专题3.3 函数、方程、不等式及函数的应用（考点清单5个考点梳理+12题型解读）（原卷版）

专题3.3函数、方程、不等式及函数的应用【清单01】函数的零点1.函数零点的定义：使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2.三个等价关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点3.拓广：（1）若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．（2）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．【清单02】二次函数的零点与其对应方程、不等式解集之间的关系1．函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点和相应方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根的关系函数图象判别式符号(设判别式Δ＝b2－4ac)Δ＞0Δ＝0Δ＜0与x轴交点个数210方程的根（函数零点）的个数210ax2＋bx＋c>0（a>0）的解集（-ꝏ，x1)∪(x2,+ꝏ)（-ꝏ，x0)∪(x0,+ꝏ)R（注：a<0的情况，类似可以给出）2.拓广：穿根法（根轴法）解不等式：（1）整理不等式，一端化为因式积，且各因式中x系数为正；（2）求相应方程的根；（3）将上述根标在数轴上；（4）从最右边的根开始，自上而下穿过数轴，其它各根依次穿过（二重根穿而不过）；（5）位于数轴上方的曲线对应区间使不等式大于0，其它对应区间使不等式小于0成立.类似如图所示：【清单03】零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．【清单4】二分法二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．【清单5】常见函数模型1.常见函数模型（1）一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)；（2）二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；（3）分式函数模型（4）分段函数模型（5）拓广：函数f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的性质及最值：(1)该函数在(－∞，－eq\r(a))和(eq\r(a)，＋∞)上单调递增，在[－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a)]上单调递减．(2)当x>0时，x＝eq\r(a)时取最小值2eq\r(a)，当x<0时，x＝－eq\r(a)时取最大值－2eq\r(a).2.函数应用问题解法=1\*GB3①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；=2\*GB3②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；=3\*GB3③求模：求解数学模型，得出数学结论；=4\*GB3④还原：将数学问题还原为实际问题的意义．【考点题型一】求函数的零点【例1】（24-25高一上·云南昆明·期中）函数的两个零点为，则=【变式1-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的零点是（

）A． B． C． D．不存在【变式1-2】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的零点为（

）A．2 B．C．2,0或 D．2和【变式1-3】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）表示不大于的最大整数，例，则的的取值范围，方程的解集是.【变式1-4】（20-21高三上·上海嘉定·期中）设，则方程的解集为.【考点题型二】函数零点所在区间的判断【例2】（23-24高一上·河北张家口·期末）已知，则的零点所处的区间是（

）A． B． C． D．【变式2-1】（24-25高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（

）A． B． C． D．【变式2-2】（24-25高一上·北京·期中）函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【变式2-3】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【变式2-4】（2024·广东·模拟预测）已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（

）A． B． C． D．【考点题型三】函数零点个数的判断【例3】（2024·北京平谷·模拟预测）已知函数，设．给出下列四个结论：①当时，不存在最小值；②当时，在为增函数；③当时，存在实数b，使得有三个零点；④当时，存在实数b，使得有三个零点．其中正确结论的序号是．【变式3-1】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，有，则实数的值有（

）个A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个【变式3-2】（23-24高二下·陕西汉中·期末）设函数,则的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【变式3-3】（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.(1)求函数的解析式；(2)画出函数的图象，并结合图象讨论方程的解的个数【变式3-4】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示，并根据图象.

(1)画出在轴右侧的图象并写出函数的增区间；(2)写出函数的解析式；(3)讨论方程解的个数.【考点题型四】根据函数零点所在区间求参数【例4】（23-24高一上·福建莆田·期中）设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意都有，则的取值范围是．【变式4-1】（24-25高一上·北京延庆·期中）已知函数有两个零点，在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式4-2】（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数的一个零点在区间内，另一个零点在区间内，则的值可能是（

）A． B．1 C． D．【变式4-3】（2023·宁夏银川·三模）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式4-4】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知的零点在区间，则（

）A． B． C． D．【考点题型五】根据函数零点个数求参数【例5】（24-25高一上·安徽阜阳·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，当时，.若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是.【变式5-1】（24-25高一上·四川泸州·期中）已知函数，若函数的图象与函数的图象有3个交点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式5-2】（24-25高一上·山东德州·期中）已知函数若存在实数，使得函数有4个不同的零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式5-3】（24-25高一上·湖北黄冈·期中）若关于的方程有4个互不相等的实数根，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式5-4】（23-24高一下·浙江金华·期末）若函数（是常数）有且只有一个零点，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【考点题型六】比较函数零点的大小【例6】（2024高三·全国·专题练习）若，，，则，，由小到大的顺序是【变式6-1】（2024·广东·二模）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为(

).A． B．C． D．【变式6-2】（2024·广东梅州·二模）三个函数，，的零点分别为，则之间的大小关系为（

）A． B．C． D．【变式6-3】（2024·新疆乌鲁木齐·二模）设，函数的零点分别为，则（

）A． B． C． D．【变式6-4】（24-25高一上·全国·课后作业）已知正数分别是函数的零点，则（

）A． B． C． D．【考点题型七】“二分法”与零点的近似解【例7】（24-25高一上·上海·随堂练习）求方程的零点（精确到0.1）．【变式7-1】（24-25高一上·山东德州·期中）用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，则下一步应计算，则（

）A．0 B． C． D．【变式7-2】（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）小胡同学用二分法求函数在内近似解的过程中，由计算可得，，，则小胡同学在下次应计算的函数值为（

