2026届黑龙江省宾县一中高二数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2026届黑龙江省宾县一中高二数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．从编号分别为,,,,的五个大小完全相同的小球中,随机取出三个小球,则恰有两个小球编号相邻的概率为()A. B.C. D.2．某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其售价进行调查，5家商场的售价（元）和销售量（件）之间的一组数据如表所示.按公式计算，与的回归直线方程是，则下列说法错误的是（）售价99.51010.511销售量1110865A.B.售价变量每增加1个单位时，销售变量大约减少3.2个单位C.当时，的估计值为12.8D.销售量与售价成正相关3．圆的圆心和半径分别是（）A.， B.，C.， D.，4．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为（）A.99 B.131C.139 D.1415．已知函数在处取得极小值，则（）A. B.C. D.6．圆与的公共弦长为（）A. B.C. D.7．已知集合，，则（）A. B.C. D.8．一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取2次，则在两次取得小球中，标号最大值是3的概率为（）A. B.C. D.9．直线的一个方向向量为，则它的斜率为（）A. B.C. D.10．已知直线与直线垂直，则a＝（）A.3 B.1或﹣3C.﹣1 D.3或﹣111．已知三棱锥，点分别为的中点，且，用表示，则等于()A. B.C. D.12．有一组样本数据、、、，由这组数据得到新样本数据、、、，其中，为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本标准差相同C.两组样本数据的样本中位数相同 D.两组样本数据的样本众数相同二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知、是空间内两个单位向量，且，如果空间向量满足，且，，则对于任意的实数、，的最小值为______14．某人有楼房一栋，室内面积共计，拟分割成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为，可住游客4名，每名游客每天的住宿费100元；小房间每间面积为，可住游客2名，每名游客每天的住宿费150元；装修大房间每间需要3万元，装修小房间每间需要2万元.如果他只能筹款25万元用于装修，且假定游客能住满客房，则该人一天能获得的住宿费的最大值为___________元.15．狄利克雷是十九世纪德国杰出的数学家，对数论、数学分析和数学物理有突出贡献.狄利克雷曾提出了“狄利克雷函数”.若，根据“狄利克雷函数”可求___________.16．已知抛物线的焦点到准线的距离为，则抛物线的标准方程为___________.（写出一个即可）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆，圆.（1）试判断圆C与圆M的位置关系，并说明理由；（2）若过点的直线l与圆C相切，求直线l的方程.18．（12分）有时候一些东西吃起来口味越好，对我们的身体越有害.下表给出了不同品牌的一些食品所含热量的百分比记为和一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价分数记为：食品品牌12345678910所含热量的百分比25342019262019241914百分制口味评价分数88898078757165626052参考数据：，，，参考公式：，（1）已知这些品牌食品的所含热量的百分比与美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价分数具有相关关系.试求出回归方程（最后结果精确到）；（2）某人只能接受食品所含热量百分比为及以下的食品.现在他想从这些食品中随机选取两种购买，求他所选取的两种食品至少有一种是美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价分数为分以上的概率.19．（12分）已知抛物线：，直线过定点.（1）若与仅有一个公共点，求直线的方程；（2）若与交于A，B两点，直线OA，OB（其中О为坐标原点）的斜率分别为，，试探究在，，，中，运算结果是否有为定值的？并说明理由.20．（12分）已知某中学高二物化生组合学生的数学与物理的水平测试成绩抽样统计如下表：若抽取了名学生，成绩分为A（优秀），B（良好），C（及格）三个等级，设，分别表示数学成绩与物理成绩，例如：表中物理成绩为A等级的共有（人），数学成绩为B等级且物理成绩为C等级的共有8人，已知与均为A等级的概率是0.07（1）设在该样本中，数学成绩的优秀率是30％，求，的值；（2）已知，，求数学成绩为A等级的人数比C等级的人数多的概率21．（12分）已知椭圆过点，且离心率.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点在椭圆上，且在第一象限内，点分别为椭圆的左、右顶点，直线分别与椭圆C交于点，过作直线的平行线与椭圆交于点，问直线是否过定点，若经过定点，求出该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由.22．（10分）如图，在直角梯形中，．直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使得平面平面．M为线段的中点，P为线段上的动点（1）求证：；（2）当点P满足时，求证：直线平面；（3）是否存在点P，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定P点的位置；若不存在，请说明理由

