5.5.2 简单的三角恒等变换同步练习-高中数学人教A版（2019）必修第一册

5.5.2简单的三角恒等变换一、必备知识基础练1.[探究点一(角度1)]已知α为第一象限角,且tanα=43,则sinαA.55 B.-C.±55 D.2.[探究点三](多选题)已知函数f(x)=sinxcosx+sin2x,则下列说法正确的是()A.f(x)的最大值为2B.f(x)的最小正周期为πC.f(x)的图象关于直线x=-π8D.f(x)在0,3.[探究点一(角度1)]已知180°<α<270°,且sin(α+270°)=45,则sinα2=,tanα24.[探究点二]若cosπ4+θcosπ4-θ=14,则sin5.[探究点一(角度2)]证明:2sinxcosx(二、关键能力提升练6.若函数f(x)=(1+3tanx)cosx,则fπ12A.6-22 BC.1 D.27.若3π<x<4π,则1+cosx2A.2cosπ4−x2 B.C.2sinπ4−x2 D.8.设函数f(x)=2cos2x+3sin2x+a(a为实常数)在区间0,A.4 B.-6C.-4 D.-39.已知等腰三角形的顶角的余弦值等于725A.34 B.C.12 D.10.若cosθ=-725,θ∈(π,2π),则sinθ2+cosθ2=,sinθ2-cos11.已知sinα=1213,sin(α+β)=45,α,β均为锐角,求cosβ12.已知sinA+sinB+sinC=0,cosA+cosB+cosC=0,求证:cos2A+cos2B+cos2C=32参考答案一、必备知识基础练1.C解析因为α为第一象限角,且tanα=43,所以cosα=3而α2是第一或第三象限角当α2是第一象限角时,sinα当α2是第三象限角时,sinα2=-1-cosα2=-52.BCD解析∵f(x)=12sin2x+1-cos2x2=∴f(x)max=22+12当x=-π8时,sin2x∴直线x=-π8为f(x)图象的对称轴当x∈0,π4∴f(x)在0,π综上B,C,D正确,A不正确.3.31010-3解析∵sin(α+270°)=-cosα=∴cosα=-45又90°<α2∴sinα2=1-cosα2=1+4.58解析cosπ4=cosπ4+θ·=12sin2π4=12cos2θ=1∴cos2θ=12∴sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-12sin22θ=1-12(1-cos22=1-125.证明左边=2sinxcosx2sin=sinx2sin2所以原等式成立.二、关键能力提升练6.D解析∵f(x)=1+3·sinxcosxcosx=cosx+∴fπ12=2sinπ12+7.C解析因为3π<x<4π,所以3π2<x2<2π,sin于是1+cosx2+1-cosx2=cos=222cosx8.C解析f(x)=2cos2x+3sin2x+a=1+cos2x+3sin2x+a=2sin2x+π6当x∈0,π2∴f(x)min=2·-12+a+1=-4,∴9.B解析设等腰三角形的顶角为α,底角为β,则cosα=725又β=π2−α2,即cosβ=cos10.1575解析因为θ∈(π,2所以sinθ2=1-cosθ2=所以sinθ2+cosθ2=1511.解∵0<α<π2,∴cosα=1∵0<α<π2,0<β<π2,∴0<α+β<若0<α+β<π2,∵sin(α+β)<sinα,∴α+β<α∴β<0,与已知矛盾,∴π2<α+β<π,∴cos(α+β)=-3∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-35∵0<β<π2,∴0<β∴cosβ212.证明由已知,得sinA+sinB=-sinC,①cosA+cosB=-cosC.②和差化积,得2sinA+B2cosA-B2cosA+B2cosA-B∵当cosA-∴cosA-B2③÷④,得t