1)若，且，求的值；(2)若，用函数单调性定义证明：函数在上是严格增函数；(3)当为奇函数时，存在使得不等式成立，求实数的取值范围.【变式15-1】（2025·上海·期末）已知函数为奇函数，，其中.(1)若函数的图象过点，求实数和的值；(2)若，试判断函数在上的单调性并用定义证明；(3)设函数，若对每一个不小于3的实数，都存在小于3的实数，使得成立，求实数的取值范围.【变式15-2】（2024·上海松江·期末）已知关于的不等式有实数解，则实数的取值范围是.题型16分段函数模型的应用（共3题）例16（2025·上海长宁·期末）已知某线路运行的地铁发车时间间隔（单位：分钟）满足：．经测算，该地铁每班平均载客人次（单位：人次）与发车时间间隔满足：．(1)计算的值，并说明其的实际意义；(2)若该线路每分钟的净收益为（单位：元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益．【变式16-1】（2025·上海·期末）某次展会上，跨国A公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在明年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产千台空调，需另投入资金万元，且，经测算，当生产10千台空调需另投入的资金万元：现每千台空调售价为900万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.(1)求企业年利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式；(2)产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润多少？（注：利润=销售额－成本）【变式16-2】据悉一辆城际列车满载时为550人，人均票价为4元，十分适合城市间的运营.城际铁路运营公司通过一段时间的营业发现，每辆列车的单程营业额（元）与发车时间间隔（分钟）相关；当间隔时间到达或超过12分钟后，列车均为满载状态；当时，单程营业额与成正比；当时，单程营业额会在时的基础上减少，减少的数量为.(1)求当时，单程营业额关于发车间隔时间的函数表达式；(2)由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均次单程运营.为体现节能减排，发车间隔时间，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额最大？求出该最大值.题型17求函数的零点（共3题）例17（2025·上海徐汇·期末）若函数的图象关于直线对称，则的最大值为.【变式17-1】（2025·上海宝山·期末）设均为正数，则函数的零点的最小值为.【变式17-2】（2025·上海嘉定·期末）函数的零点是.题型18零点存在性定理的应用（共4题）例18（2025·上海·期末）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质.若函数具有性质，且的图象是一条连续不断的曲线，则函数的值域为.【变式18-1】（2025·上海杨浦·期末）设函数定义域为R,对于下列命题:①若存在常数M,使得对任意的,都有成立,则M是函数的最大值;②若函数的图像是一条连续不断的曲线,且对区间,有,则函数在区间上不存在零点;③若函数满足对任意的，都有或都有成立，则函数是偶函数或奇函数;④若函数满足对任意的，任意的,都有成立,则函数在R上严格递增;其中，所有假命题的序号为.【变式18-2】（2025·上海杨浦·期末）定义在R上且图像连续不断的函数，若存在实数使得任意实数x都成立，我们称是R上“m相依函数”．下列关于“m相依函数”的描述正确的是（

）A．存在唯一的常值函数是“m相依函数” B．是“m相依函数”C．“2025相依函数”至少有一个零点 D．“相依函数”至少有一个零点【变式18-3】（2025·上海宝山·期末）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域D中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数．(1)若，，判断函数和是否为倒函数，并说明理由；(2)若是上的倒函数，当时，，方程是否有正整数解？并说明理由；(3)若是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件．题型19判断零点所在的区间（共3题）例19（2025·上海·期末）函数，其中是一个常数，计算知，则方程的根所在的区间是（

