专题04 二次函数、一元二次不等式与其他常见不等式的解法及应用（期末复习讲义8大重难题型+3阶分层过关）（原卷版）高一数学上学期人教A版

3/3专题04二次函数、一元二次不等式与其他常见不等式的解法及应用（期末复习讲义）核心考点复习目标考情规律3.1二次函数的图象与性质（开口、对称轴、顶点、单调性）能根据解析式快速画出草图，并分析其在给定区间上的最值。所有二次问题的基础，必须熟练掌握。3.2一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）能利用韦达定理解决与两根相关的对称式求值问题。常与函数、不等式综合考查。3.3解一元二次不等式（不含参）能熟练运用“化正→求根→画图→写解集”的步骤求解。必考技能，解集的规范书写是易错点。3.4解含参数的一元二次不等式能根据二次项系数、判别式Δ、根的大小进行分类讨论。期末压轴题常见考点，对分类讨论思想要求高。3.5解分式不等式能通过移项、通分化为商的形式，再利用符号法则转化为整式不等式组求解。易错点是直接去分母或忘记分母不为零的限制。3.6不等式的恒成立与有解问题能准确将“恒成立”与“有解”问题转化为函数最值问题，并求解参数范围。期末压轴题核心题型。易错点是混淆“恒成立”（求最值）与“有解”（求最值）的转化逻辑3.7一元二次不等式的实际应用能解决与利润、面积、升降趋势相关的实际问题。体现数学应用价值，是命题方向知识点01二次函数及其性质一元二次函数y=ax（1）函数y=ax2+bx+c的图象是一条，顶点坐标是（2）当a>0时，抛物线开口向上．在区间−∞,−b2a上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间−b2a,+∞上，函数值当a<0时，抛物线开口向下．在区间−∞,−b2a上，函数值y随自变量x的增大而增大；在区间−b2a,+∞上，函数值知识点02解一元二次不等式判别式ΔΔΔΔ二次函数y=ax一元二次方程ax有两个相异实根x1，x2（有两个相等实根x没有实根一元二次不等式axx|x≠−一元二次不等式ax写出下列一元二次不等式恒成立满足的条件．（1）x∈R，ax（2）x∈R，ax2+bx+c≥0（3）x∈R，ax（4）x∈R，ax知识点03解分式不等式①②③④知识点04解根式、高次不等式根式不等式可平方求解，高次不等式可用数轴穿根法求解.知识点05解指对数不等式（跨章节）指对数不等式结合单调性求解，特别注意底数对于函数单调性的影响及对数的真数大于0.题型一解不含参的一元二次不等式【典例1】（24-25高一上·四川眉山·期末）解下列不等式：(1)；(2)；(3)．【典例2】（24-25高一上·四川巴中·期末）已知集合.(1)若，求；(2)若，求的取值范围.【变式1】解下列不等式：(1)；(2)；(3)；(4)．【变式2】（24-25高一上·福建福州·期末）不等式的解集为.(1)求；(2)若函数的值域为，求.【变式3】（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，.(1)若，求；(2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.题型二一元二次不等式的解求参数问题【典例1】（24-25高一上·辽宁大连·期末）关于x的一元二次方程的解集为，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【典例2】（23-24高一上·山东临沂·期末）（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（

）A．且 B．C．不等式的解集为 D．不等式的解集为【变式1】（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值为（

）A． B． C． D．【变式2】（多选）已知关于的不等式的解集为，则（

）A． B．C． D．【变式3】（24-25高一上·江苏盐城·期末）（多选）已知关于的不等式的解集为，则（

）A． B．C．不等式的解集为 D．不等式的解集为题型三解分式不等式【典例1】（24-25高一上·安徽宿州·期末）不等式的解集为（

）A． B．C． D．【典例2】（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【变式1】（24-25高一上·北京延庆·期末）不等式的解集为（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高一上·江苏无锡·期末）以下命题中是不等式“”成立的充分不必要条件的是（

）A． B． C．且 D．题型四解根式、高次、绝对值不等式【典例1】已知集合，则（

）A． B． C． D．【典例2】不等式的解集为（

）A． B．C． D．【典例3】关于的不等式的解集为.【变式1】已知全集为实数集，若集合，则（

）A． B．C． D．【变式2】已知集合，则（

）A． B． C． D．【变式3】不等式的解集为（用区间的形式表示）.【变式4】不等式的解集为（

）A．且 B．且C．或 D．或题型五解含参的一元二次不等式【典例1】（23-24高一上·贵州黔南·期末）已知函数(1)当时，求函数在上的值域；(2)求关于的不等式的解集.【典例2】（23-24高一上·北京·期末）求解下列关于的不等式，并写出不等式的解集(1)(2)(3)【变式1】（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知集合，．若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高一上·甘肃临夏·期末）已知函数.(1)若，且，，求的最小值；(2)若，解关于x的不等式.【变式3】（24-25高一上·山东淄博·期末）已知函数.(1)关于的不等式的解集为，求的最小值；(2)解关于的不等式.题型六一元二次不等式在区间上的恒成立与有解问题【典例1】（24-25高一上·浙江绍兴·期末）若关于x的不等式在上恒成立，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·江苏南通·期末）已知命题“，使得”为假命题，则实数a的范围为．【典例3】（24-25高一上·云南昆明·期末）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是．【变式1】（24-25高一上·广东广州·期末）若对，恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高一上·江苏苏州·期末）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式3】（24-25高一上·河南郑州·期末）设，不等式恒成立的一个充分条件可以是（

