湖南省永州市第十六中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题（含答案）

2025年秋季永州市第十六中第二次课后服务检测九年级数学试卷时间：120分钟满分120分选择题(每小题3分，共30分）1．已知反比例函数y＝eq\f(k,x)的图象经过点(2，3)，则k等于()A．2B．3C．－6D．62．下列方程中，属于一元二次方程的是()A．x－1＝0B．x2－1＝0C．x2y－2x＝3D．x2＋eq\f(1,x)＝23.若关于x的一元二次方程x2＋x－k＝0有两个实数根，则k的取值范围是()A．k>－eq\f(1,4)B．k≥－eq\f(1,4)C．k<－eq\f(1,4)D．k≤－eq\f(1,4)4.反比例函数y＝－eq\f(1,x)的大致图象是()A．所有的矩形都相似B．所有的等边三角形都相似C．各有一个角是100°的两个等腰三角形相似D．所有的正方形都相似6.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由56元降为31.5元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是()A．56(1－2x)＝31.5B．56(1－x)2＝31.5C．31.5(1＋x)2＝56D．31.5(1＋2x)＝567.一组数据4，5，6，a，b的平均数为5，则a，b的平均数为()A．4B．5C．8D．108．如图，在△ABC中，边BC＝12cm，高AD＝6cm，正方形PQMN的边QM在BC上，P，N两个顶点分别在AB，AC上，则正方形的边长为()A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm9．如图，在△ABC中，P为AB上一点，下列条件：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP·AB；④AB·CP＝AP·CB.其中能判定△APC与△ACB相似的是()A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④10．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止．点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是()A．3s或4.8sB．3sC．4.5sD．4.5s或4.8s二、填空题（每小题3分，共18分）11．已知α为锐角，且tanα＝1，则α＝________.12．将一元二次方程x2－6x－1＝0化成(x－a)2＝b的形式，则b的值为________．13．若△ABC∽△A′B′C′，且eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(3,4)，△ABC的周长为12cm，则△A′B′C′的周长为________cm.14．某果园有果树200棵，从中随机抽取5棵，每棵果树的产量如下(单位：kg)：98，102，97，103，105，则估计这200棵果树的总产量为________kg.15.如图，在▱ABCD中，过点B的直线与AC，AD及CD的延长线分别相交于E，F，G.若BE＝6，EF＝2，则FG等于________．16．在平面直角坐标系中，已知反比例函数y＝eq\f(1,x)(x＞0)的图象，有若干个正方形如图依次叠放，双曲线经过正方形的一个顶点(A1，A2，A3在反比例函数图象上)，以此作图，我们可以建立一个“凡尔赛阶梯”，那么A2的坐标为______________．第15题第16题三、解答题（72分）17、计算或解方程：（6分）(1)tan260°＋4sin30°·cos45°；(2)x2－2x－15＝0.18．（6分）如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD.(1)求证：△ABC∽△ACD；(2)若AD＝2，AB＝5，求AC的长．19．（8分）已知关于x的方程x2＋2x＋3m－4＝0.(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；(2)若方程有一个根是2，求另一个根和m的值．20、（10分）一个一次函数的截距为1，且经过点A(2，3)．(1)求这个一次函数的表达式；(2)点A，B在某个反比例函数图象上，点B的横坐标为6，将点B向上平移2个单位得到点C，求cos∠ABC的值．21．（10分）为加强学生身体锻炼，某校开展体育“大课间”活动，学校决定在学生中开设A：篮球，B：立定跳远，C：跳绳，D：跑步，E：排球五种活动项目．为了了解学生对五种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中的信息，解答下列问题：(1)本次共调查了________名学生；(2)请将两幅统计图补充完整；(3)若该校有1200名学生，请估计全校喜欢排球的学生大约有多少名？22．（10分）如图，有一塑像DE在高13.4m的假山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进10m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求塑像DE的高度．(精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67，eq\r(3)≈1.73)23．（10分）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F.(1)求证：△ABE∽△DFA；(2)若AB＝6，BC＝4，求DF的长．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为(20，0)和(0，15)，动点P从点A出发在线段AO上以每秒2个单位长度的速度向原点O移动，动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动(即EF∥x轴)，分别与y轴，线段AB交于点E，F，连接EP，FP，设动点P与动直线EF同时出发，移动时间为ts.