）A． B． C． D．无法确定【变式19-1】（2025·上海长宁·期末）设，现用二分法求方程在区间内的近似解，计算得，则近似解所在的区间为（

）A． B． C． D．不能确定【变式19-2】（2025·上海·期末）已知函数，则下列命题中正确个数有（

）①的定义域为；②的值域为；③；④有两个零点，，且.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型20根据函数零点的个数求参数范围（共4题）例20（2025·上海长宁·期末）已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为．【变式20-1】（2025·上海·期末）设常数，，设，若函数恰有三个零点，则的取值范围是．【变式20-2】（2025·上海长宁·期末）设，若关于的方程在区间上有两个不同的解，则实数的取值范围为．【变式20-3】（2025·上海长宁·期末）已知．(1)当时，求函数的定义域；(2)若，且关于的方程有唯一解，求实数的值；(3)设，若当时，函数在区间上的最大值与最小值的差均不超过，求实数的取值范围．题型21根据二次函数零点的分布求参数的范围（共5题）例21（2025·上海宝山·期末）关于x的方程有两个不同的正实数根，则实数a的取值范围是．【变式21-1】（2025·上海·期末）若函数在上存在零点，则实数的取值范围是．【变式21-2】（2025·上海杨浦·期末）若函数在区间内有零点，则实数的取值范围为.【变式21-3】（2025·上海静安·期末）若函数存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式21-4】（2025·上海虹口·期末）已知关于的方程的一个根大于1，另一个根小于1，则实数的取值范围为.题型22二分法求函数零点的过程（共3题）例22（2025·上海奉贤·期末）某同学利用二分法求函数零点时，利用计算器分别计算了三处的函数值，为了寻求函数零点更精准的近似值，则下一次需计算的值为．【变式22-1】（2025·上海闵行·期末）小明同学在用二分法研究函数在区间的零点时，发现，，，那么他下一步应计算（

）A． B． C． D．【变式22-2】（2024·上海虹口·期末）若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，则实数和分别等于（

）A． B．2，3 C． D．题型23反函数（共3题）例23（2025·上海虹口·期末）设，若函数的反函数为，且函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为.【变式23-1】（2025·上海·期末）已知，则.【变式23-2】（2025·上海·期末）已知函数和其反函数的图象都过点，则．

专题05函数的单调性和奇偶性及其综合（易错必刷60题11种题型专项训练）函数单调性的判断及证明求函数的单调区间函数单调性的应用复合函数的单调性求函数的最值由函数的最值求解函数或参数奇函数偶函数的判断函数奇偶性的应用奇偶函数图象的对称性奇偶性与单调性的综合抽象函数的奇偶性一．函数单调性的判断及证明1．（2024春•顺义区期末）下列函数中，在上为减函数的是A． B． C． D．【解析】项，，在上不是减函数；项，在上为减函数；项，，如图，在上不是减函数；项，，反比例函数在上没有单调性．故选：．2．（2024春•海南期末）下列函数在区间上单调递减的是A． B． C． D．【解析】根据题意，依次分析选项：对于，是二次函数，在区间上单调递增，不符合题意；对于，是幂函数，在区间上单调递增，不符合题意；对于，，是反比例函数，在区间上单调递增，不符合题意；对于，当时，，则在区间上单调递减，符合题意．故选：．3．【多选】（2023秋•肥东县校级期末）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是A． B． C． D．【解析】根据题意，依次分析选项：对于，是奇函数，在其定义域上单调递减，故正确；对于，是在其定义域上单调递增的指数函数，故错误；对于，，（1），故在其定义域上不单调递减，故错误；对于，是奇函数，在其定义域上单调递减，故正确．故选：．4．【多选】（2023秋•官渡区校级期末）若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是A． B． C． D．