专题4.3 幂函数、函数应用（考点清单4个考点梳理+16题型解读）（原卷版）

专题4.3幂函数、函数应用【清单01】幂函数一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.【清单02】常见的5种幂函数的图象1.常见的5种幂函数的图象2.常见的5种幂函数的性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\s\up6(\f(1,2))y＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇【清单03】三种函数增长速度的比较(1)指数函数和幂函数．一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn.(2)对数函数和幂函数．对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn.(3)指数函数、对数函数和幂函数．在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们增长的速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn＜ax几种函数模型的应用【清单04】函数的应用1.常见函数模型：(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)；(2)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(3)指数函数模型：y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，且b≠1)；(4)对数函数模型：y＝mlogax＋n(a>0，且a≠1，m≠0)；(5)幂函数模型：y＝axn＋b(a≠0)；(6)分式函数模型(7)分段函数模型2.解题策略与注意点：（1）解答函数在实际问题中的应用题目，应认真读题、审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助图象，表格信息确定解析式，同时要特别注意定义域．（2）在构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理，不漏不重．同时求分段函数的最值时，应在每一段上分别求出各自的最值．然后比较哪一个最大(小)取哪一个．【考点题型一】幂函数解析式与求值【例1】（24-25高一上·山西阳泉·期中）已知幂函数fx满足，求的值（

）A．3 B． C．4 D．【变式1-1】（24-25高一上·广东·期中）若幂函数的图象经过点，则（

）A．16 B． C．64 D．【变式1-2】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知幂函数的图象过点，则（

）A． B．C． D．【变式1-3】（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数既是二次函数又是幂函数，若函数，则（

）A．2024 B．2025 C．4048 D．4049【变式1-4】（24-25高一上·福建龙岩·期中）已知幂函数的图象经过点，则.【考点题型二】幂函数相关定义域问题【例2】（23-24高一上·广东广州·期中）幂函数图象过点，则的定义域为（

）A． B． C． D．【变式2-1】（2024高二下·湖南·学业考试）下列函数中，定义域为的是（

）A． B． C． D．【变式2-2】（23-24高一上·山西吕梁·阶段练习）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（

）A． B．C． D．【变式2-3】（21-22高一上·黑龙江绥化·期末）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【变式2-4】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的定义域为．【考点题型三】幂函数相关值域问题【例3】（24-25高三上·上海·期中）幂函数中，的取值集合是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合.【变式3-1】（22-23高一上·湖北襄阳·期末）下列函数中，值域为的是（

）A． B．C． D．【变式3-2】（24-25高三上·上海·期中）已知函数的表达式为，则函数的值域为.【变式3-3】（20-21高一·全国·课后作业）函数，其中，则其值域为.【变式3-4】（23-24高一下·山东淄博·期中）函数图象的对称中心坐标是；函数的值域是．【考点题型四】幂函数的图象【例4】（24-25高一上·上海浦东新·期中）图中、、分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【变式4-1】（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是（

）A． B． C． D．【变式4-2】（24-25高一上·福建三明·期中）已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【变式4-3】（24-25高一上·陕西西安·期中）函数，和的图象如图所示，则下列四个说法错误的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果时，那么【变式4-4】（多选）（24-25高一上·湖南·期中）已知，则函数的大致图象可能为（

）A．

B．

C．

D．

【变式5-1】（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（

）A． B． C． D．【变式5-2】（24-25高一·上海·课堂例题）下列幂函数中，其图象关于y轴对称且过点、的是（

）A． B． C． D．【变式5-3】（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图像过定点（

）A． B．C． D．【变式5-4】（24-25高一上·上海·期中）函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为.【考点题型六】幂函数的单调性【例6】（24-25高一上·山西朔州·期中）函数的单调递减区间是（

）A． B．C． D．【变式6-1】（24-25高一上·北京·期中）下列函数中，在区间（0,1）上是增函数的是（

）A． B． C． D．【变式6-2】（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数是幂函数，且在上单调递增，则（