）A． B． C． D．【变式7-3】（安徽省滁州市定远县育才学校2020-2021学年高一下学期期中理科数学试题）设函数，用二分法求方程近似解的过程中，计算得到，，则方程的近似解落在区间（）A． B．C． D．【变式7-4】（2020上·陕西渭南·高一校考期中）为了求函数的一个零点，某同学利用计算器得到自变量和函数的部分对应值，如表所示：1.251.31251.3751.43751.51.5625－0.8716－0.5788－0.28130.21010.328430.64115则方程的近似解（精确到0.1）可取为（

）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【考点题型八】函数零点与函数的基本性质【例8】（多选）（24-25高一上·江苏常州·期中）某同学在研究函数时，分别给出下面几个结论，则正确的结论有（

）A．等式对恒成立；B．若，则一定有；C．若，方程有两个不等实数根；D．函数在上只有一个零点.【变式8-1】（23-24高一上·福建南平·期中）已知的定义域为，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【变式8-2】（24-25高一上·湖北·期中）对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式8-3】（多选）（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知函数，的定义域均为，下列结论正确的是（

）注：函数的零点是当函数值取零时自变量的值A．若，均为增函数，则也为增函数B．若，均为减函数，则也为减函数C．若，均存在零点，则也存在零点D．若，均存在零点，则也存在零点【变式8-4】（多选）（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数关于的方程，下列判断中正确的是（

）A．时方程有3个不同的实数根B．方程至少有2个不同的实数根C．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为D．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为【考点题型九】二次函数零点、方程的根与不等式【例9】（24-25高一上·江苏无锡·期中）关于的一元二次方程恰有两个整数解，则实数的取值范围为.【变式9-1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知是函数的两个零点，且，则的取值范围为．【变式9-2】（22-23高一上·湖北咸宁·自主招生）二次函数的图象如图，对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是．

【变式9-3】（24-25高一上·安徽·期中）若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则的取值范围是．【变式9-4】（24-25高一上·北京·期中）已知二次函数图象过点，，.(1)求函数的解析式；(2)已知函数有两个不同的正数零点.（i）求的取值范围；（ii）若，求的值.【考点题型十】函数与方程、不等式综合问题【例10】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数(1)若关于x的方程有2个不同的实根，求实数a的取值范围；(2)若关于x的方程有4个不同的实根，求实数a的取值范围．【变式10-1】（24-25高一上·北京·期中）已知，函数．（1）当时，不等式的解集是（2）若函数恰有2个零点，则a的取值范围是【变式10-2】（24-25高一上·甘肃兰州·期中）已知函数，.(1)若函数在上单调递减，求的取值范围.(2)讨论函数的零点个数.(3)解关于的不等式.【变式10-3】（24-25高一上·北京·期中）已知二次函数的最小值为1，且.(1)求的解析式；(2)若在区间上不单调，求实数的取值范围；(3)当时，恒成立，求实数的取值范围.【变式10-4】（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数，的定义域均为0,4．

(1)请在所给的图中画出的图像；(2)若不等式的解集为0,4，求a的取值范围；(3)讨论函数的零点个数．【考点题型十一】构建函数模型解决实际问题【例11】（24-25高一上·广东·期中）某游乐场需要修建一间背面靠围墙的矩形母婴室，地面面积为5平方米，地面费用总价为五千元．现需要对母婴室外墙正面和屋顶进行带有游乐场主题特色的装修，因此外墙正面每平方米造价为1500元，屋顶造价一万元；母婴室外墙侧面普通装修即可，每平方米造价600元；母婴室墙高3米，不计母婴室背面费用．(1)若游乐场母婴室正面长设为x米，请用x表示该游乐场母婴室的总造价元(2)如何设计能使得该游乐场母婴室的总造价最低？最低总造价为多少？【变式11-1】（24-25高一上·江苏苏州·期中）常熟“叫花鸡”，又称“富贵鸡”，既是常熟的特产，也是闻名四海的佳肴，以其鲜美、香喷、酥嫩著称.双十一购物节来临，某店铺制作了300只“叫花鸡”，若每只“叫花鸡”的定价是40元，则均可被卖出；若每只“叫花鸡”在定价40元的基础上提高（）元，则被卖出的“叫花鸡”会减少只.要使该店铺的“叫花鸡”销售收入超过12495元，则该店铺的“叫花鸡”每只定价应为（

）A．48元 B．49元 C．51元 D．50元【变式11-2】（24-25高一上·全国·课后作业）以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间满足，若小球飞到最高处时用了2s，则小球的飞行高度不低于15m的时长为s．【变式11-3】（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力.中国自主创新，多项技术取得突破，全球布局加速，现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备.预计使用该设备后，第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为50万元，设使用年后该设备的盈利额为万元.(1)写出与之间的函数关系式；(2)从第几年开始，该设备开始盈利（盈利额为正值）；(3)使用若干年后，对设备的处理方案有两种：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该设备.请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额为，）【变式11-4】（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期中）一家货物公司计划租地建造仓库存储货物，经过市场调查了解到下列信息：每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成正比；每月土地占地费用（单位：万元）与（单位：km）成反比，当在距离车站5km处建仓库时，和的费用分别为1万元和8万元．(1)若使每月土地占地费用与每月库存货物费之和不超过7.2万元，则仓库到车站的距离（单位：km）应该在什么范围？(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使得两项费用之和最小？并求出最小值．【考点题型十二】已知函数模型解决实际问题【例12】（24-25高一上·全国·课后作业）某种新产品投放市场的100天中，前40天价格呈直线上升，而后60天价格呈直线下降，现统计出其中4天的价格如下表：时间第4天第32天第60天第90天价格/元2330227(1)写出价格关于时间的函数关系式（表示投放市场的第天）；(2)销售量与时间的函数关系式为，则该产品投放市场第多少天销售额最高？最高为多少元？【变式12-1】（24-25高一上·全国·课后作业）茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度（单位：℃）和泡茶时间（单位：）满足关系式若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间