【解析】根据题意，若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有，则为奇函数，若②对于定义域上的任意，，当时，恒有，则在定义域上单调递减，依次分析选项：对于，满足要求，正确；对于，，故为偶函数，错误；对于，满足要求，正确；对于，，故不是奇函数，错误．故选：．5．（2023秋•周至县校级期末）已知函数．（1）若为奇函数，求的值；（2）试判断在上的单调性，并用定义证明．【解析】（1）根据题意，函数，且定义域为，又为奇函数，则，所以．（2）在上递增，证明：令，则，又由，，故，所以在上递增．6．（2023秋•汉中期末）已知函数是奇函数．（1）求实数的值；（2）判断并用定义法证明函数的单调性；（3）若，且当时，恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）由题意，可得，则，所以．（2）单调递增，证明如下：由（1）知，，令，则，而，，，所以，故单调递增．（3）由题意可知，当时，恒成立，而，所以，故实数的取值范围为，．7．（2023秋•许昌期末）已知函数．（1）判断函数奇偶性，并用定义法证明；（2）写出函数的单调区间，并用定义法证明某一个区间的单调性；（3）求函数在，上的最大值和最小值．【解析】（1）为奇函数，证明：的定义域为，有，则为奇函数；（2），在区间上为增函数，在区间上为减函数，在区间上为减函数，在区间上为增函数，证明：在上为减函数，设，，又由，则，，故，则在上为减函数，（3）根据题意，由（2）的结论，在区间上为增函数，在区间上为减函数，则（9），（2），（3），故在，上的最大值为10，最小值为6．8．（2023秋•西宁期末）已知函数，且．（1）判断函数在上的单调性，并用定义法证明；（2）若，求的取值范围．【解析】（1）由已知得，，，在上单调递增，证明如下：任取，，且，则，，，又，，，，即，，函数在上为单调增函数；（2）由（1）知函数在上为单调增函数，由可得，，解得或，故不等式的解集为或．二．求函数的单调区间9．（2022秋•中原区校级期末）函数的单调递增区间为A． B． C． D．【解析】依题意，，解得，即定义域为，令，则函数在上单调递增，在上单调递减，而函数在上单调递减，因此，在上单调递减，在上单调递增，所以函数的单调递增区间为．故选：．10．（2023秋•上饶期末）函数的递减区间是．【解析】二次函数开口向上，对称轴为，所以函数的单调递减区间为．故答案为：．11．（2022秋•望花区校级期末）函数的单调减区间为．【解析】由，得或，为增函数，在区间，上是减函数，由复合函数的单调性得：函数的单调减区间为，，故答案为：，．12．（2022秋•汕尾期末）已知函数，则的单调递增区间为．【解析】当时，单调递减；当时，，在上单调递增，在单调递减；故答案为：．三．函数单调性的应用13．（2023秋•滨海新区校级期末）若函数单调递增，则实数的取值范围是A．， B．， C． D．【解析】函数单调递增，由指数函数以及一次函数的单调性的性质，可得且．但应当注意两段函数在衔接点处的函数值大小的比较，即，可以解得，综上，实数的取值范围是，．故选：．14．（2023秋•沈阳期末）已知函数，是上的减函数，则实数的取值范围是A．， B． C．， D．，【解析】，是上的减函数，，解得．故选：．15．（2023秋•西安期末）若函数是上的减函数，，则下列不等式一定成立的是A．（a） B． C．（a） D．【解析】时，，，，都错误；，，是上的减函数，（a），即错误；，，且是上的减函数，，即正确．故选：．16．（2023秋•新化县期末）已知函数在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围是A． B． C． D．【解析】函数在定义域上是减函数，则有：，解得：，故选：．17．（2024春•怀仁市校级期末）已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是A．， B．， C．， D．【解析】因为是定义在上的增函数，所以，解得．故选：．18．（2024春•桃城区校级期末）已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则（3）的值为A．3 B．5 C．7 D．9【解析】由，且是单调函数可知必是常数，设为常数），得，且，解得，，（3）．故选：．19．（2023秋•邯郸期末）已知函数在区间，上单调递增，则实数的取值范围为A． B．， C． D．【解析】根据题意，设，则，因为在，上单调递增，所以在区间，上单调递增，则有，解得．