2025-2026学年 1.3正方形的性质与判定 同步练习北师大版数学九年级上学期（含答案）

/1.3正方形的性质与判定同步练习2025-2026学年北师大版数学九年级上册一、选择题正方形具有而矩形没有的性质是   A．对角线互相平分 B．对边相等 C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角在四边形ABCD中，∠A=∠B A．∠D=90∘ B．AB=CD C．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是 A．2 B．52 C．323 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，EA平分∠BEF，AG⊥EF，垂足为点G，则∠ A．45∘ B．30∘ C．60∘ 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=CF．连接AE，BF，AE与BF交于点G．下列结论错误的是 A．AE=BF B． C．∠AEB+∠BFC=90如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE=5，折痕为PQ，则PQ的长为   A．12 B．13 C．14 D．15正方形ABCD中，点E，F分别在CD，BC边上，△AEF是等边三角形．以下结论：①EC=FC；②∠AED=75∘；③CF A．1 B．2 C．3 D．4如图，点E在正方形ABCD外，连接AE，BE，DE，过点A作AE的垂线交DE于点F．若AE=AF=2， A．△AFD≌△AEB B．点B到直线 C．EB⊥ED D．二、填空题正方形边长为6，则对角线的长为．如图，以BC为边在正方形内部ABCD内部作等边△PBC，连接AP，DP，则∠PAD=如图：在正方形ABCD中，AD=1，将△ABD绕点B顺时针旋转得到△AʹBDʹ，此时AʹDʹ如图所示，在正方形ABCD中，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，连接CE，BD交于点G，连接AG，那么∠AGD是如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，对角线长为1 cm，过点O任作一条直线分别交AD，BC于E，F，则阴影部分的面积是如图，正方形ABCD的周长为8，点E，F分别在边AD，CD上，若∠EBF=45∘，则如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC+PE三、解答题如图，正方形ABCD中，E为AD上一点，AE=1，将BE绕点E顺时针旋转90∘得到EF，连接BF，(1)∠EFB=(2)求FD的长．如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C，D不重合)，以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H．(1)求证：①△BCG≌△(2)试问当点G运动到什么位置时，BH垂直平分DE？请说明理由．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G(1)证明：△ABG(2)求BG的长．(3)求△FGC如图①，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E是AC上一点，且AE=AD，连接BE，作EH⊥(1)求∠OBE(2)若AB=4cm，求(3)如图②，将△BCD绕点C逆时针旋转，使点D落在AC上的点P处，点B落在点Q处，连接BQ，QE，判断△

答案一、选择题（共8题）1.【答案】D【解析】A．正方形和矩形对角线都互相平分，故A不符合题意．B．正方形和矩形的对边都相等，故B不符合题意．C．正方形和矩形对角线都相等，故C不符合题意．D．正方形对角线平分对角，而矩形对角线不一定平分对角，故D符合题意．2.【答案】C【解析】由∠A3.【答案】D【解析】如图，连接AC，CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE∴AC=2，CF=3∴∠ACF由勾股定理得：AF=∵H是AF的中点，∴CH=4.【答案】A【解析】∵EA平分∠BEF，且AB⊥∴AB在Rt△ABE和Rt△∴Rt∴∠BAE∵AB∴AD∴在Rt△AGF和Rt△∴Rt∴∠GAF∵∠BAE∴∠EAG∴∠EAF5.【答案】C【解析】∵正方形ABCD中，∴∠ABE=∠BCF在△ABE与△AB=∴△ABE∴AE=BF，∠∵∠DAE+∠BAE∴∠DAE=∠BFC∴AE∠AEB=∠BFC故选：C．6.【答案】B【解析】方法一：如图1，作QF⊥则QF=易证△ADE∴QP方法二：如图2，过B点作FB∥可证四边形PFBQ为平行四边形，FB=可证△ADE∴AE∵AE∴PQ7.【答案】C【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD∵△AEF∴AE=AF∵AD=AB∴△ABF∴BF∴BC∴CE∵∠AED∴∠AED∵CE=CF∴EF=2∴AF∴CF∵AE=AF∴AC垂直平分EF8.【答案】B【解析】在正方形ABCD中，AB=∵AF∴∠BAE又∵∠DAF∴∠BAE在△AFD和△AE=∴△AFD∵AE=AF∴△AEF∴∠AEF∴∠AEB∴∠BEF∴EB∵AE∴FE在Rt△FBE中，BE=∴S故D正确；过点B作BP⊥AE交AE的延长线于∵∠BEP∴△BEP∴BP即点B到直线AE的距离为3，故B错误．二、填空题（共7题）9.【答案】62【解析】∵正方形边长为6，∴对角线长为62故答案为：6210.【答案】15°【解析】∵在正方形ABCD中△PBC∴AB=PB∴∠PBA∵AB∴∠PAB∴∠DAP11.【答案】2−2【解析】依题可知△BAD≌△CDʹ=CE=12.【答案】60【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=AD=CD∵GD∴△ADG∴∠AGD∵∠CGD∴∠AGD∵△ABE∴AB=BE∴BE=BC∴∠BEC∴∠BGE∴∠AGD13.【答案】18【解析】∵AC，BD是正方形ABCD∴AO∴AD∴∠OAE∵∠AOE=∠COF，AO∴△AOE即S△∵四边形ABCD是正方形，O为正方形ABCD对角线交点，∴S又S△∴S14.【答案】4【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC∴把△ABE绕点B顺时针旋转90∘可得到如图，∴BG=BE，CG=AE∴点G在DC的延长线上，∵∠EBF∴∠FBG∴∠FBG在△FBG和△BF=BF，∠FBG∴△FBG∴FG=EF∴EF∴△DEF的周长=15.【答案】4【解析】连接AC．∵正方形ABCD，∴AC⊥BD∴C，A关于BD即C关于BD的对称点是A，连接AE交BD于P，则此时EP+∵C，A关于BD∴CP∴EP∵等边三角形ABE，∴EP∵正方形ABCD的面积为16，∴AB∴EP三、解答题（共4题）16.【答案】(1)45(2)过F作FG⊥ED交EO的延长线于G，则∵正方形ABCD，∴∠A=90∴∠AEB+∠ABE∵∠BEF∴∠AEB∴∠ABE在△ABE和△∠A∴△ABE∴AE=GF∴AD∴AD∴AE∵AE∴GF∴FD【解析】(1)∵BE绕点E顺时针旋转90∘得到∴BE=EF∴∠EFB∴∠EFB17.【答案】(1)在正方形ABCD中，∠BCG=90在正方形GCEF中，∠DCE=90在△BCG和△DCE中，∴△BCG∴∠1=∠2，∵∠2+∠DEC∴∠1+∠DEC∴∠BHD∴BH(2)连接EG，∵BH垂直平分DE，∴EG设CG=∵CE=CG∴EG=2∵DGx+2x∴GC=2−1时，18.【答案】(1)∵△ADE沿AE对折至△∴△ADE∴AD=AF又∵ABCD∴AD=AB在Rt△ABG和Rt△AFG中，AB=∴△ABG(2)设BG=∵正方形ABCD中，AB=6∴AB∴CG又∵CD∴DE=2，又∵△ADE∴EF又∵△ABG∴BG∴EG∴在Rt△GCE中，GE2+x∴x∴BG(3)由（2）得GF=又∵EC=6−2=4，在Rt△EGC和△FGC中，h为△FGC底边