专题07幂函数原卷版及全解全析

专题07幂函数【清单01】幂函数的定义一般地，(为有理数)的函数，即以\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"底数为\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"自变量，幂为\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"因变量，\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"指数为常数的函数称为幂函数.【清单02】幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数.【清单03】常见的幂函数图像及性质：函数图象定义域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性在上单调递增在上单调递减，在上单调递增在上单调递增在上单调递增在和上单调递减公共点【考点题型一】幂函数的解析式【例1】.已知幂函数的图象经过点，函数，则（

）A．为偶函数 B．为奇函数C．为增函数 D．为减函数【变式1-1】.已知幂函数的图象过点，则（

）A． B．C． D．【变式1-2】.已知幂函数fx满足，求的值（

）A．3 B． C．4 D．【变式1-3】.已知幂函数的图象过点(1)求函数的解析式;(2)用定义证明函数在区间上单调递减；(3)求不等式的解集.【考点题型二】幂函数的图像【例2】.已知是整数，幂函数在上单调递增．(1)求的解析式；(2)若，画出函数的大致图象；(3)图象写出的单调区间.【变式2-1】.已知幂函数的图象与x轴没有公共点，则（

）A． B． C．1 D．或1【变式2-2】.已知幂函数的图象不过原点，且关于轴对称，则（

）A． B． C．或 D．【变式2-3】.已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【变式2-4】.若幂函数的大致图象如图所示，则（

）

A． B． C． D．【考点题型三】幂函数的单调性及应用【例3】.已知幂函数在上单调递增，且其图象经过点．(1)求的解析式；(2)若，用定义法证明：函数在上单调递增．【变式3-1】.“”是“幂函数在上是减函数”的一个（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【变式3-2】.已知幂函数，满足，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【变式3-3】.已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【变式3-4】.已知幂函数在上单调递减，则不等式的解集是【变式3-5】.已知函数为幂函数，且在上单调递减．(1)求的值；(2)若函数，且，判断的单调性，并证明．【考点题型四】幂函数的奇偶性【例4】.已知幂函数是奇函数．(1)求的解析式；(2)根据定义证明函数在上单调递增．【变式4-1】.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（

）A． B． C． D．【变式4-2】.已知幂函数是定义域上的奇函数，则（

）A． B． C． D．或【变式4-3】.幂函数，，都有成立，则下列说法正确的是（

）A． B．或C．是奇函数 D．是偶函数【变式4-4】.已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为.【变式4-5】.已知幂函数为奇函数，.(1)若，求；(2)已知，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.【变式4-6】.已知幂函数是非奇非偶函数.(1)求函数的解析式；(2)已知是定义在上的奇函数，当时，.（ⅰ）求函数的解析式；（ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.一、单选题1．已知幂函数在上单调递增，函数时，总存在使得，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．下列关于幂函数的描述中，正确的是（

）A．幂函数的图象都经过点和；B．幂函数的图象不经过第三象限；C．若幂函数的图象过点，则它的图象也经过点.D．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数；3．若幂函数的图象关于原点对称，则（

）A．3 B．2 C．1 D．04．已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．或C．或 D．5．已知函数是幂函数，且在上单调递增，则（

）A． B． C．或 D．或6．已知函数是幂函数，则函数是（

）A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数7．若幂函数的图象不过原点，且关于原点对称，则的取值范围是（

）A． B．C． D．8．已知，，，，则（

）A． B． C． D．9．下列关于幂函数的判断：①定义域为；②值域为R；③是偶函数；④在上单调递减.其中正确的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．110.已知函数为幂函数，且在上单调递增.(1)求的值；(2)若，求实数的取值范围.