故选：．20．（2023秋•南昌期末）以下函数中满足，，，都有的是A． B． C． D．【解析】因为函数满足，，，都有，所以函数的图象在上凸的，即函数在时的图象上任意两点，，，的连线在函数图象的下方，：当时，根据二次函数的性质可知，是下凸的，不符合题意；：当时，根据一次函数的性质可知，是直线型的，不符合题意；：当时，根据指数函数的性质可知，是下凸的，不符合题意；：当时，根据对数函数的性质可知，是上凸的，符合题意．故选：．21．（2023秋•金安区校级期末）已知函数是定义在上的增函数，那么的取值范围是A．， B． C．， D．，【解析】函数是定义在上的增函数，，解得：，，故选：．22．（2023秋•永城市校级期末）已知函数，且，则实数的取值范围为A． B． C． D．【解析】令，则，由得，因为在上单调递增，且，所以为奇函数，由得，所以，解得．故选：．23．（2023秋•都江堰市校级期末）已知函数，若，，，则，，的大小关系为A． B． C． D．【解析】为奇函数，且在上单调递增，，，，，根据在上单调递增得．故选：．24．（2023秋•罗庄区校级期末）定义在上的奇函数满足：任意，都有，设，，，则，，的大小关系为A． B． C． D．【解析】因为定义在上的奇函数满足：任意，都有，所以在上为单调递增函数，，，即．故选：．25．（2023秋•灌云县校级期末）函数是定义在上的单调递减函数，则不等式（1）的解集为．【解析】根据题意，为定义在的减函数，若（1），则有，即，即不等式（1）的解集为．故答案为：．四．复合函数的单调性26．（2023秋•开福区校级期末）函数的单调递增区间是A． B． C． D．，【解析】由，得或，设，函数在为增函数，此时为增函数，所以为增函数，即的单调增区间为．故选：．27．（2023秋•那曲市期末）已知函数，则的增区间为A． B． C． D．【解析】令，，又的增区间为，在上单调递增，所以的增区间为．故选：．28．（2024春•沈阳期末）函数在上单调递减的一个充分不必要条件是A． B． C． D．【解析】根据题意，令，则，其中，因为在上单调递减，所以在上单调递增，则满足，即，解得，分析选项：的一个充分不必要条件是．故选：．29．（2023秋•龙华区期末）已知函数，下列结论正确的是A．单调增区间为，，值域为， B．单调减区间是，，值域为， C．单调增区间为，，值域为， D．单调减区间是，，值域为，【解析】令，则，由，知，所以在上单调递增，在上单调递减，又函数在定义域内单调递增，所以的单调增区间为，单调减区间为，所以（1），所以函数的值域为，．故选：．30．（2024春•晋安区校级期末）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，【解析】根据题意，设，则，函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减，则在区间上单调递减，必有，解得，所以实数的取值范围是，．故选：．31．（2023秋•鹿邑县期末）设函数在上单调递减，则的取值范围是A． B． C．， D．，【解析】令，因为函数在上为减函数，且函数在上单调递减，所以，函数在上为增函数，所以，解得，且在上恒成立，则，解得．所以，的取值范围是．故选：．五．求函数的最值32．（2024春•滁州期末）若，则A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为6 D．最小值为6【解析】当时，，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为．故选：．33．（2024春•海淀区期末）函数在上的最大值为．【解析】令，则，即，所以可化为，当时，，当时，，当时，，当且仅当时取到等号，解得（负根舍去），所以此时，所以此时最大值为1，当时，因为函数在上单调递减，得到，所以所以，所以，综上所述，函数在上的最大值为1．故答案为：1．34．（2024春•兴庆区校级期末）已知函数在区间，上的最大值为，最小值为，则．【解析】记，显然的定义域，关于原点对称，且，所以是区间，上的奇函数，设的最大值为，则的最小值为，所以．故答案为：2．35．【多选】（2022秋•银川期末）若函数的图像经过点，则A． B．在上单调递减 C．的最大值为81 D．的最小值为【解析】由题意可得（3），即，解得，故正确，所以，令，则函数在上单调递减，在上单调递增，又函数为单调递减函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故错误，所以当时，，故正确，错误，故选：．