第四章 对数与对数函数（解析 版）

第四章对数与对数函数对数的运算对数的图像对数比较大小对数函数的性质对数函数的综合应用一．对数的运算（共9小题）1．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明《增广贤文》是勉励人们专心学习的.

假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是.

一年后“进步者”是“退步者”的倍.

照此计算，大约经过（

）天，“进步者”是“退步者”的倍（近似取计算）.A．33 B．35 C．37 D．39【答案】B【详解】设经过天后“进步者”是“退步者”的倍，则.故，根据已知条件有，所以（天）.故选：B.2．经调查发现，一杯热茶的热量会随时间的增大而减少，它们之间的关系为，其中，且．若一杯热茶经过时间，热量由减少到，再经过时间，热量由减少到，则（

）A．2 B．1 C． D．【答案】A【详解】当时，，当时，，故；当时，，故，所以．故选：A．2．（多选）下列运算中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【详解】对于A：，故A正确；对于B，负数的3次方根是一个负数，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，是非负数，所以，故D正确；故选：AD．3．（多选）若，则（

）A． B． C． D．【答案】ABD【详解】由，得，对于A，，A正确；对于B，，B正确；对于CD，，，C错误，D正确.故选：ABD4．我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离．但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当纸张的厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为，厚度为的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为，厚度变为．在理想情况下，对折次数有下列关系：（注：，，），根据以上信息，一张长边长为，厚度为的纸最多能对折次.【答案】8【详解】由题意，因为，所以的最大值为．故答案为：.5．已知，则．（用的代数式子表示）【答案】【详解】由，，则．故答案为：．6．计算的值为.【答案】【详解】原式.故答案为：87．设函数，则.【答案】【详解】，，由，得.故答案为：.8．．【答案】【详解】.故答案为：.9．（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【详解】．故选：B.二．对数的图像（共5小题）10．已知函数且的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由于对数函数的图像恒过定点，故有，解得，从而的坐标为.由于也在上，得，解得，所以.因为,故.故选：A.11.已知，若，，则的最小值为.【答案】【详解】因为，若，，可知，则，可得，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.12．已知，是函数的图象上两个不同的点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】如图，设Ax1,y1点在函数图象上，且轴，则，由图可知点在的左侧，即.故选：B13．函数的部分图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】函数的定义域为，且，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B、D；又，故排除C.故选：A14．已知函数，若，，则（

）A．25 B．20 C．10 D．5【答案】C【详解】由题意，函数y=fx根据，且，结合函数图像可得，，根据二次函数图象的对称性得，即；当时，，当时，；由，得，即，解得，即，所以，故选：C三．对数比较大小（共7小题）15．已知，，，则有（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为对数函数、均为上的增函数，则，即.故选：B.16．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，，，则.故选：B.17．设，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】如图所示：，而，所以.故选：A18．设，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为，，，所以.故选：D.19．已知偶函数在上单调递减，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为函数是偶函数，所以又由，，所以，又因为在上单调递减，所以在上为增函数，所以故选：D.20．设，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由指数函数性质可知，，由对数函数性质可知，又因为，所以，即.综上可得：.故选：B.21．若，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为函数在上为增函数，所以，即，因为函数在上为减函数，所以，即，所以.故选：D.四．对数函数的性质（共6小题）22．使式子有意义的的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可得：，解得：且，所以的取值范围是，故选：D23．已知满足对于任意不相等的实数、都有成立，则实数的取值范围是.【答案】【详解】不妨取，由可得，所以，函数在R上为减函数，且，则，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.24．函数的定义域为【答案】【详解】函数有意义，则，解得且，所以所求定义域为.故答案为：25．已知函数为上的偶函数，对任意，当时，均有成立，若，则实数的取值范围为．【答案】或【详解】由任意，均有成立，得在上单调递减，又函数为R上的偶函数，则在上单调递增，不等式，则，即或，解得或，所以实数的取值范围为或.故答案为：或26．已知全集为R，集合

集合

B=.(1)求集合A，B及A∩B:(2)若C={}，且满足A∪C=A，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，指数函数是单调递增函数.所以.解为，即.

因为，对数函数是单调递增函数.所以，解得，即.

则.（2）对于集合，可得，即.因为，所以.则有.解第一个不等式，得.解第二个不等式，得.所以的取值范围是.27．已知函数．(1)求不等式的解集；(2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由，可得，解得，因此，不等式的解集为.（2）因为，令，由可得，可得，由对勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，由题意可得，因此，实数的取值范围是.五．对数函数的综合应用（共7小题）28．已知函数，则关于的不等式解集为__________.【答案】或，【详解】因为，由可得或，即函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，任取､，且，则，，，令，则，即，所以，函数在上为增函数，又因为函数在上为增函数，所以，函数在上为增函数，又因为函数在上为增函数，故函数在上为增函数，由可得，可得，解得或，29．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】二次函数的对称轴为，且开口向下，因为函数是正实数集上的增函数，又函数在区间上单调递减，则在区间上单调递减，且恒成立，只需满足，故选：C.30．（多选）设函数，若，则（