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】利用古典概型计算公式计算即可【详解】从编号分别为,,,,的五个大小完全相同的小球中,随机取出三个小球共有种不同的取法,恰好有两个小球编号相邻的有:,共有6种所以概率为故选:C2、D【解析】首先求出、，再根据回归直线方程必过样本中心点，即可求出，再根据回归直线方程的性质一一判断即可；【详解】解：因为，，与回归直线方程，恒过定点，，解得，故A正确，所以回归直线方程为，即售价变量每增加1个单位时，销售变量大约减少3.2个单位，故B正确；当时，即当时，的估计值为12.8，故C正确；因为回归直线方程为，所以销售量与售价成负相关，故D错误；故选：D3、D【解析】先化为标准方程，再求圆心半径即可.【详解】先化为标准方程可得，故圆心为，半径为.故选：D.4、D【解析】根据题中所给高阶等差数列定义，找出其一般规律即可求解.【详解】设该高阶等差数列的第8项为，根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得，则.故选：D5、A【解析】由导数与极值与最值的关系，列式求实数的值.【详解】由条件可知，，，解得：，，检验，时，当，得或，函数的单调递增区间是和，当，得，所以函数的单调递减区间是，所以当时，函数取得极小值，满足条件.所以.故选：A6、D【解析】已知两圆方程，可先让两圆方程作差，得到其公共弦的方程，然后再计算圆心到直线的距离，再结合勾股定理即可完成弦长的求解.【详解】已知圆，圆，两圆方程作差，得到其公共弦的方程为：：，而圆心到直线的距离为，圆的半径为，所以，所以.故选：D.7、B【解析】根据根式、分式的性质求定义域可得集合A，解一元二次不等式求集合B，再由集合的交运算求.【详解】∵，，∴故选：B8、C【解析】求出两次取球都没有取到3的概率，再利用对立事件的概率公式计算作答.【详解】依题意，每次取到标号为3的球的事件为A，则，且每次取球是相互独立的，在两次取得小球中，标号最大值是3的事件M，其对立事件是两次都没有取到标号为3的球的事件，，则有，所以在两次取得小球中，标号最大值是3的概率为.故选：C9、A【解析】根据的方向向量求得斜率.【详解】且是直线的方向向量，.故选：A10、D【解析】根据，得出关于的方程，即可求解实数的值.【详解】直线与直线垂直，所以，解得或.故选：D.11、D【解析】连接，利用，化简即可得到答案.【详解】连接，如下图.故选：D.12、B【解析】利用平均数公式可判断A选项；利用标准差公式可判断B选项；利用中位数的定义可判断C选项；利用众数的定义可判断D选项.【详解】对于A选项，设数据、、、的平均数为，数据、、、的平均数为，则，A错；对于B选项，设数据、、、的标准差为，数据、、、的标准差为，，B对；对于C选项，设数据、、、中位数为，数据、、、的中位数为，不妨设，则，若为奇数，则，；若为偶数，则，.综上，，C错；对于D选项，设数据、、、的众数为，则数据、、、的众数为，D错.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据已知可设，，，根据已知条件求出、、的值，将向量用坐标加以表示，利用空间向量的模长公式可求得的最小值.【详解】因为、是空间内两个单位向量，且，所以，，因为，则，不妨设，，设，则，，解得，则，因为，可得，则，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，对于任意的实数、，的最小值为.故答案为：.14、3600【解析】先设分割大房间为间，小房间为间，收益为元，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设，再利用的几何意义求最值，只需求出直线过可行域内的整数点时，从而得到值即可【详解】解：设装修大房间间，小房间间，收益为万元，则，目标函数，由，解得画出可行域，得到目标函数过点时，有最大值，故应隔出大房间3间和小房间8间，每天能获得最大的房租收益最大，且为3600元故答案为：360015、1【解析】由“狄利克雷函数”解析式，先求出，再根据指数函数的解析式求即可.【详解】由题设，，则.故答案：116、（答案不唯一）【解析】设出抛物线方程，根据题意即可得出.【详解】设抛物线的方程为，根据题意可得，所以抛物线的标准方程为.故答案为：（答案不唯一）.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）圆C与圆M相交，理由见解析（2）或【解析】（1）利用圆心距与半径的关系即可判断结果；（2）讨论，当直线l的斜率不存在时则方程为，当直线l的斜率存在时，设其方程为，利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得出结果.【小问1详解】把圆M的方程化成标准方程，得，圆心为，半径.圆C的圆心为，半径，因为，所以圆C与圆M相交，【小问2详解】①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为到圆心C距离为2，满足题意；②当直线l的斜率存在时，设其方程为，由题意得，解得，故直线l的方程为.综上，直线l的方程为或.18、（1）（2）【解析】（1）首先求出、、，即可求出，从而求出回归直线方程；（2）由表可知某人只能接受的食品共有种，评价为分以上的有种可记为，，另外种记为，，，，用列举法列出所有的可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得；【小问1详解】解：设所求的回归方程为，由，，，，所求的回归方程为：.【小问2详解】解：由表可知某人只能接受的食品共有种，其中美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价为分以上的有种可记为，，另外种记为，，，.任选两种分别为：，，，，，，，，，，，，，，，共15个基本事件.记“所选取的两种食品至少有一种是美食家以百分制给出的对此食品口味的评价分数为分以上”为事件，则事件包含，，，，，，，，共个基本事件，故事件发生的概率为.19、（1）或或（2）为定值，而，，均不为定值【解析】（1）过抛物线外一定点的直线恰好与该抛物线只有一个交点，则分两类分别讨论，一是直线与抛物线的对称轴平行，二是直线与抛物线相切；（2）联立直线的方程与抛物线的方程，根据韦达定理，分别表示出，，，为直线斜率的形式，便可得出结果.【小问1详解】过点的直线与抛物线仅有一个公共点，则该直线可能与抛物线的对称轴平行，也可能与抛物线相切，下面分两种情况讨论：当直线可能与抛物线的对称轴平行时，则有：当直线与抛物线相切时，由于点在轴上方，且在抛物线外，则存在两条直线与抛物线相切：易知：是其中一条直线另一条直线与抛物线上方相切时，不妨设直线的斜率为，则有：联立直线与抛物线可得：可得：则有：解得：故此时的直线的方程为：综上，直线的方程为：或或【小问2详解】若与交于A，B两点，分别设其坐标为，，且由（1）可知直线要与抛物线有两个交点，则直线的斜率存在且不为，不妨设直线的斜率为，则有：联立直线与抛物线可得：可得：，即有：根据韦达定理可得：，则有：，下面分别说明各项是否为定值：，故运算结果为定值；，故运算结果不为定值；，故运算结果不为定值；，故运算结果不为定值.综上，可得：为定值，而，，均不为定值20、（1），（2）【解析】（1）根据与均为A等级的概率是0.07，求得值，再根据数学成绩的优秀率是30％求得值，最后利用抽取的总人数求出值即可；（2）根据，，，写出满足条件得基本事件，找出其中的基本事件，利用古典概型的公式求出