湖南省永州市双牌县二中2026届高二数学第一学期期末考试试题含解析

湖南省永州市双牌县二中2026届高二数学第一学期期末考试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，直线：，：，且，则的最小值为（）A.2 B.4C.8 D.92．已知，，，，则下列不等关系正确的是()A. B.C. D.3．若两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为（）A. B.C. D.4．双曲线的离心率是，则双曲线的渐近线方程是（）A. B.C. D.5．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为A. B.C.2 D.6．平行六面体的各棱长均相等，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.7．已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为（）A. B.C. D.8．某地为响应总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得角∠A＝23°，∠C＝120°，米，则A，B间的直线距离约为（参考数据）（）A.60米 B.120米C.150米 D.300米9．下图称为弦图，是我国古代三国时期赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，我们新教材中利用该图作为“（）”的几何解释A.如果，，那么B.如果，那么C.对任意实数和，有，当且仅当时等号成立D.如果，那么10．已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，设D在直线AB上，且，设C(λ，＋λ，1＋λ)，若CD⊥AB，则λ的值为()A. B.－C. D.11．设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点.若，则的最小值为（）A. B.C.4 D.512．若等差数列的前项和为，首项，，，则满足成立的最大正整数是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为___________.14．由曲线围成的图形的面积为________15．曲线在处的切线方程为______16．已知抛物线的焦点坐标为，则该抛物线上一点到焦点的距离的取值范围是___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设数列是公比为q的等比数列，其前n项和为（1）若，，求数列的前n项和；（2）若，，成等差数列，求q的值并证明：存在互不相同的正整数m，n，p，使得，，成等差数列；（3）若存在正整数，使得数列，，…，在删去以后按原来的顺序所得到的数列是等差数列，求所有数对所构成的集合，18．（12分）已知函数的图像为曲线，点、.（1）设点为曲线上在第一象限内的任意一点，求线段的长（用表示）；（2）设点为曲线上任意一点，求证：为常数；（3）由（2）可知，曲线为双曲线，请研究双曲线的性质（从对称性、顶点、渐近线、离心率四个角度进行研究）.19．（12分）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，直线与平面ABCD所成角的正弦值为.E，F分别为、的中点.（1）求证：平面BED；（2）求直线与平面FAC所成角的正弦值.20．（12分）已知数列为等差数列，为其前n项和，若，（1）求数列的首项和公差；（2）求的最小值.21．（12分）已知函数，其中为常数，且（1）求证：时，；（2）已知a，b，p，q为正实数，满足，比较与的大小关系.22．（10分）已知椭圆的离心率为，右焦点为,斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.（1）求椭圆的方程；（2）求的面积.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由，可求得，再由，利用基本不等式求出最小值即可.【详解】因为，所以，即，因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8.故选：C.【点睛】本题考查垂直直线的性质，考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.2、C【解析】不等式性质相关的题型，可以通过举反例的方式判断正误.【详解】若、均为负数，因为，则，故A错.若、，则，故B错.由不等式的性质可知，因为，所以，故C对.若，因为，所以，故D错.故选：C.3、D【解析】以点A为坐标原点，射线AB为x轴的非负半轴建立直角坐标系，求出点M的轨迹方程即可计算得解.【详解】以点A为坐标原点，射线AB为x轴的非负半轴建立直角坐标系，如图，设点，则，化简并整理得：，于是得点M的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，其面积为，所以M点的轨迹围成区域的面积为.故选：D4、B【解析】利用双曲线的离心率，以及渐近线中，关系，结合找关系即可【详解】解：，又因为在双曲线中，，所以，故，所以双曲线的渐近线方程为，故选：B5、A【解析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，为圆心，又点在圆上，，即，故选A【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来6、B【解析】利用基底向量表示出向量，，即可根据向量夹角公式求出【详解】如图所示：不妨设棱长为1，，，所以＝＝，，，即，故异面直线与所成角的余弦值为故选：B注意事项：1.将答案写在答题卡上2.本卷共10小题，共80分.7、C【解析】当平面时，三棱锥体积最大，根据棱长与球半径关系即可求出球半径，从而求出表面积.【详解】当平面时，三棱锥体积最大.又，则三棱锥体积，解得；故表面积.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查三棱锥与球的组合体的综合问题，本题的关键是判断当平面时，三棱锥体积最大.8、C【解析】应用正弦定理有，结合已知条件即可求A，B间的直线距离.【详解】由题设，，在△中，，即，所以米.故选：C9、C【解析】设图中直角三角形边长分别为a，b，则斜边为，则可表示出阴影面积和正方形面积，根据图象关系，可得即可得答案.【详解】设图中全等的直角三角形的边长分别为a，b，则斜边为，如图所示：则四个直角三角形的面积为，正方形的面积为，由图象可得，四个直角三角形面积之和小于等于正方形的面积，所以，当且仅当时等号成立，所以对任意实数和，有，当且仅当时等号成立.