(1)当t＝9时，求△PEF的面积．(2)移动过程中，是否存在这样的t使得△PEF的面积等于40？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．(3)移动过程中，是否存在t值使得以点E，O，P为顶点的三角形与△BOA相似？若存在，请直接写出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由．参考答案D2.B3.B4.A5.A6.B7.B8.B9.A10.A11.45°12.1013.1614．2020015.1616.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1＋\r(5),2)，\f(1＋\r(5),2)))17、解：(1)原式＝(eq\r(3))2＋4×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝3＋eq\r(2).(2)原方程可化为(x＋3)(x－5)＝0，所以x1＝－3，x2＝5.18、(1)证明：∵∠ABC＝∠ACD，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD.(2)解：∵△ABC∽△ACD，∴eq\f(AC,AD)＝eq\f(AB,AC)，∵AD＝2，AB＝5，∴eq\f(AC,2)＝eq\f(5,AC)，∴AC＝eq\r(10)(负值已舍去)．19．解：(1)因为关于x的方程x2＋2x＋3m－4＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝22－4×1×(3m－4)＞0，解得m＜eq\f(5,3).所以m的取值范围是m＜eq\f(5,3).(2)设另一个根为a，则a＋2＝－2，2a＝3m－4，解得a＝－4，所以3m－4＝－8，所以m＝－eq\f(4,3)，即方程的另一个根为－4，m的值为－eq\f(4,3).21．解：(1)由题设这个一次函数的表达式为y＝kx＋1，把A(2，3)的坐标代入，得3＝2k＋1，解得k＝1，∴这个一次函数的表达式为y＝x＋1.INCLUDEPICTURE"../附件XJ44.EPS"INCLUDEPICTURE"../../../../樊金瀅/23秋/典中点/【1】23秋%20典中点%209%20数学%20XJ/附件XJ44.EPS"\dINCLUDEPICTURE"../../../../樊金瀅/23秋/典中点/【1】23秋%20典中点%209%20数学%20XJ/附件XJ44.EPS"\dINCLUDEPICTURE"../../../../樊金瀅/23秋/典中点/【1】23秋%20典中点%209%20数学%20XJ/附件XJ44.EPS"\dINCLUDEPICTURE"../../../../樊金瀅/23秋/典中点/【1】23秋%20典中点%209%20数学%20XJ/附件XJ44.EPS"\dINCLUDEPICTURE"../../../../樊金瀅/23秋/典中点/【1】23秋%20典中点%209%20数学%20XJ/附件XJ44.EPS"\dINCLUDEPICTURE"../../../../樊金瀅/23秋/典中点/【1】23秋%20典中点%209%20数学%20XJ/附件XJ44.EPS"\dINCLUDEPICTURE"../附件XJ44.EPS"\d(2)如图，设反比例函数表达式为y＝eq\f(m,x)，把A(2，3)的坐标代入，得3＝eq\f(m,2)，解得m＝6，∴反比例函数表达式为y＝eq\f(6,x).当x＝6时，则y＝eq\f(6,6)＝1，∴B(6，1)，∴AB＝eq\r((6－2)2＋(1－3)2)＝2eq\r(5).∵将点B向上平移2个单位得到点C，∴C(6，3)，BC＝2.∵A(2，3)，C(6，3)，∴AC∥x轴．∵B(6，1)，C(6，3)，∴BC⊥x轴，∴AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形，∴cos∠ABC＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(2,2\r(5))＝eq\f(\r(5),5).21、解：(1)200(2)喜欢篮球的人数为200－10－40－30－40＝80，所占百分比为80÷200×100%＝40%，跑步占的百分比为1－40%－20%－5%－20%＝15%.补图如图所示．(3)1200×20%＝240(名)．答：全校喜欢排球的学生大约有240名．22．解：∵tan∠CAE＝eq\f(CE,AC)，∴AC＝eq\f(CE,tan∠CAE)≈eq\f(13.4,0.67)＝20(m)．∵AB＝10m，∴BC＝AC－AB≈10m.∵tan∠DBC＝eq\f(CD,BC)，∴CD＝BC·tan∠DBC≈10×1.73＝17.3(m)，∴DE＝CD－EC≈17.3－13.4≈4(m)．答：塑像DE的高度约为4m.23、(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°.∴∠DAF＝∠AEB.∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°.∴△ABE∽△DFA.(2)解：∵E是BC的中点，BC＝4，∴BE＝2.∵AB＝6，∴AE＝eq\r(AB2＋BE2)＝eq\r(62＋22)＝2eq\r(10).∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4.∵△ABE∽△DFA，∴eq\f(AB,DF)＝eq\f(AE,AD).∴DF＝eq\f(AB·AD,AE)＝eq\f(6×4,2\r(10))＝eq\f(6,5)eq\r(10).24、解：(1)∵EF∥x轴，∴△BEF∽△BOA，∴EFOA＝BEBO.当t＝9时，OE＝9，又∵OB＝15，∴BE＝OB－OE＝15－9＝6，∴EF＝eq\f(BE·OA,BO)＝eq\f(6×20,15)＝8，∴S△PEF＝eq\f(