专题01 集合及其运算（期末复习讲义5大重难题型+3阶分层过关）（原卷版）高一数学上学期人教版A版

3/3专题01集合及其运算（期末复习讲义）核心考点复习目标考情规律1.1元素与集合的关系能判断元素与集合的从属关系，并根据关系求解参数。常与集合互异性结合考查，基础题型，易因忽略检验而出错。1.2集合的表示法能根据问题选择列举法或描述法表示集合，并实现两种表示法之间的转化。描述法理解易错，需注意代表元素的含义与取值范围。1.3集合的三大特性能利用确定性、互异性、无序性判断集合的合法性，并求解相关参数问题。小题中常设“互异性”陷阱，忽略易导致多解或错解。1.4集合间的关系能判断集合间的包含与相等关系，会求子集、真子集个数，理解空集的特殊地位。空集是常考易漏点，分类讨论时常因忽略空集导致失分。1.5集合的交、并、补运算能进行集合的混合运算，并运用数轴或Venn图解决含参不等式集合的运算问题。高频考点，数轴分析参数范围是常见题型，也是学生的主要难点。知识点01元素与集合集合的概念一般地，我们把指定的某些对象的全体称为，通常用大写字母A，B，C，…表示，集合中的每个对象叫做这个集合的，通常用小写字母a，b，c，…表示.集合与元素的关系一个集合确定后，任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了，如果元素a在集合中A中，就说元素a集合A，记作，如果元素a在不集合中A中，就说元素a集合A，记作.3．集合的分类含有有限个元素的集合叫作，含有无限个元素的集合叫作，不含任何元素的集合叫作，记作.4．元素与集合（1）集合中元素的特性：、、.（2）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法.（3）常用数集及其记法：数集非负整数集（或自然数集）正整数集整数集有理数集实数集复数集符号N*或（N＋）ZQRC知识点02集合的基本关系文字语言符号语言基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B的元素_____真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中相等集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集空集空集是任何集合的子集空集是任何非空集合的且必记结论：（1）若集合A中含有n个元素，则有____个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集．（2）子集关系的传递性，即.注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑_____的情况，否则会造成漏解.知识点03集合的交集、并集、补集运算文字语言符号语言图形语言记法并集由所有属于集合A集合B的元素组成的集合{x|x∈A，或x∈B}

交集由所有属于集合A集合B的元素组成的集合{x|x∈A，且x∈B}

补集由全集U中集合A的所有元素组成的集合{x|x∈U，且x∉A}

知识点04集合的运算性质1．交集的性质：①A∩BA；②A∩BB；③A∩A＝；

④A∩＝；⑤A∩BB∩A.2．并集的性质：①A∪BA；②A∪BB；③A∪A＝；④A∪＝；⑤A∪BB∪A.3．补集的性质：①∁U(∁UA)＝；②∁UU＝；③∁U＝；④A∩(∁UA)＝；⑤A∪(∁UA)＝；⑥∁U(A∩B)＝(∁UA)(∁UB)；⑦∁U(A∪B)＝(∁UA)(∁UB)．知识点05德摩根公式知识点06容斥定理之集合中元素个数题型一元素与集合的关系解｜题｜技｜巧（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．注意：结合互异性解题【典例1】（24-25高一上·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（

）①；②；③；④A．1 B．2 C．3 D．4【典例2】（24-25高一上·广西玉林·期末）若，则a的值为（

）A． B． C．或 D．0【变式1】（24-25高一上·山东济南·期末）若集合，则（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高一上·河南开封·期末）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【变式3】（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，且.(1)求的值；(2)写出集合的所有真子集.题型二集合间的基本关系解｜题｜技｜巧（1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．（2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用．注意：解集合的包含关系题目时，非常容易忽略小集合可能是空集的特殊性.【典例1】（24-25高一上·广东梅州·期末）设集合，，则满足的集合有（

）种情况A．1 B．2 C．3 D．4【典例2】（24-25高一上·云南昆明·期末）已知集合，，则（

）A．0 B．1 C．0或1 D．4【典例3】（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，且，则（

）A． B．1 C． D．0【典例4】（24-25高一上·广东汕头·期末）设集合．(1)若，求．(2)若，求实数的取值范围．【变式1】（24-25高一上·四川眉山·期末）若集合，A的子集个数是个．【变式2】（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，，且，则的值为（

）A． B． C． D．【变式3】（24-25高一上·贵州铜仁·期末）已知集合，集合．(1)若，求；(2)若，求的取值范围．【变式4】（24-25高一上·海南·期末）设，关于的不等式的解集为.(1)求；(2)设集合，其中，若，求实数的取值范围.题型三集合间的基本运算【典例1】（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【典例2】（24-25高一上·广西钦州·期末）已知集合A满足，则（

）A． B． C． D．【典例3】（24-25高一上·山东潍坊·期末）设集合，，则（

）A． B． C． D．【典例4】（24-25高一上·北京顺义·期末）已知全集，集合.(1)若，求集合；(2)若，求实数的取值范围.【变式1】（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知集合，则（