六．由函数的最值求解函数或参数36．（2024春•崂山区校级期末）设函数，若存在最小值，则的最大值为A．1 B． C． D．【解析】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合题意；当时，，当时，（2），又时，，存在最小值0，满足题意；当时，在，上单调递减，在上单调递增，若存在最小值，则（2），解得，；当时，在上单调递减，在上单调递增，若存在最小值，则（a），不等式无解；综上所述，实数的取值范围为，，则的最大值为1．故选：．37．（2022秋•宁都县校级期末）函数在区间，上的最大值为10，则实数的最大值为A．6 B．8 C．9 D．10【解析】令，，，则函数在，上单调递减，在，上单调递增，所以当时，，当时，，所以，，所以在，上的最大值为10，①当时，，所以，，舍去；②当时，，此时命题成立；③当时，，此时命题成立；④当时，，所以，解得，此时命题成立；综上所述：实数的取值范围是，即实数的最大值为8．故选：．38．（2022秋•聊城期末）已知函数在区间，上的最大值与最小值之差为，则的值为A．2 B． C．2或 D．3或【解析】当时，则与在，上均为单调递增函数，所以函数在区间，上单调递增，所以（2），（1），所以，所以，即，解得；当时，则与在，上均为单调递减函数，所以函数在区间，上单调递减，所以（2），（1），所以，所以，即，解得；综上，．故选：．39．（2023秋•道里区校级期末）已知函数，若函数在，的最小值为1，则实数的值为．【解析】令，则当，时，，，函数可化为，对称轴为，当，即时，在，上单调递增，（1），解得：（舍；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，解得：（舍或；当，即时，在，上单调递减，（4），解得：（舍；综上所述：．故答案为：．40．（2022秋•枣庄期末）已知函数在，上的最大值为3，则实数的值为．【解析】，显然，当时，函数在，上单调递减，则，解得；当时，函数在，上单调递增，则，解得（舍；综上，．故答案为：3．41．（2022秋•简阳市校级期末）函数在，上的最大值为13，则实数的值为．【解析】令，则原函数可化为，对称轴为，显然该函数在，上单调递增，当时，，，（a），解得或（舍；当时，，，，解得或，综上可知：的取值为3或．故答案为：3或．42．（2022秋•海淀区校级期末）函数在区间，上的最小值是，则的值是．【解析】由已知，设，原函数可化为，该函数在，上单调递减，①当时，，，此时函数递减，，解得，所以或（舍，解得（负值舍去）；②当时，，此时函数递减，，即，解得或（舍去），所以；综上，的取值为或．故答案为：或．七．奇函数偶函数的判断43．【多选】（2022秋•蕉城区校级期末）下列函数中为偶函数的是A． B． C． D．【解析】选项，函数定义域为，，它不关于原点对称，为非奇非偶函数；选项，函数定义域为，且，是一个奇函数；选项，函数定义域为，且，是一个偶函数；选项，函数定义域为，且，是一个偶函数．故选：．44．（2022秋•克州期末）判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）．【解析】（1）的定义域为，它关于原点对称，，故为偶函数；（2）的定义域为，它关于原点对称，，故为奇函数；（3）的定义域为，，，，它关于原点对称，，故为奇函数．45．（2022秋•浦东新区校级期末）已知函数．（1）判断的奇偶性，并证明；（2）求不等式的解集．【解析】（1）根据题意，函数为奇函数，函数，则有，解可得，即函数的定义域为，，该函数为奇函数；（2）根据题意，不等式即，则有，必有，解可得，即不等式的解集为．八．函数奇偶性的应用46．（2022秋•济南期末）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则A． B． C．5 D．7【解析】根据题意，当时，，则（1），又由为奇函数，则（1），故选：．47．（2023春•滁州期末）已知定义在上的奇函数满足，当，时，，则A． B． C．0 D．1【解析】因为函数是定义在上的奇函数，则，若函数满足，则有，则有，可得，则函数是周期为8的周期函数，所以（6），因为，所以（6）（2），因为当，时，，所以（6）（2），即．故选：．48．（2023秋•锡山区校级期末）已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为A．，， B． C．，， D．，，【解析】因为函数为上的奇函数，当时，，当时，，所以，所以，又，则