）A． B．C． D．题型七一元二次方程根的分布问题【典例1】（24-25高一上·上海徐汇·期末）下列说法正确的是（

）A．方程的两个实数根满足B．关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根C．已知方程的两个实数根，则D．若关于的一元二次方程的两个实数根，则【典例2】若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式1】（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知关于的方程至少有一个实根，则实数的取值范围是.【变式2】（23-24高一上·河南南阳·期末）一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【变式3】（23-24高一上·重庆·期末）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是.题型八实际应用【典例1】（24-25高一上·云南昭通·期末）已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件.现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，若提价后的售价为元，为使提价后该零件的销售总收入不低于原来的销售总收入，则的最大值是（

）A．20 B．25 C．27 D．28【典例2】（24-25高一上·四川宜宾·期末）为推动新质生产力的发展，我市某高新企业于2024年年初用98万元购进一台生产设备，并立即投入生产使用．已知该设备使用后，每年的总收入为50万元，使用x年后，其x年来所需维修保养费用的总和为万元，设该设备产生的盈利总额为y万元（盈利总额=总收入—总支出）．(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)该设备从第几年开始盈利（盈利总额为正值）；(3)使用若干年后，对设备的处理方案有两种：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）；②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备．试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由．【变式1】（24-25高一上·上海徐汇·期末）目前，光伏产业已经发展成我国少有的全产业链自主可控，并在全球范围内具备领先优势的产业.现有某光伏产业公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备.预计使用该设备后，每年的总收入为50万元，前（为正整数）年维修、保养费用总和为万元，设使用年后该设备的盈利额为万元.(1)写出与之间的函数关系式，并求从第几年开始，该设备开始盈利（盈利额为正值）；(2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该设备.请你研究一下哪种方穼处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额为）【变式2】某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价.期末基础通关练（测试时间：20分钟）一、单选题1．（24-25高一上·陕西·期末）若关于的不等式的解集为，则的解集为（

）A． B．C． D．2．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合，，则（

）A． B． C． D．3．（24-25高一上·山东济南·期末）若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．4．（24-25高一上·上海·期末）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（24-25高一上·江西吉安·期末）设，则“”是“，不等式恒成立”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（24-25高一上·重庆·期末）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．二、填空题7．（24-25高一上·河南漯河·期末）已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是.8．（24-25高一上·广东深圳·期末）当关于x的不等式对一切实数x都成立时，k的取值范围是．三、解答题9．（24-25高一上·上海·期末）已知，集合，．(1)求集合A；(2)若，求实数a的取值范围．10．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数．(1)若的解集为，求a，b的值；(2)若方程在上有解，求实数a的取值范围．期末重难突破练（测试时间：50分钟）一、单选题1．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）设a，b，c为实数，不等式的解集是或，则的最大值为（

）A． B． C． D．2．（24-25高一上·天津·期末）关于x的不等式的解集中整数有且只有3个，则正数a的取值范围为（

）A． B． C． D．3．（24-25高一上·云南曲靖·期末）“”是“关于的不等式有解”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件4．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题5．（24-25高一上·河南南阳·期末）已知关于的不等式的解集为，则（

）A．B．不等式的解集为C．函数在定义域内单调递增D．的最小值为36．（24-25高一上·广东广州·期末）如图，二次函数的对称轴为，且与轴交于点，则（

）A．B．C．的解集为D．的解集为7．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数．若不等式的解集为空集，则整数可以为（

）A． B． C． D．三、解答题8．（24-25高一上·广东梅州·期末）已知函数．(1)若关于x的不等式的解集为，求实数k，b的值；(2)对于参数，解关于x的不等式．9．（24-25高一上·江西抚州·期末）已知二次函数.(1)若的解集为，解关于的不等式；(2)若且，求的最小值；(3)若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值．10．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知．(1)若不等式的解集为，求实数的取值范围．(2)设、是方程的两个根，若，求实数的值；11．（24-25高一上·江西·期末）设函数(1)若不等式的解集为，求的值；(2)若，，求不等式的解集．12．（24-25高一上·陕西汉中·期末）已知函数．(1)求证：；(2)用单调性定义证明函数是减函数；(3)若，解关于的不等式．13．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知关于的不等式.(1)当不等式的解集为时，求的值；(2)若且不等式恒成立，求的最小值.14．（24-25高一上·湖南衡