专题1.1 集合（考点清单7个考点梳理+12题型解读）（原卷版）

专题1.1集合【清单01】集合与元素1.含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合.2.元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合Aa∈Aa属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉Aa不属于集合A【清单02】集合中元素的特征（1）确定性（2）互异性（3）无序性（4）广泛性【清单03集合的表示法1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.2.描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素.3.区间法：（1）一般区间的表示．设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间__[a，b]__{x|a＜x＜b}开区间__(a，b)__{x|a≤x＜b}半开半闭区间[a，b){x|a＜x≤b}半开半闭区间(a，b]（2）特殊区间的表示.定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.【清单04】集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集，空集可以看成含0个元素，故空集是有限集.【清单05】集合间的基本关系1.子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集（或A中的任一元素都属于B(1)AA(2)(3)若且，则(4)若且，则或真子集AB（或BA），且B中至少有一元素不属于A（1）（A为非空子集）(2)若且，则集合相等A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A(1)AB(2)BA2.∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3．已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.【清单06】集合的基本运算1.交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集且（1）（2）（3），并集或（1）（2）（3），补集（1）（2）2．A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B．【清单07】常用数集及其关系表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集.【考点题型一】集合的基本概念【例1】（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列命题中正确的（

）A．与表示同一个集合；B．方程的所有解的集合可表示为；C．由3，4，5组成的集合可表示为或；D．很小的实数可以构成集合．【变式1-1】（24-25高一上·北京·阶段练习）关于的方程的解集可能是（

）A．空集 B．单元素集合 C． D．【变式1-2】（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列说法中正确的是（

）A．联合国所有常任理事国（共5个）组成一个集合B．朝阳中学年龄较小的学生组成一个集合C．与是不同的集合D．由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素【变式1-3】（多选）（24-25高一上·江西景德镇·期中）下列说法正确的有（

）A．某校高一年级视力差的学生可以构成一个集合B．集合与集合是相同的集合C．由，，，，这些数组成的集合有4个元素D．在平面直角坐标系中，第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合【变式1-4】（多选）（24-25高一上·重庆·开学考试）下列说法正确的有（

）A．10以内的质数组成的集合是B．由1，2，3组成的集合可表示为或C．方程的解集是D．若集合中的元素是的三边长，则一定不是等腰三角形【考点题型二】元素与集合【例2】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，若，则（

）A． B．C． D．不属于M，Q，P中的任意一个【变式2-1】（24-25高一上·海南儋州·阶段练习）下列关系中正确的个数为（）①，②，③，④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式2-2】（24-25高一上·天津东丽·期中）下列关系中，正确的是（

）A． B．C． D．【变式2-3】（24-25高一上·天津南开·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中错误的个数是（

）A． B． C． D．【变式2-4】（24-25高一上·福建三明·期中）已知集合，则1与集合的关系为（

）A． B． C． D．【考点题型三】根据元素与集合的关系求参数【例3】（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为.【变式3-1】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，若，则的值为（

）A．1 B． C．1或 D．或【变式3-2】（24-25高一上·重庆渝北·期中）已知集合，若，则的值为（

）A． B． C． D．【变式3-3】（24-25高一上·四川·期中）已知集合，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式3-4】（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则实数.【考点题型四】子集、真子集的个数问题【例4】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知集合满足，则符合条件的集合有个.【变式4-1】（24-25高一上·广西北海·期中）已知集合满足，则不同的的个数为（

）A．8 B．6 C．4 D．2【变式4-2】（24-25高一上·山东泰安·期中）已知集合，则的子集个数为（

）A．8 B．16 C．32 D．64【变式4-3】（24-25高一上·天津·期中）已知，它的非空真子集的个数为.【变式4-4】（24-25高一上·广东佛山·期中）集合的子集个数为．【考点题型五】包含关系的判断【例5】（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合，，，则M，N，P的关系（

）A． B．C． D．【变式5-1】（24-25高一上·云南昆明·期中）下列关系正确的是（

）A． B． C． D．【变式5-2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，则集合M与N的关系是（

）A． B． C． D．【变式5-3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，则与之间的关系是（

）A． B． C． D．【变式5-4】（24-25高一上·重庆·期中）下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【考点题型六】根据集合的包含关系求参数【例6】（24-25高一上·上海·期中）已知全集，，，且，求m的取值范围．【变式6-1】（24-25高三上·山西长治·阶段练习）设集合，，若，则（

