专题04 抽象函数性质归类（期末专项训练12大题型75题）（解析版）高一数学上学期人教A版

2/24专题04抽象函数性质归类题型1抽象函数中的定义域问题题型7抽象函数中奇偶性问题（常考点）题型2抽象函数中的值域问题题型8抽象函数中的周期性问题（重点）题型3抽象函数的解析式题型9抽象函数中的对称性问题（重点）题型4抽象函数求值问题（重点）题型10抽象函数中的函数性质综合（重点）题型5抽象函数中的单调性问题（常考点）题型11抽象函数中的解不等式问题（重点）题型6抽象函数中比较函数值的大小关系（重点）题型12抽象函数中的新定义问题（难点）题型一抽象函数中的定义域问题（共4小题）1．（24-25高一上·广东佛山·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复合函数定义域和具体函数的定义域的求法，即可列式求解.【详解】函数的定义域需满足不等式，解得：且，所以函数的定义域是.故选：C2．（24-25高一上·河北保定·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据抽象函数定义域的求法，列出方程组，即可求得答案.【详解】因为的定义域是，所以，根据抽象函数定义域求法，在函数中，，解得且.则定义域为.故选：C.3．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函数的定义域，根据函数解析式有意义，对于函数，可得出关于的不等式，即可解得函数的定义域.【详解】对于函数，，则，所以，函数的定义域，对于函数，有，即，解得.因此，函数的定义域为.故选：D.4．（24-25高一上·江西·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为.【答案】【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域，结合对数函数的定义及性质列出不等式组求出定义域.【详解】由函数的定义域为，得，则，在中，，解得且，所以函数的定义域为.故答案为：题型二抽象函数中的值域问题（共4小题）5．（23-24高一上·山东潍坊·期末）（多选）已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】结合题意根据复合函数值域及函数图象变换，逐个选项验证可得答案.【详解】对于A，的图象可看作由的图象向左平移一个单位得到的，故值域不变，正确；对于B，由可得，即的值域为，错误；对于C，函数与函数的图象关于y轴对称，故函数的值域与函数的值域相同，为，正确；对于D，由可得，即的值域为，错误.故选：AC6．（25-26高一上·广东·月考）已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】应用抽象函数定义域性质计算求解，应用函数值域计算判断.【详解】函数的定义域为，即，所以，因此函数的定义域为；由函数的值域为，得函数的值域为，即，则，故函数的值域为．故选：C．7．（24-25高一上·辽宁大连·月考）若函数的值域是，则函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由给定条件求出的值域，换元借助对勾函数性质即可得解.【详解】因为函数的值域是，所以函数的值域是，令，则，由对勾函数的性质可知：函数在上单调递减，在上单调递增，而，，，则，即函数的值域是.故选：B.8．（25-26高一上·辽宁·期中）（多选）若函数的定义域､值域分别为，函数，则（

）A．的定义域为 B．的定义域为C．的值域为 D．的值域为【答案】BD【分析】根据的范围可求的范围，则的定义域可知；根据的范围可知的值域.【详解】由，得，则的定义域为，由，得，则的值域为，故选：BD.题型三抽象函数的解析式（共4小题）9．（25-26高一上·江西南昌·月考）已知函数满足，则的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分别将替换为和，即可联立方程求解.【详解】当时，（1）在（1）中将替换为，则