）A． B． C．或 D．或【变式6-3】（24-25高一上·上海·期中）下列关于幂函数的描述中，正确的是（

）A．幂函数的图象都经过点和；B．幂函数的图象不经过第三象限；C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数；D．若幂函数的图像过点，则它的图像也经过点.【变式6-4】（多选）（24-25高一上·陕西渭南·期中）已知函数的图象经过点，则（

）A．的图象经过点 B．在内的值域为C．在定义域上单调递减 D．的图象关于轴对称【考点题型七】根据幂函数单调性求参数范围【例7】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数为幂函数，且在上单调递减．(1)求的值；(2)若函数，且，判断的单调性，并证明．【变式7-1】（24-25高一上·江苏无锡·期中）“或”是“幂函数在上是减函数”的（

）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【变式7-2】（2020·黑龙江省铁人中学高二期中（文））已知函数是幂函数，且在上为增函数，若且则的值（）A．恒等于 B．恒小于 C．恒大于 D．无法判断【变式7-3】（2022·江苏泰州·高一期末）若幂函数在区间上是减函数，则整数________．【变式7-4】（24-25高三上·江西·阶段练习）若幂函数在区间上单调递增，则.【考点题型八】幂函数奇偶性问题【例8】（24-25高一上·浙江·期中）已知幂函数为偶函数，则实数的值为（

）A． B． C．1 D．或1【变式8-1】（24-25高一上·安徽池州·期中）下列函数为奇函数的是（

）A． B．C． D．【变式8-2】（24-25高三上·上海·期中）幂函数在定义域上是非奇非偶函数，则实数a的取值范围是.【变式8-3】（24-25高一上·宁夏石嘴山·期中）已知幂函数是偶函数，则.【变式8-4】（24-25高一上·贵州·期中）已知幂函数是上的奇函数，则实数的值为.【考点题型九】幂函数单调性、奇偶性综合问题【例9】（24-25高一上·福建福州·期中）已知幂函数是偶函数，且在0,+∞上是减函数，则．【变式9-1】（24-25高一上·浙江衢州·期中）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（

）A． B． C． D．【变式9-2】（24-25高一上·重庆·期中）下列函数中，既是奇函数，又在区间上为增函数的是（

）A． B． C． D．【变式9-3】（24-25高一上·安徽·期中）已知幂函数的图象经过点，函数，则（

）A．为偶函数 B．为奇函数C．为增函数 D．为减函数【变式9-4】（多选）（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）关于幂函数，下列结论正确的是（

）A．的定义域为B．的值域为C．在区间上单调递减D．的图象关于点对称【考点题型十】应用幂函数性质比较大小【例10】（24-25高一上·河北邢台·期中）若，则（

）A． B． C． D．【变式10-1】（24-25高一上·福建厦门·期中）设则的大小关系为

（

）A． B．C． D．【变式10-2】（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知那么a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【变式10-3】（24-25高一上·安徽安庆·阶段练习）已知，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【变式10-4】（24-25高一上·山东淄博·期中）下列式子正确的是（

）A． B．C． D．【考点题型十一】应用幂函数性质解不等式【例11】（24-25高一上·河北唐山·期中）已知幂函数是奇函数.(1)求的解析式；(2)若不等式成立，求的取值范围.【变式11-1】（24-25高一上·山东济南·期中）已知幂函数，满足，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【变式11-2】（24-25高一上·河北邢台·期中）已知幂函数经过点，则不等式的解集为．【变式11-3】（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集为．【变式11-4】（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知幂函数的图象关于轴对称且在上单调递减，则满足的的取值范围.【考点题型十二】幂函数图象和性质的综合应用【例12】（24-25高一上·全国·课后作业）若函数为幂函数，且在上单调递减.(1)求实数m的值；(2)若函数，且，①判断函数的单调性，并证明；②求使不等式成立的实数t的取值范围.【变式12-1】（多选）（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知幂函数，其中，，则下列说法正确的是（