）A．B．C．的最小值为6D．【答案】ABD【详解】函数的定义域为，由，得，则，由，得，即，因此，，，AB正确；对于C，函数在上单调递增，则，C错误；对于D，函数在上单调递增，则，当时，在上单调递增，因此，D正确.故选：ABD31．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．B．若，则是增函数C．存在实数a，使得为偶函数D．若的值域为，则a的取值范围为【答案】ABD【详解】，A正确；若，由复合函数单调性可知，在定义域内是增函数，B正确；函数有意义，则，无论为何值，函数定义域不可能关于原点对称，即不存在实数a，使得为偶函数，C错误；若的值域为，则要取遍所有正数，得或，解得，D正确．故选：ABD32．己知函数在上是增函数，则实数a的取值范围是【答案】【详解】因为函数在上是增函数，则设，所以在上是减函数，且恒成立，所以，解得所以实数的取值范围是.故答案为：.33．设函数，若，则.【答案】5【详解】设，，则，所以，则，所以函数为奇函数，则，即，则，即.故答案为：5.34．已知函数是偶函数.(1)求的值；(2)求函数的最小值；(3)若方程有实数根，求的取值范围.【答案】(1)；(2)；(3).【详解】（1）函数定义域为R，由函数为偶函数，得，即，整理得，解得，所以.（2）由（1）知，，令函数，任意，，由，得，则，即，函数在上单调递增，而函数在上单调递增，因此函数在上单调递增，又是偶函数，则在上单调递减，所以当时，取得最小值.（3）依题意，方程有实数根，令，则函数的图象与直线有交点，而，又恒成立，则恒成立，，所以的取值范围为.35．已知且.(1)判断并证明函数的奇偶性；(2)令，写出的单调区间（只需写出结论）；(3)在（2）的条件下，问：是否存在实数，且，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】(1)为奇函数，证明见解析(2)答案见解析(3)【详解】（1）为奇函数.证明如下：由，得或，即函数的定义域为，关于原点对称，，所以为奇函数.（2）由题意知，由，解得或，即的定义域为，又函数在上单调递增，当时，在上单调递减，此时的减区间为，无增区间；当时，在上单调递增，此时的增区间为，无减区间.（3）由，，得，又，得，所以.所以在上单调递减，则在上的值域为，得，即，所以是方程即在的两个不同的根，则，解得.所以存在满足题意的，此时a的取值范围为.36．已知函数是偶函数，其中为实数.(1)求的值；(2)若函数，是否存在实数，使得的最小值为0？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)存在.【详解】（1）因函数（）是偶函数，故，因x∈R且不恒为0，故，得.（2）由（1），得，则，设，因，则，，其对称轴为，①当时，在区间上单调递减，则，解得，不符题意，舍去；②当时，在区间上先减后增，故，解得，故；③当时，在区间上单调递增，则，解得，不符题意，舍去.故存在，使得的最小值为0.37．已知函数，，.(1)解不等式；(2)设不等式的解集为集合，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由已知，则，解得，所以，且，即，所以，即，即，解得，综上所述不等式的解集为；（2）由（1）得，又，设函数在的值域为，又若对任意，存在，使得，则，设，，则，又函数在上单调递增，即，此时函数即为，，对称轴为，当，即时，在上单调递增，即，即，又，所以，解得；当，即时，在时取最小值为，在时取最大值为，即，由，可得，解得，不满足，所以不成立；当，即时，在时取最小值为，在时取最大值为，即，由，可得，解得，不满足，所以不成立；当，即时，在上单调递减，即，由，可得，不等式无解，所以不成立；综上所述，即.39．设，且．(1)求的值及的定义域；(2)求在区间上的最值.【答案】(1)，定义域为(2)最大值为，最小值为.【详解】（1）因为，且，所以，即，解得.故,令，解得,故的定义域为.（2）因为，，又，在上单调递增，在上单调递减，在定义域上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，又，，，所以在区间上的最大值为，最小值为.40．已知函数.(1)当，时，求函数的值域；(2)当时，若方程有两个不相等的实根，，且.①求t的取值范围；②证明：.【答案】(1)(2)①；②证明见解析【详解】（1）当，时，，令，则，则，即，故函数的值域为1,+∞；（2）当时，，①因为有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根，，即，设，即与有两个不同的交点，其中当时，单调递减，当时，单调递增，其中，当时，，结合图像可知；

②由①可知，所以，，且满足，，即.又，所以，因为，所以，，故.即证出41．已知函数为奇函数，其中为自然对数的底数.(1)求实数的值，并用定义证明函数的单调性；(2)解不等式；(3)已知函数ℎx与的图象关于点对称，设函数，若对，总，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)，证明见解析(2)(3)【详解】（1）因为的定义域为R且函数为奇函数，所以，因为，所以是奇函数，符合题意，故成立；，该函数是实数集上的增函数，理由如下：设是任意两个实数，且，则有，因为，所以，所以，所以函数是实数集上的增函