（2）在（1）中将替换为，则

（3）可得：且故选：B.10．（25-26高一上·广东佛山·月考）已知定义在上的函数满足（其中，），请写出满足条件的一个函数表达式．【答案】（答案不唯一）【分析】根据给定条件，取代入给定等式，再令并验证即可.【详解】由，取，得，令，此时，且，，符合题意，所以满足条件的一个函数表达式为.故答案为：11．（23-24高一上·浙江杭州·期末）写出一个同时具有性质①对任意，都有；②的函数.【答案】（答案不唯一）【分析】根据函数的单调性，结合及常见的函数特点即可得结果.【详解】因为对任意，都有，即函数在内单调递减，由于，即可取，故答案为：（答案不唯一）.12．（24-25高一上·河北保定·期末）已知函数，且，，，，，，则函数的解析式为.【答案】【分析】根据题目累乘可得的表达式，再令可得的解析式.【详解】将各式累乘可得又因为，所以，令，则有.故答案为：.题型四抽象函数求值问题（共5小题）13．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数a，b满足，若，则．【答案】/0.5【分析】利用赋值法求出、、，从而得到，利用特殊值求出，，根据奇偶性求出即可得到结果．【详解】∵对于任意实数a，b满足，∴当时，，当时，，可得，则；当时，，则．令，得，即，所以函数是奇函数．令，，则，得，令，，则，∵函数是奇函数，∴，∴．故答案为：.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是合理赋值得到为奇函数，求出的值，从而得到的值．14．（25-26高一上·湖南长沙·期中）定义在上的函数满足，，，且当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用赋值法得到，，，根据，得，从而可得：.再由当时，，可求出，从而求解答案即可.【详解】中，令，得，即，所以；又，所以，所以.因为，所以，，所以.因为，当时，，所以，所以，所以.故选：B15．（24-25高一下·云南·期中）（多选）对于任意的，函数满足，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】令可判断A选项；令可判断B选项；由，令可判断C选项，再利用，即可判断D选项.【详解】令，得，解得，故A正确；令，得，即，因为，，所以，故B错误；因，则，令，则，故C正确；又，，则，故D正确．故选：ACD16．（25-26高一上·云南·期末）（多选）已知函数的定义域为，，，且，则（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】按照各选项的形式，反复利用赋值法，逐个验证即可.【详解】对于A，令，得到，又，则，所以A错误.对于B，令，得到，由选项A知，所以，故B正确.对于C，令，则，即，令可得，故，而，所以，故C正确，对于D，由，则，所以，，由可知，，即，故D错误.故选：BC.17．（25-26高一上·河南·期末）（多选）已知函数满足：①；②若，则．则下列结论正确的有（）A． B．C．若，则 D．若，则【答案】ABC【分析】利用赋值法判断AC，利用基本不等式结合给定条件取舍判断B，利用特殊函数法判断D.【详解】对于A，令，而，代入得，解得或，当时，令，得到，解得，此时也有，与若，则矛盾，故排除，综上，，故A正确，对于B，令，结合，得到，化简得，由基本不等式得，当且仅当时取等，故，解得或，而，故不成立，综上，成立，故B正确，对于C，若，令，得到，故，则，故C正确，对于D，令，满足，由指数函数性质得在上单调递增，满足当时，，而，，故满足，得到，故D错误.故选：ABC题型五抽象函数中的单调性问题（共5小题）18．（24-25高一上·广东佛山·期末）已知定义在上的函数满足，且当时，，则是（

）A．奇函数，在上单调递增 B．奇函数，在上单调递减C．偶函数，在上单调递增 D．偶函数，在上单调递减【答案】A【分析】取及进行赋值可以判断奇偶性，再由单调性的定义进行证明即可．【详解】解：因为，所以，得，令，则，得，则函数为奇函数，设，且，得，则，则，因为，所以，而，则，得，得，故函数在上单调递增．故选：A．19．（24-25高一上·河南焦作·期末）（多选）已知定义域为的函数满足对于，则下列说法正确的是（