）A．B．当时，C．当时，的图象是中心对称图形D．恒过定点【变式12-2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是；最大值是.【变式12-3】（22-23高二下·江西·期中）已知函数，若对任意的有恒成立，则实数的取值范围是．【变式12-4】（24-25高一上·全国·课后作业）已知幂函数的图象过点，幂函数的图象过点．(1)求，的表达式；(2)求当为何值时：①；②；③．【考点题型十三】函数增长速度比较【例13】（多选）（23-24高三下·江西鹰潭·阶段练习）人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.人口的年平均增长率满足，其中为经过的时间，为时的人口总数（单位：万），为经过年后的人口总数（单位：万）.下表为三市2022年人口总数及预计年平均增长率情况：2022年人口总数年平均增长率A市0.02～0.03B市0.04～0.05C市0.03利用上表数据，设A、B、C三市在2032年底人口总数的估计值分别为，，，则（

）A． B．C． D．【变式13-1】（24-25高一上·北京朝阳·期中）函数的图象大致为（

）A． B．

C．

D．

【变式13-2】（2024高三·全国·专题练习）在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（）x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A．y＝2x－2 B．y＝（x2－1）C．y＝log2x D．y＝【变式13-3】（多选）（23-24高一下·全国·课堂例题）已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（

）A．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于B．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于C．当时，增长速度一直快于D．当时，增长速度有时快于【变式13-4】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（

）A．函数减小的速度越来越慢B．在指数函数中，当x>0时，底数越大，其增长速度越快C．不存在一个实数m，使得当时，D．当，时，在区间内，对任意的，总有成立【考点题型十四】指数函数模型的应用【例14】（23-24高一下·安徽芜湖·阶段练习）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（

）（精确到0.1，参考数据：）A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．1.5【变式14-1】（24-25高一上·安徽淮南·期中）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过大约（

）个小时才能驾驶.A． B． C． D．【变式14-2】（2024高二下·湖北·学业考试）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息与本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.按复利计算利息的一种储蓄，本金为10000元，每期利率为，本利和为（单位：元），存期数为，则关于的函数解析式为（

）A． B．C． D．【变式14-3】（23-24高二下·内蒙古兴安盟·期中）内蒙古某地引进了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物浓度N（单位：mg/L）与时长t（单位：h）的关系为（为最初污染物浓度）．如果前2h消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的51.2%还需要（

）A．3h B．4h C．5h D．6h【变式14-4】（24-25高三上·山东济南·阶段练习）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，放到的空气中冷却，后物体的温度是，已知，则的值大约为（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【考点题型十五】对数型函数模型的应用【例15】（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率N的大小，其中叫做信噪比．已知当x比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带W在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至8000，则C大约增加了（附：）【变式15-1】（23-24高一上·北京通州·期末）国家标准对数视力表是由我国第一个眼科光学研究室的创办者缪天荣发明设计的，如图是5米测距下的标准对数视力表的一部分.图中左边一列数据为标准对数记录法记录的近似值L：4.0，4.1，4.2…对应右边一列数据为小数记录法记录的近似值V：0.1，0.12，0.15….已知标准对数记录法的数据L和小数记录法的数据V满足（K为常数）.某同学测得视力的小数记录法数据为0.6，则其标准对数记录法的数据约为（参考数据：，）（

）标准对数视力表

A．4.8 B．4.9 C．5.0 D．5.1【变式15-2】（23-24高一上·北京西城·期末）一种细胞的分裂速度（单位：个/秒）与其年龄（单位：岁）的关系可以用下面的分段函数来表示：其中，而且这种细胞从诞生到死亡，它的分裂速度变化是连续的．若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等，则（

）（参考数据：）A． B． C． D．【变式15-3】（2023·河南·模拟预测）某中学坚持“五育”并举，全面推进素质教育.为了更好地增强学生们的身体素质，校长带领同学们一起做俯卧撑锻炼.锻炼是否达到中等强度运动，简单测量方法为，其中为运动后心率（单位：次/分）与正常时心率的比值，为每个个体的体质健康系数.若介于之间，则达到了中等强度运动；若低于28，则运动不足；若高于34，则运动过量.已知某同学正常时心率为80，体质健康系数，经过俯卧撑后心率（单位：次/分）满足，为俯卧撑个数.已知俯卧撑每组12个，若该同学要达到中等强度运动，则较合适的俯卧撑组数为（