）A． B． C． D．【变式3】（24-25高一下·江西南昌·期末）已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合（）A． B． C． D．【变式4】（24-25高一上·广西玉林·期末）已知全集，集合，集合．(1)当时，求；(2)当时，若，求实数k的取值范围．题型四Venn图及容斥原理的应用【典例1】（24-25高一上·陕西榆林·期末）如图，已知表示全集，A，B是的两个非空子集，则阴影部分可表示为（

）

A． B．C． D．【典例2】（24-25高一上·江西赣州·月考）（多选）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（

）A． B．C． D．【典例3】（24-25高一上·广东佛山·期末）（多选）2024年国庆假期期间，佛山市安排了精彩纷呈的文旅体活动，其中文化旅游活动备受市民青睐.某学校对120名学生在国庆期间参与佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演，顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动，广东千古情的“火人狂欢节”活动的情况进行了统计，统计结果如下表所示：参与情况参与人数参与了佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演60参与了顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动89参与了广东千古情的“火人狂欢节”活动50至少参与了其中的一个活动105则下列说法正确的是（

）A．三项活动都没有参与的人数为15B．三项活动都参与的人数最多为47C．恰好参与一个活动的人数最少为21D．恰好参与两个活动的人数最多为94【变式1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知为全集，其三个非空子集、、满足，则下列集合为空集的是（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高一上·福建龙岩·期末）若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（

）A． B．C． D．【变式3】（24-25高一上·天津滨海新·期末）1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为；同时参加田径和球类比赛的人数为题型五集合新定义【典例1】（24-25高一上·河南开封·期末）设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合的子集的个数为．【典例2】（24-25高一上·四川眉山·期末）定义集合的商集运算为：，已知集合，，则集合的真子集个数是.【典例3】（24-25高一上·河南驻马店·期末）已知集合具有性质：对任意，与至少有一个属于，则称为“封闭集”．(1)若集合，，判断，是否是“封闭集”?并说明理由；(2)若集合是“封闭集”，且，求集合；(3)设集合是“封闭集”，证明：．【变式1】（24-25高一上·湖南益阳·期末）如果对于非空集合中的任意两个不同元素，都有且，那么这样的集合称为封闭集合，例如集合就是一个封闭集合.用列举法写出一个至少有三个元素且只有有限个元素的封闭集合.【变式2】（24-25高一上·北京密云·期末）已知集合A包含有个元素，．(1)若，写出；(2)写出一个，使得；(3)当时，是否存在集合A，使得？若存在，求出此时的集合A，若不存在，请说明理由．【变式3】（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知集合，，记，.(1)求集合S，T；(2)对于只含有四个正整数，，，的集合P，若的最小值是k，则称集合P是“k阶积差四元集”.（ⅰ）若，求“1阶积差四元集”C，且满足；（ⅱ）若，是否存在“2阶积差四元集”M，N，使得？若存在，求出所有集合M，N；若不存在，说明理由.期末基础通关练（测试时间：15分钟）一、单选题1．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．（24-25高一上·广东广州·期末）设全集，集合，则（

）A． B． C． D．3．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知集合，则集合中所含元素的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（24-25高一上·新疆昌吉·期末）已知集合，，则（

）A． B．C． D．5．（24-25高一上·山西·期末）已知集合，，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题6．（24-25高一上·安徽合肥·期末）若集合，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．7．（24-25高一上·四川成都·期末）已知集合，，若，则的值可以为（

）A． B． C． D．三、填空题8．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知集合，集合，则的子集个数是.9．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知集合只有一个元素，则的取值集合为.四、解答题10．（24-25高一上·陕西·期末）设全集为，集合，，其中．(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围．11．（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知集合，集合.(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围.期末重难突破练（测试时间：30分钟）一、单选题1．（24-25高一上·江西赣州·期末）若集合，，则（

）A． B． C． D．2．（24-25高一上·上海普陀·期末）若集合，则（

）A． B． C． D．3．（24-25高一上·江苏泰州·期末）若，则的最大值为（

）A．12 B．13 C．16 D．184．（23-24高一上·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（

）A． B．C． D．5．（24-25高一上·陕西榆林·期末）给定数集M，若对于任意，都有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法正确的是（

）A．自然数集是闭集合B．无理数集是闭集合C．集合为闭集合D．若集合，为闭集合，则也为闭集合二、填空题6．（24-25高一上·河南洛阳·期末）已知集合，若，则实数a的最小值是．7．（24-25高一上·上海·期末）已知集合对任意恒成立，，则．8．（24-25高一上·山东济宁·期末）已知函数，非空集合，，若，则实数的取值范围是.三、解答题9．（24-25高一上·广西河池·期末）已知集合.(1)求；(2)若集合，是否存在实数，使得？若存在，试求出实数的值；若不存在，请说明理由.10．（23-24高一上·北京海淀·期末）已知集合.(1)求；(2)记关于x的不等式.的解集为M，若，求实数m的取值范围.11．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知函数的定义域为集合A，集合．(1)求集合；(2)设集合，若，求实数m的取值范围．12．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）对于非空集合U，记．若集合，且满足如下两个条件：①对任意的，有；②对任意的，有．则称集合A为集合U的一个“完美子集类”