）A．B．若对于，则函数是奇函数C．D．若当时，，则在区间上单调递增【答案】BD【分析】A选项，令得到或0；B选项，根据得到，令得到，然后利用奇函数的定义判断；C选项，时不成立；D选项，根据时，利用作商的思路得到对任意的，都有，然后结合单调性的定义判断.【详解】对于A项，令，则，则或0，故A错误；对于B项，因为，所以，由，且，所以，令，则，所以，所以，故是奇函数，故B正确；对于C项，若，令可得，故C错误；对于D项，若当时，，则不满足，所以，设0，则，所以，所以，即对任意的，都有，所以在上单调递增．又，所以在，上单调递增，故D正确．故选：BD．20．（25-26高一上·贵州贵阳·月考）定义在上的函数，满足，，且在区间上单调递增．(1)求的值；(2)证明：在区间上单调递增．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）借助赋值法分别令、代入计算即可得；（2）利用函数单调性定义，结合在区间上的单调性与作差法计算即可得.【详解】（1）由题有，即，又，所以，又有，即，又，所以，所以；（2）由可知，，所以．，且，．因为，所以．又在区间上单调递增，所以，所以．又，所以，，即，所以在区间上单调递增．21．（25-26高一上·贵州·期中）已知定义在上的函数满足下列条件：①对任意实数，恒有成立；②当时，；③且．(1)求的值；(2)求证：为上的增函数；(3)求关于的不等式的解集．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）将，代入求解即可.（2）根据函数单调性定义求解即可.（3）由题意可得，解得，再由函数单调性求解即可.【详解】（1）因为，所以当，时，，解得或，又因为，所以.（2）任取，，对任意，所以即因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以，即，因为，所以为上的增函数.（3）由题意可得，令，，又因为，所以，令，，得，所以，又因为，所以，所以，所以或，又因为函数为上的增函数且，所以，即，解得，当时，即，即，无解，舍去，故关于的不等式的解集为.22．（24-25高一上·云南曲靖·月考）已知定义在上的函数满足：①值域为，且当时，；②对于定义域内任意的实数，均满足；试回答下列问题：(1)试求的值；(2)判断并证明函数的单调性；(3)若对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)单调递减，证明见解析(3).【分析】（1）利用赋值法代入计算，再根据函数值域即可得；（2）根据已知条件可证明得出，再由函数单调性定义证明即可得出结论；（3）结合函数奇偶性，将不等式恒成立问题转化为，再由单调性即可求得结果.【详解】（1）在中，令，则有．即．也即．由于函数的值域为，所以，所以．（2）函数的单调性必然涉及到，于是由已知，我们可以联想到：是否有（*）这个问题实际上是：是否成立？为此，我们首先考虑函数的奇偶性，也即与的关系．由于，所以在中，令，得．所以函数为奇函数．故（*）式成立．所以．任取，且，则，故且．所以，；所以，函数在上单调递减．（3）由（2）知为奇函数，且对恒成立，即对恒成立，由（2）知为减函数，所以对恒成立，所以，令，因为在上单调递增，，所以，所以实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：在解决第三问中求解取值范围的关键是利用函数奇偶性将不等式恒成立转化为求解函数最小值的问题，再结合函数单调性即可求解.题型六抽象函数中比较函数值的大小关系（共8小题）23．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）已知偶函数在区间上单调递减，则下列关系式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据偶函数的性质及函数单调性即可比较大小.【详解】因为偶函数在区间上单调递减，所以在上单调递增，因为，故自变量的绝对值越大，对应的函数值越大，又，所以，故选：D．24．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据偶函数可知，分析可知在内单调递减，结合单调性即可判断大小.【详解】因为函数为上的偶函数，则，且，则，即，可得，又因为对任意，，均有成立，可知在内单调递减，则，即.故选：A.25．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递增，则下列不等关系恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先由题设得函数和的单调性情况，进而得，，从而即可一一判断各选项.【详解】由题意可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，所以，.对于A，因为，在上单调递增，所以，故A错误；对于B，因为，在上单调递增，所以，故B错；对于C，因为，在上单调递减，所以，故C正确；对于D，因为正负不知，所以大小关系不定，故D错；故选：C.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是依据题设求得函数和的单调性情况，进而得，.26．（25-26高一上·吉林·期末）已知定义在R上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数对称性和奇偶性得到的周期为8，化简得到，，，结合函数在上的单调性和奇偶性得到在上递增，从而比较出大小.【详解】因为关于中心对称，所以对称中心是，故，因为是偶函数，所以的对称轴是，即，所以中，将替换为，得到，故，将替换为，得到，所以，因此的周期为8.所以，，，因为在上递增且是奇函数，所以在上递增，所以，∴.故选：D27．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知函数的图象关于直线对称，，当时，都有设，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】易得函数在上单调递增．且函数是定义在R上的偶函数，再由，比较三个数的大小即可．【详解】由题意可知，当时，，由可得，则函数在上单调递增．又函数的图象关于直线对称，由函数图象平移变化可知，函数是定义在R上的偶函数，则．由于函数在单调递增，即比较三个数的大小．，注意到，因为，所以，∴，∴．因为，所以，∴，∴，所以．∴，即．故选：A28．（24-25高一上·河南新乡·月考）已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，，都有恒成立，记，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，利用函数单调性与奇偶性的定义判断得的单调性和奇偶性，再利用对数的运算与换底公式将，，化为的函数值，从而求解.【详解】因为对任意的，都有恒成立，即，令，所以当时，有，即，所以函数在上单调递减，又函数为奇函数，所以，即函数为偶函数，又，，，所以，，，又，函数在上单调递减，所以.故选：.【点睛】关键点点睛：本题通过构造新函数，利用函数的单调性和奇偶性比较函数值大小，一定要注意应将自变量置于同一单调区间再借助单调性比较.29．（24-25高一上·浙江杭州·期末）（多选）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，且，在上单调递增，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用函数的奇偶性判断、的区间单调性及函数值的大小，结合单调性比较函数值的大小关系.【详解】由是定义在上的奇函数，且在上单调递增，则在上单调递增，，故在R上单调递增，所以，则，A对；由是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则在上单调递减，则，综上，、，B错，C对；若时，大小不定，D错.故选：AC30．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）（多选）已知函数是偶函数，且在上单调递增，则下列结论一定正确的有（

）A．的图象关于直线对称 B．C． D．在上单调递减【答案】AD【分析】由是偶函数可得，即可判断A，由单调性以及对称性即可判断BCD．【详解】对于A，因为函数是偶函数，所以，即，所以的图象关于直线对称，所以A正确；对于B，在上单调递增，，但正负不确定，所以B错误；对于C，由A选项得，，所以C错误；对于D，因为的图象关于直线对称，在上单调递增，所以在上单调递减，由图象平移变化可知在上单调递减，所以D正确．故选：AD.题型七抽象函数中奇偶性问题（共8小题）31．（25-26高一上·河南·期末）（多选）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且在上单调递减，则（）A．是偶函数B．是奇函数C．在上单调递增D．在上单调递增【答案】AC【分析】根据奇偶函数的定义依次判断AB即可；根据奇偶函数的性质，结合复合函数的单调性判断CD即可.【详解】因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，所以，所以和均为偶函数，A正确，B错误；又因为在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，由复合函数的单调性可知，在上单调递增，单调递减，故C正确，D错误.故选：AC32．（24-25高一上·河北石家庄·期末）（多选）已知函数对任意实数x，y都满足，且，则（