故选：C10、B【解析】设D(x，y，z)，根据求出D(，，0)，再根据CD⊥AB得·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，解方程即得λ的值.【详解】设D(x，y，z)，则＝(x＋1，y－1，z－2)，＝(2，－1，－3)，＝(1－x，－y，－1－z)，∵＝2，∴∴∴D(，，0)，＝(－λ，－λ，－1－λ)，∵⊥，∴·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－故选：B【点睛】(1)本题主要考查向量的线性运算和空间向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2).11、C【解析】作出图形，过点作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义得，从而得出，再由、、三点共线时，取最小值得解.【详解】，所以在抛物线的内部，过点作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义得，，当且仅当、、三点共线时，等号成立，因此，的最小值为.故选：C.12、B【解析】由等差数列的，及得数列是递减的数列，因此可确定，然后利用等差数列的性质求前项和，确定和的正负【详解】∵，∴和异号，又数列是等差数列，首项，∴是递减的数列，，由，所以，，∴满足的最大自然数为4040故选：B【点睛】关键点睛：本题求满足的最大正整数的值，关键就是求出，时成立的的值，解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、12【解析】求出，利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可得答案.【详解】由得，设，，由抛物线性质，与轴的交点即为抛物线的焦点，，，，所以，所以该光线经过的路程为12.故答案为：12.14、【解析】曲线围成的图形关于轴，轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可.【详解】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于关于轴，轴对称，因此只需求出第一象限的面积即可.当，时，曲线可化为：，在第一象限为弓形，其面积为，故.故答案为：.15、【解析】求得的导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得切线方程【详解】解：的导数为，可得曲线在处的切线斜率为，切点为，即有切线方程为故答案为【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，直线方程的运用，考查方程思想，属于基础题16、【解析】根据题意，求得，得到焦点坐标，结合抛物线的定义，得到，根据，求得，即可求解.【详解】由抛物线的焦点坐标为，可得，解得，设抛物线上的任意一点为，焦点为，由抛物线的定义可得，因为，所以，所以抛物线上一点到焦点的距离的取值范围是.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）,证明见解析.（3）不存在，【解析】（1）数列为首项为公差为的等差数列，利用等差数列的求和公式即可得出结果；（2），，成等差数列，则+=2，根据等比数列求和公式计算可解得，进而计算可得，即可判断结果；（3）由题意列出，，…，,,,,,…，在删去以后,按原来的顺序所得到的数列是等差数列,则，解方程组可得无解，则所有数对所构成的集合为.【小问1详解】，，数列是公比为q的等比数列，，数列为，数列为首项为公差为的等差数列，数列的前n项和.【小问2详解】，，成等差数列，+=2，当时,+=,2,不符题意舍去，当时，.,即，，，（舍）或即，存在互不相同的正整数，使得，，成等差数列，，，.【小问3详解】由题意列出，，…，,,,,,…，在删去以后,按原来的顺序所得到的数列是等差数列,则，,即，解得：方程组无解.即符合条件的不存在，所有数对所构成的集合为.18、（1）；（2）具体见解析；（3）具体见解析.【解析】（1）由两点间的距离公式求出距离，进而将式子化简即可；（2）求出，进而讨论两种情况，然后结合基本不等式即可证明问题；（3）根据为双曲线的焦点，结合双曲线的图形特征即可求得该双曲线的相关性质.【小问1详解】由题意，.【小问2详解】设，由（1），.若x>0，则，当且仅当时取“=”，则，，所以.若x<0，则，当且仅当时取“=”，则，，所以.综上：，为常数.【小问3详解】易知函数：为奇函数，则其图象关于原点对称.由（2）可知，曲线为双曲线，为双曲线的焦点，则它关于直线对称，还关于与垂直且过原点的直线对称.，则，易得.综上：双曲线关于原点（0,0）对称，且关于直线对称.容易知道，直线是双曲线C的渐近线.易知线段是双曲线的实轴，将代入双曲线解得顶点：.于是实轴长为焦距为，则离心率.19、（1）证明见解析（2）【解析】（1）证明垂直于平面BED内的两条相交直线，即可得到答案；（2）分别以OB，OC，OE为x轴，y轴，z轴，建立直角坐标系，平面FAC的一个法向量为，代入向量的夹角公式，即可得到答案；【小问1详解】∵ABCD为菱形，∴，设AC与BD的交点为O，则OE为的中位线，∴.由题意得平面ABCD，∴平面ABCD，而AC平面ABCD中，∴.又，∴平面BED.小问2详解】∵ABCD为菱形，，∴为正三角形，∴.∵平面ABCD，∴与平面ABCD所成角，由，得，所以.如图，分别以OB，OC，OE为x轴，y轴，z轴，建立直角坐标系，则，，，，，，，设平面FAC的法向量为，则由可得，取，故可得平面FAC的一个法向量为，记直线与平面FAC的夹角为，则20、（1）首项为-2，公差为1；（2）.【解析】(1)设出等差数列的公差，再结合前n项和公式列式计算作答.(2)由(1)的结论，探求数列的性质即可推理计算作答.【小问1详解】设等差数列首项为，公差为，而为其前n项和，，，于是得：，解得，，所以，.【小问2详解】由(1)知，，，，数列是递增数列，前3项均为非正数，从第4项起为正数，而，于是得的前2项和与前3项和相等并且最小，所以当或时，.21、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据导数判断出函数的单调性求出其最大值，即可证出；（2）由（1）知：，再变形即可得出小问1详解】因为，∴在上单调递减，又因，故当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.【小问2详解】由（1）知：，两边同乘以a得：，∴，即.22、（1）（2）【解析】（1）根据椭圆的简单几何性质知，又，写出椭圆的方程；（2）先斜截式设出直线，联立方程组，根据直线与圆锥曲线的位置关系，可得出中点为的坐标，再根据△为等腰三角形知，从而得的斜率为，求出，写出：，并计算，再根据点到直线距离公式求高，即可计算出面积【详解】（1）由已知得