）A．3 B．1 C．0 D．【变式6-2】（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合元素个数为（

）A． B． C． D．【变式6-3】（多选）（24-25高一上·河北保定·期中）设集合，，且，则实数a的值可以是（

）A．2 B．1 C． D．0【变式6-4】（24-25高一上·广东湛江·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围为.【考点题型七】集合的相等【例7】（23-24高一上·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（

）A． B．C． D．【变式7-1】（24-25高一上·安徽阜阳·期中）下列集合中表示同一集合的是（

）A．，B．，C．，D．，【变式7-2】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列说法中不正确的是（）A．集合中有两个元素B．集合中没有元素C．D．与是不同的集合【变式7-3】（多选）（24-25高一上·贵州·阶段练习）下列关于集合的说法不正确的有（

）A．B．任何集合都是它自身的真子集C．若（其中），则D．集合与是同一个集合【变式7-4】（多选）（24-25高一上·广东阳江·期中）下列各组中M，N表示不同集合的是（

）A．，B．，C．，D．，【考点题型八】根据集合相等求参数【例8】（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）已知，，若集合，则的值为（

）A． B．1 C． D．2【变式8-1】（23-24高一上·湖南永州·期中）已知集合，，若，则等于（

）A．或 B．或C． D．【变式8-2】（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）已知集合，若，则（

）A． B．2 C． D．6【变式8-3】（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知集合，，若，则实数a的值为（

）A．0 B．1 C．1或3 D．3【变式8-4】（24-25高三上·河南·期中）已知集合，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【考点题型九】集合的基本运算【例9】（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知全集，，，或求(1)(2)(3)【变式9-1】（2024高三·全国·专题练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【变式9-2】（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【变式9-3】（2024高三·全国·专题练习）已知集合，，，则（

）A． B．C． D．【变式9-4】（24-25高一上·安徽滁州·期中）设全集，，，则（

）A． B． C． D．【考点题型十】根据集合的运算求参数【例10】（24-25高一上·广西北海·期中）已知集合，.(1)若，求，.(2)是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【变式10-1】（24-25高一上·四川达州·期中）已知集合.若则实数m的取值范围为（

）A． B． C．或 D．【变式10-2】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知全集，集合，.(1)求和；(2)已知，写出集合的所有非空子集.【变式10-3】（24-25高一上·广东佛山·期中）已知集合．(1)求P，Q；(2)若，求m的取值范围．【变式10-4】（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知集合，，且.(1)若，求实数组成的集合；(2)若，求，的值.【考点题型十一】集合的应用【例11】（24-25高一上·山东德州·阶段练习）某年级先后举办了数学、历史、化学讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了化学讲座，记是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了化学讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若，，，，则（）A． B．C． D．【变式11-1】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）学校统计某班30名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，已知每人至少参加了1个兴趣小组，其中参加音乐、科学、体育小组的人数分别为19，19，18，只同时参加了音乐和科学小组的人数为4，只同时参加了音乐和体育小组的人数为2，只同时参加了科学和体育小组的人数为4，则同时参加了3个小组的人数为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【变式11-2】（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为(

).A．10 B．9 C．7 D．4【变式11-3】（24-25高一上·全国·课后作业）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举行，为了办好这一届具有“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会，杭州某高校的40名同学报名参加足球、篮球、排球三个项目的志愿者服务活动，且每名同学至多参加两个志愿者服务项目.已知参加足球、篮球、排球项目的人数分别为26，15，13，同时参加足球和篮球项目的有6人，同时参加足球和排球项目的有4人，则同时参加篮球和排球项目的人数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【变式11-4】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理的有32人，选择化学的有24人，选择生物的有22人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人.那么班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有人.【考点题型十二】集合的“新定义”问题【例12】（24-25高一上·江西赣州·期中）对非空数集及实数，定义，，已知．(1)当时，若集合为单元素集，求；(2)当时，若集合，求的所有取值构成的集合；(3)若中有3个元素，求实数的取值范围．【变式12-1】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）若，则，就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（

）A．31 B．7 C．3 D．1【变式12-2】（24-25高一上·广东·期中）已知，对于，且，则称为的“孤立元”．给定集合，则的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的