）A．或1 B．是偶函数C． D．【答案】BC【分析】利用赋值法进行求解即可，选项A：令，选项B：，选项C:令，选项D：利用函数的奇偶性和周期性求解即可.【详解】令，可得，故A错；令，可得，即，故B对；令，可得，即，再令，得，所以对；又是偶函数，所以有，函数是以2为周期的周期函数，，故D错.故选：BC.33．（24-25高一上·浙江温州·期末）（多选）已知定义域为的函数满足：，，，则（

）A． B．函数是偶函数C．， D．，【答案】ACD【分析】利用赋值法可求，及，故可判断AC的正误，利用反证法可判断B的正误，利用题设中的运算关系可得，结合C中结果可判断D的正误.【详解】令，则，故，令，则即，故C正确；故，令，则，故，故A正确，若为偶函数，则，故，此时，与题设矛盾，故B错误；对于D，，故，故D成立，故选：ACD.【点睛】思路点睛：抽象函数的性质的研究中，一般是利用赋值法得到一些特殊的函数值，从而得到抽象函数具有的不同的性质，注意赋值时要根据目标的结构形式来处理.34．（24-25高一上·广东汕尾·期末）（多选）已知是函数的一个零点，若，都有，则（

）A． B．C．有最大值 D．是奇函数【答案】ABD【分析】利用赋值法可判断A；令，得，进而求得；构造函数可排除C，设，则，令即可证明函数是奇函数.【详解】由题意，，令，则，解得，对于A，令，则，解得，令，则，解得，故A正确；对于B，令，则，则，故B正确；对于C，设函数，此时，，符合题意；此时，的值域为，则无最大值，故C错误；对于D，设，因为，有，即，有，所以，有，令，则，所以函数是奇函数，即函数是奇函数，故D正确；故选：ABD.35．（24-25高一上·贵州遵义·期末）（多选）已知函数对任意实数x，y都满足，且，以下结论正确的有（

）A． B．是偶函数C．是奇函数 D．【答案】BD【分析】根据可判断C，令可判断A，令可得函数是偶函数，令可得，令可得，从而得是函数的周期，进而可判断B、D.【详解】由题意，函数的定义域为，因为，则函数不是奇函数，故C错误；令，则，即，又，则，故A错误；令，则，即，所以函数是偶函数，即函数是偶函数，令，则，解得，令，则，所以，所以，又，则，所以，则，故是函数的周期，所以是偶函数，故B正确；因为，所以，故D正确；故选：BD.36．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知定义在的函数满足：对任意，，且当时，．(1)求证：在单调递增；(2)已知，求证：函数为奇函数；(3)若不等式在恒成立，求的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)．【分析】（1）令结合函数单调性定义即可求证；（2）由，求得，再结合奇函数的定义即可求证；（3）将问题转换成在成立，也即，进而可求解；【详解】（1）任取，令得，所以，因为，则，所以，即在单调递增；（2）令得；令得．由且单调递增可知，所以，要使有意义，则，故定义域关于原点对称．又所以为定义在上的奇函数．（3）由题意，，且在成立，其中恒成立，从而只需，令得，则，所以，由（1）知单增，所以只需在成立，即，令，即在恒成立由于，所以．【点睛】关键点点睛：第三问的关键是将问题转换成，在恒成立即可.37．（24-25高一上·黑龙江绥化·期末）定义在上的函数满足：，都有成立，且为上的增函数．(1)求的值，并证明为奇函数；(2)，使成立，求取值范围；(3)解不等式．【答案】(1)，证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）利用赋值法求出，再利用奇函数定义推理得证.（2）求出在上的最大值，再由能成立问题建立不等式求解.（3）变换给定不等式，构造新函数，利用单调性、奇函数的性质求解不等式.【详解】（1），都有成立，取，得，解得；对，取，则，因此，所以为奇函数.（2）函数为上的增函数，则当时，，由，使成立，得，解得，所以取值范围是.（3），，不等式，令，则函数是奇函数，且为上的增函数，原不等式为，即，于是，即，解得或，所以原不等式的解集为.38．（24-25高一上·河南开封·期末）已知函数的定义域为，且，．(1)借助，证明：函数总能表示成一个奇函数与一个偶函数之和；(2)设函数．（i）判断在区间上的单调性，并根据定义进行证明；（ii）求不等式的解集．【答案】(1)证明见解析(2)（i）在区间上单调递增，证明见解析；（ii）.【分析】（1）根据给定条件，利用函数奇偶性定义推理得证.（2）（i）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性推理得证；（ii）利用函数单调性求解不等式.【详解】（1）函数的定义域为，则函数，的定义域也为，由，，得，函数为偶函数，由，，得，函数为奇函数，又，所以函数总能表示成一个奇函数与一个偶函数之和.（2）（i）函数在区间上单调递增，，且，，由，知，则，，，因此，，所以在区间上单调递增.（ii）因为为偶函数图象关于轴对称，在区间上单调递增，不等式等价于，即，解之得，所以不等式的解集为.题型八抽象函数中的周期性问题（共7小题）39．（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知定义在R上的奇函数关于对称，当时，，则．【答案】【分析】根据题意，由函数的奇偶性和对称性可得函数的周期性，结合函数的解析式计算即得.【详解】因函数为奇函数，，函数关于x＝1对称，则有，则有，变形可得，则有，即4是函数的一个周期，则，又由当时，，则，则．故答案为：．40．（24-25高一上·山东枣庄·期末）奇函数满足，当时，，当时，，则=（