专题07幂函数【清单01】幂函数的定义一般地，(为有理数)的函数，即以\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"底数为\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"自变量，幂为\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"因变量，\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"指数为常数的函数称为幂函数.【清单02】幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数.【清单03】常见的幂函数图像及性质：函数图象定义域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性在上单调递增在上单调递减，在上单调递增在上单调递增在上单调递增在和上单调递减公共点【考点题型一】幂函数的解析式【例1】.已知幂函数的图象经过点，函数，则（

）A．为偶函数 B．为奇函数C．为增函数 D．为减函数【答案】D【详解】因为是幂函数，所以，即，又的图象经过点，所以，解得，所以，则为上的增函数，则，则函数的定义域为，所以非奇非偶函数，且为上的减函数.故选：D.【变式1-1】.已知幂函数的图象过点，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】设，由的图象过点，则，解得，所以，故选：A【变式1-2】.已知幂函数fx满足，求的值（

）A．3 B． C．4 D．【答案】D【详解】设幂函数的解析式为，，所以.故选：D【变式1-3】.已知幂函数的图象过点(1)求函数的解析式;(2)用定义证明函数在区间上单调递减；(3)求不等式的解集.【答案】(1)(2)证明见解析(3)【详解】（1）设，将代入上式得.（2）任取，由于，所以，所以函数在区间上单调递减.（3）的定义域为，所以是奇函数，由（2）可知函数在区间上单调递减，所以在上单调递减.由得，，所以不等式的解集为.【考点题型二】幂函数的图像【例2】.已知是整数，幂函数在上单调递增．(1)求的解析式；(2)若，画出函数的大致图象；(3)图象写出的单调区间.【答案】(1)(2)作图见解析(3)单调减区间为，，单调增区间为，【详解】（1）由题意可知，，即，因为是整数，所以，或，当时，，当时，，综上可知，的解析式为.（2）由（1）知，则，函数的图象如图所示，（3）由（2）可知，的单调减区间为，，单调增区间为，.根据【变式2-1】.已知幂函数的图象与x轴没有公共点，则（

）A． B． C．1 D．或1【答案】B【详解】∵是幂函数，∴，解得或，当时，，图象与x轴有公共点，不合题意；当时，，图象与x轴没有公共点，符合题意，综上，.故选：B.【变式2-2】.已知幂函数的图象不过原点，且关于轴对称，则（

）A． B． C．或 D．【答案】A【详解】由题意得，，解得或．当时，，满足题意；当时，，其图象关于原点中心对称，不满足题意．故选：A．【变式2-3】.已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】设，将代入得，解得，故，其定义域为，由幂函数的常见函数图象可知，C正确.故选：C【变式2-4】.若幂函数的大致图象如图所示，则（

）

A． B． C． D．【答案】A【详解】根据幂函数定义可知，，解得或，当时，，当，，由图可知不合题意，所以，故选：A.【考点题型三】幂函数的单调性及应用【例3】.已知幂函数在上单调递增，且其图象经过点．(1)求的解析式；(2)若，用定义法证明：函数在上单调递增．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）由幂函数的定义可知，，解得，由幂函数在0,+∞上单调递增，可得，所以．（2）证明：由的图象经过点，得，所以．则．对，且，则有，因为，所以，，所以．因为，所以，所以，则，故函数在上单调递增．【变式3-1】.“”是“幂函数在上是减函数”的一个（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立；若幂函数在上是减函数，则，解得或，故必要性不成立，因此""是"幂函数在上是减函数"的一个充分不必要条件.故选：B【变式3-2】.已知幂函数，满足，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为是幂函数，所以，因此，所以是定义在上的增函数，又因为，所以，解得，故选：A.【变式3-3】.已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由函数在上单调递增，且，则，由函数在上单调递增，且，则，所以，即.故选：A.【变式3-4】.已知幂函数在上单调递减，则不等式的解集是【答案】【详解】因为是幂函数，所以，解得或.又因为在上单调递减，所以，解得，则.由，解得，所以不等式的解集是.故答案为：【变式3-5】.已知函数为幂函数，且在上单调递减．(1)求的值；(2)若函数，且，判断的单调性，并证明．【答案】(1)1(2)在区间单调递增，证明见解析【详解】（1）由题意知，解得：或2，当时，幂函数，此时幂函数在上单调递减，符合题意；