）A．-2 B． C． D．4【答案】B【分析】利用已知可得，可得是以为周期的周期函数，利用奇函数的性质求得，可求.【详解】因为，所以，所以，所以是以为周期的周期函数，又时，，所以，又因为为奇函数，所以，所以所以.故选：B.【点睛】关键点点睛：关键在于由已知求得，得周期，进而求得函数值.41．（24-25高一上·贵州毕节·期末）若偶函数对任意都有，且当时，，则（

）A．8 B． C．12 D．【答案】B【分析】先求出的一个周期为6，结合函数为偶函数得到，代入求值，得到答案.【详解】由得，故，故的一个周期为6，又为偶函数，故，，，故.故选：B42．（24-25高一上·福建漳州·期末）已知为上奇函数，，，则．【答案】6【分析】根据奇函数的性质得到且，再结合函数的周期性与奇偶性求出，最后根据周期性计算可得.【详解】因为为上奇函数，所以且，又，所以是以为周期的周期函数，则，，，，所以，又，即，解得，所以.故答案为：43．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，，且，则（

）A．1 B． C．2024 D．【答案】B【分析】利用赋值法求得，结合迭代周期求得正确答案.【详解】令，，则，因为，所以，令，则，则，则，所以以6为周期，令，得，所以，则．故选：B．44．（25-26高三上·浙江温州·月考）已知函数的定义域为为偶函数，且，则（

）A．47 B． C．1 D．2【答案】C【分析】根据题意可得函数是周期函数，用赋值法可求得，利用周期函数的性质即可得到结果.【详解】因为函数的定义域为,且所以，且，即.因为函数为偶函数，所以.所以，所以函数是周期为4的周期函数.所以.故故选：C.45．（2025·甘肃·模拟预测）已知偶函数满足：，且，若，则（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】用代换，可得，联立方程组，求得，结合函数为偶函数，且，得到，可则是周期为的函数，令，求得，结合，即可求解.【详解】由，用代换，可得，联立方程组，可得，即，又由函数为偶函数，且，可得与同号，所以，可得函数是周期为的函数，因为，与同号，则，令，可得，所以，则.故选：C.题型九抽象函数中的对称性问题（共6小题）46．（25-26高一上·江苏·期末）（多选）已知定义在上的函数满足不是常数函数，则（

）A．B．是增函数C．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称【答案】AD【分析】对于A，令，即可得结果；对于D，令，可得结合对称性定义判断；对于B，C举反例说明即可.【详解】因为.对于A，令，可得，即，故A正确；对于BC，例如，则，符合题意，但是减函数，且的图象不关于直线对称，故BC错误；对于D，令，可得，即，可得，所以的图象关于点对称，故D正确.故选：AD.47．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】对于函数为偶函数，表明函数的图象关于直线对称.对于函数为奇函数，表明函数的图象关于点对称.然后利用函数的对称性和奇偶性的性质来分析选项中的函数值是否为.【详解】因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，即，所以，.又因为为奇函数，所以，且，所以即的图象关于点对称，.所以，无法确定，故A正确，BCD无法判断.故选：A.48．（25-26高一上·河南·期末）已知函数的图象关于点成中心对称图形，当时，，则时，（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用对称性有，结合有及已知区间的函数解析式求时表达式即可.【详解】若，则，故，由函数的图象关于点成中心对称图形，则.故选：A49．（24-25高一上·江苏常州·期末）我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若的对称中心为，则（

）A．8096 B．4048 C．2024 D．1012【答案】B【分析】根据对称性的定义求出函数的对称中心，结合对称性进行转化求解即可.【详解】若函数图象的对称中心为，则为奇函数，即为奇函数，必有且，解得，则的对称中心为，所以，设，，故选B【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数值的计算，结合对称性的定义求出函数的对称中心，然后进行转化是解决本题的关键.50．（24-25高一上·山东日照·月考）已知函数满足，若函数与图像的交点为，其中，则（

）A．0 B．m C． D．【答案】B【分析】函数满足，得到是关于点对称，函数经过化简也可以得到关于对称，由此可知两个函数的交点就关于对称，根据点的对称性，就可以得到的值.【详解】因为函数满足，即函数满足，所以是关于点对称，函数等价于，所以函数也关于点对称，所以函数与图像的交点为，也关于点对称，故交点成对出现，且每一对点都关于对称，所以故选：B.51．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，则的值域为.若函数满足为奇函数，且函数与的图象有个交点，记为，则.【答案】【分析】化简函数解析式为，结合指数函数的值域与不等式的基本性质可求得函数的值域；推导出函数、的图象关于点对称，结合对称性可求得的值.【详解】因为，由于，则，则，所以，，即函数的值域为，因为，，所以，，所以，函数的图象关于点对称，因为函数为奇函数，则，所以，，则函数的图象关于点对称，因为函数与的图象有个交点，记为，不妨设，所以，点与点关于点对称，且有，，所以，，，因此，.故答案为：；.【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性求解析式，可利用以下结论来求解：（1）若函数与的图象关于点对称，则；（2）若函数与的图象关于直线对称，则.题型十抽象函数中的函数性质综合（共11小题）多选题52．（25-26高一上·江苏·期末）已知定义域为的函数满足：，则（

）A．是周期为2的函数B．是偶函数C．D．【答案】ACD【分析】由可得，进而判断A；根据题设赋值结合周期性即可判断CD；取特例即可判断B.【详解】对于A，由可得，即函数是周期为2的函数，故A正确；对于C，对于，取，得，而，所以，故C正确；对于D，对于，取，得，则，故D正确；对于B，取，则，且，即函数满足题意，但不是偶函数，故B错误.故选：ACD53．（24-25高一上·河南周口·期末）若函数满足对任意，，都有，且当时，，则（

）A．的值不可能是0 B．C．是奇函数 D．是增函数【答案】AC【分析】AB选项，赋值，得到或，当时，，排除，得到，；C选项，令得，C正确；D选项，举出反例即可.【详解】AB选项，中，令得，解得或，令得，又或，当时，，因为当时，，故不合要求，当时，，由于当时，，故，满足要求，故，A正确，B错误；C选项，中，令得，由于，故是奇函数，C正确；D选项，满足要求，但不是增函数，D错误.故选：AC【点睛】方法点睛：处理抽象函数问题，常用方法为赋值法，经常赋值0，等，并结合函数奇偶性和单调性来解决问题54．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知定义在上的函数满足．若的图象关于点对称，则（

）A．的图象关于点对称 B．是偶函数C．是奇函数 D．的周期【答案】AB【分析】令，推导出，结合函数的对称性可判断A选项；利用函数奇偶性的定义可判断BC选项；利用特殊值法可判断D选项.【详解】对于A选项，设，因为函数的图象关于点对称，即函数的的图象关于点对称，则，所以，令，可得，可得，所以的图象关于点对称，则A正确．对于B选项，由已知得，设，则，所以，所以是偶函数，则B正确；对于C选项，若函数是奇函数，则，可得，即函数的图象关于点对称，但函数的图象关于点对称，题中条件无法推出函数的图象关于点对称，则C错误；对于D选项，若函数的周期为，则，事实上，在等式中，令，则，则，矛盾，故D错误.故选：AB.【点睛】结论点睛：本题考查函数的对称性的判断，可利用以下结论来转化：①函数的图象关于点对称，则；②函数的图象关于直线对称，则.55．（25-26高一上·云南·期末）已知函数，的定义域均为，为偶函数，，，，则（）A． B．C．的图象关于点对称 D．的图象关于点对称【答案】BCD【分析】先由可得C正确，再由及为偶函数可得BD正确，A错误.【详解】对于A：因为为偶函数，所以，则，再由，令，得，所以，故A错误；对于C：因为，所以的图象关于点对称，故C正确；对于D：由，得，所以，，且，所以，即，所以，所以的图象关于点对称，故D正确；对于B：由为偶函数，得，即，且，所以，以代替，得——①.再以代替，得——②，联立①②得，再以代替，得，故B正确.故选：BCD.56．（24-25高一上·河南·期末）已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意的，都有，则下列说法正确的是（