当时，幂函数，此时幂函数在上单调递增，不符合题意；所以的值为1．（2），在区间单调递增．

证明如下：任取，则，

由可得：，，则，即，

故在区间单调递增．【考点题型四】幂函数的奇偶性【例4】.已知幂函数是奇函数．(1)求的解析式；(2)根据定义证明函数在上单调递增．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）由题意得，得或．当时，是偶函数，不符合题意；当时，是奇函数，符合题意．故fx（2）由题意得，且，．由，得，得，所以，即．故在上单调递增．【变式4-1】.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】根据幂函数奇偶性知和为奇函数，故BD错误；对C，，当时，，此时单调递增，故C错误；对A，根据幂函数的性质知其为偶函数且在上单调递减，故A正确.故选：A.【变式4-2】.已知幂函数是定义域上的奇函数，则（

）A． B． C． D．或【答案】D【详解】因为函数是幂函数，∴，解得或，当时，是奇函数，满足题意；当时，是奇函数，满足题意;∴或.故选：D.【变式4-3】.幂函数，，都有成立，则下列说法正确的是（

）A． B．或C．是奇函数 D．是偶函数【答案】C【详解】因为是幂函数，所以，解得或，因为，都有成立，所以该函数在是减函数，所以，即，定义域为，则，所以是奇函数，故A、B错误，选项C正确，选项D错误，故选：C.【变式4-4】.已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为.【答案】【详解】因函数是幂函数，则，解得或，当时，是偶函数，其图象关于y轴对称，与已知的图象关于原点对称矛盾，当时，是奇函数，其图象关于原点对称，于是得，不等式化为：，而是偶函数且它在上单调递增，所以在上单调递减，即，所以实数a的取值范围为.故答案为：【变式4-5】.已知幂函数为奇函数，.(1)若，求；(2)已知，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.【答案】(1)(2).【详解】（1）对于幂函数，得，解得或，当时，不是奇函数，舍去，当时，是奇函数，满足题意.∴，∵，∴.（2）关于的不等式在上恒成立，即在上恒成立，令，下面先研究函数的单调性，不妨设，则，∵，∴，，，∴，即，故在上单调递增，∴，由题意，，解得，所以的取值范围是.【变式4-6】.已知幂函数是非奇非偶函数.(1)求函数的解析式；(2)已知是定义在上的奇函数，当时，.（ⅰ）求函数的解析式；（ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）【详解】（1）由题知，，即，即，解得或，当时，，是非奇非偶函数，当时，，是偶函数，所以的解析式是.（2）当时，，（ⅰ）设，则，所以，又为奇函数，所以，所以当时，.即.（ⅱ）作函数的图像如图所示，要使在上单调递增，结合的图象知，所以，所以的取值范围是.一、单选题1．已知幂函数在上单调递增，函数时，总存在使得，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由已知，得或．当时，，当时，．又y=fx在0,+∞单调递增，∴fx在上的值域为在上的值域为，因为函数时，总存在使得，是的子集，，即．故选：B．2．下列关于幂函数的描述中，正确的是（

）A．幂函数的图象都经过点和；B．幂函数的图象不经过第三象限；C．若幂函数的图象过点，则它的图象也经过点.D．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数；【答案】D【详解】选项A，当时，幂函数不过原点，故A错误；选项B，当时，幂函数过第三象限，故B错误；选项C，若幂函数的图象过点，则，所以幂函数为，当时，此时，故C错误.选项D，当，幂函数为，在定义域单调递增，当，幂函数为，在定义域单调递增，当，幂函数为，在定义域单调递增，故D正确；故选：D3．若幂函数的图象关于原点对称，则（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】D【详解】因为是幂函数，所以，解得或,当时，的图象关于原点对称，符合题意；当时，的图象关于轴对称，不符合题意.故选：D.4．已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．或C．或 D．【答案】B【详解】的定义域为R，函数为奇函数且为增函数，又，故，则，即，解得或.故选：B5．已知函数是幂函数，