）A．B．是偶函数C．若，则D．若当时，，则在上单调递增【答案】ACD【分析】赋值法求解判断AC，通过赋值得，然后利用奇函数的定义判断B，由题设可得，结合时，，利用函数单调性的定义即可判断D.【详解】因为，所以令，得，故A正确；令，得，所以，令，得，所以，令，得，又，所以，又因为定义域为R，所以函数是奇函数，故B错误；令，得，令，，得，所以，故C正确；当时，由，可得，又，所以，任取，所以，又，所以，，故，所以在上单调递增，故D正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据条件等式，合理给变量赋值，以及赋变量，再根据单调性的定义及奇偶函数的定义判断即可.57．（24-25高一上·河南洛阳·期末）已知函数满足：①；②若，则．则下列结论正确的有（

）A． B．C．若，则 D．若，则【答案】ABC【分析】利用赋值法判断A，C，利用基本不等式结合给定条件取舍判断B，利用特殊函数法判断D即可.【详解】对于A，令，而，代入得，解得或，当时，令，得到，解得，此时也有，与若，则矛盾，故排除，综上，，故A正确，对于B，令，结合，得到，化简得，由基本不等式得，当且仅当时取等，故，解得或，而，故不成立，综上，成立，故B正确，对于C，若，令，得到，故，则，故C正确，对于D，令，满足，由指数函数性质得在上单调递增，满足当时，，而，，故满足，得到，故D错误.故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题考查函数的性质，解题关键是合理构造特殊函数，然后表证明其符合给定条件，得到所要求的函数值即可．58．（24-25高一上·江苏·期末）已知为非常值函数，若对任意实数x，y均有，且当时，，则下列说法正确的有（

）A． B．为奇函数C． D．在上单调递增【答案】BCD【分析】根据给定条件，赋值求出，再结合、单调性逐项判断即可.【详解】对任意实数x，y均有，令，则，解得或，当时，取，则与已知矛盾；当时，取，则与已知矛盾，因此，A错误；对于B，，取，，则，函数为奇函数，B正确；对于C，，当且仅当时取等号，当时，与已知矛盾；当时，与已知矛盾，因此，C正确；对于D，，，由当时，，得，因此，而，则，即，函数在上单调递增，D正确.故选：BCD【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解.59．（24-25高一上·贵州安顺·期末）若函数的定义域为，且函数为偶函数，函数的图象关于点成中心对称，则下列说法正确的是（

）A． B．C．的一条对称轴为 D．【答案】ACD【分析】由函数为偶函数，函数的图象关于点成中心对称，求出是周期为4函数，利用赋值法、周期性逐项判断可得答案.【详解】因为函数为偶函数，所以，故，所以是图象的一条对称轴，所以，又函数的图象关于点成中心对称，因为函数的图象是由函数的图象向右平移1个单位得到，所以函数关于点成中心对称，故，所以，故且，所以，所以，所以，故，所以为周期函数，且周期为4，对于A，由、得，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，因为，所以的一条对称轴为，故C正确；

对于D，因为，，所以，所以，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题关键点是利用已知条件判断出是周期为4的函数.60．（24-25高一下·湖南怀化·期末）若是定义在R上的函数，当时，，且对任意x，，恒成立，则下列说法正确的是（

）A．B．是偶函数C．的图象关于对称D．若，则恒成立【答案】ACD【分析】令可求出判断A，可得函数的奇偶性判断B，函数的奇偶性，得到函数的对称性，即可判断C，利用单调性的定义判断D.【详解】已知，令，可得，解得，故A正确；再令，得，即，因为不恒成立，所以，所以为奇函数，故B错误；因为为奇函数，所以关于原点对称，则的图象关于对称，故C正确；因为当时，，所以当时，，则；设任意的，，且，则，所以，因为，，且，所以，，，，，所以，即，所以在上单调递增，则在上单调递增，又，且当时，，当时，，所以是R上的增函数，则当时，恒成立，故D正确．故选：ACD【点睛】关键点点睛：对于抽象函数求函数值一般采用赋值法，抽象函数的单调性的证明通常是利用定义法.61．（24-25高一上·重庆·期末）已知函数的定义域为，且，，若，则（

）A．是周期为4的周期函数B．是奇函数C．的图像关于点对称D．【答案】ABD【分析】利用赋值法等并结合函数的奇偶性、对称性以及周期性一一分析即可.【详解】对于A，因为，所以，所以，即，所以是周期为4的周期函数，则A正确.对于B，，又因为，所以，所以，所以函数为奇函数，故B正确；对于C，又因为，所以函数的图像关于直线对称,故C错误;对于D，由的对称性与周期性可得，则，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题选项的关键是利用抽象函数的性质得到其周期性和对称性，对于D选项，利用赋值法得到相关函数值，再利用其对称性和周期性计算即可.62．（24-25高一上·江西九江·期末）已知连续函数满足：①，有；②当时，；③.则以下说法中正确的是（

）A．B．C．在上的最大值是6D．不等式的解集为【答案】ABD【分析】利用题设条件通过赋值法代入，即可判断A，B；对于C，先由条件②，推出在上的单调性，再由③推出，排除C项；对于D，利用C的结论，将化成，再利用函数单调性即可解得.【详解】对于A：由①，时，有，即，故A正确；对于B：由①，取，可得，再取，，故B正确；对于C：设且，则，由②得.由①，取，可得，即.由①再取，可得，即，即故在上单调递减.由③，得.又因则，故在上的最大值为7，故C错误；对于D：因则，即，因在上单调递减，则，解得，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数的单调性、最值的应用，属于难题.对于C项的确定是关键，要考虑利用②证明函数单调性，由③通过求得排除此项，同时，又要运用该值等价转化D项不等式.题型十一抽象函数中的解不等式问题（共8小题）63．（24-25高一上·辽宁·期末）已知定义域为的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题可得不等式等价于，根据单调性即可解出.【详解】因为为偶函数，且，所以不等式等价于，又在上单调递增，，即或解得或.所以不等式的解集为.故选：B.64．（24-25高一上·广东梅州·期末）函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据偶函数的性质，把函数不等式转化成代数不等式求解.【详解】因为为上的偶函数，且在上单调递增，所以在上单调递减.所以或，即或.所以所求不等式的解集为：.故选：C65．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知为上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，由题意得到为偶函数且在上单调递增，由，将原不等式转化为，然后利用的图象与性质将问题转化为，解不等式即可得解.【详解】设，由且,则在上单调递增，∵为奇函数，，故为偶函数，而，则，解得：，故选：D.66．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，当.时，恒成立，且，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】不妨设，令，变形得到，得到在R上单调递增，并根据得到，得到不等式，求出答案.【详解】不妨设，，故，令，则，所以在R上单调递增，因为，所以，，所以，解得.故选：C67．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数的定义域为，对任意的，都有，当时，，且，若，则不等式的解集是（

）A．或 B．C．或 D．【答案】D【分析】先由题设结合赋值法求出和，接着求出函数是单调递减函数，再利用函数单调性解不等式得，解该不等式即可得解.【详解】因为对任意的，都有，，且，所以，且，设任意，则，则，又，所以，若，则当时，，则，矛盾，所以，所以，所以函数是单调递减函数，所以不等式等价于，所以，故即，解得.所以不等式的解集是.故选：D【点睛】关键点睛：解决本题的关键1是巧妙赋值求出求出和，关键2是由所给条件结合单调性定义求出函数是单调递减函数.68．（24-25高一上·贵州遵义·期末）已知是定义在上的偶函数，若对于任意的，当时，都有成立，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数单调性的定义得函数在上单调递减，结合偶函数的对称性得函数在上单调递增，利用可得当或时，，当时，，进而求解不等式和，再分类讨论解分式不等式即可.【详解】因为对于任意的，当时，都有成立，所以函数在上单调递减，又是定义在上的偶函数，所以函数在上单调递增，又，则，所以当或时，，当时，，所以由，得或，解得或，由，得，解得，又，所以或，解得或，因此，不等式的解集为.故选：B.69．（24-25高一上·河北廊坊·期末）已知函数是定义在上的偶函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的单调性和奇偶性可取不等式的解.【详解】因为，且，都有成立，故在上为增函数，而为上的偶函数，故，故为上的奇函数，故在上为单调增函数，当时，原不等式即为，故，解得；当时，原不等式即为，故，解得，综上原不等式的解为：，故选：C.70．（24-25高一上·黑龙江绥化·期末）已知函数是定义在上的偶函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，由已知确定函数的奇偶性及单调性，变形给定不等式，再利用单调性，结合正弦函数性质求出解集.【详解】令，由函数是上的偶函数，得，则函数是奇函数，由，且，都有成立，得，且，都有成立，则函数在上单调递减，于是函数在上单调递减，函数在上单调递减，不等式，且，因此，且，则，且，整理得，即，解得，则，所以不等式的解集为，A正确.故选：A【点睛】关键点点睛：抽象的函数不等式求解，探讨函数的奇偶性、单调性是求解的关键.题型十二抽象函数中的新定义问题（共5小题）71．（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知函数具有下列性质：①当时，都有；②在区间上，单调递增；③是偶函数.则函数可能的一个解析式为：.【答案】（答案不唯一）【分析】取函数，分别应用函数解析式结合单调性及偶函数定义判断各个性质即可.【详解】取函数，①当时，，所以，①符合；②在区间上，单调递增，②符合；③定义域为，关于原点对称，且，是偶函数.则函数可能是，故答案为：.72．（25-26高一上·山西太原·期中）设是定义在区间上的函数，如果满足条件，，都有，则称函数是区间上的