专题07 函数的应用（零点与方程的根、函数模型）（期末专项训练15大题型95题）（解析版）高一数学上学期人教A版

2/24专题07函数的应用（零点与方程的根、函数模型）题型1求函数的零点（常考点）题型9求方程的根及根的个数（重点）题型2用零点存在性定理判断零点所在区间（常考点）题型10二分法的应用（重点）题型3零点存在性定理的概念判断（重点）题型11函数零点与方程的根的综合应用（难点）题型4根据零点所在区间求参数范围题型12函数零点及方程的根解答题（难点）题型5求函数的零点个数（常考点）题型13指数函数模型（常考点）题型6根据函数零点的个数求参数范围（难点）题型14对数函数模型（常考点）题型7比较零点的大小关系题型15建立拟合函数模型解决实际问题（重点）题型8求图象的交点及交点个数（重点）题型一求函数的零点（共5小题）1．（24-25高一上·上海嘉定·期末）函数的零点是.【答案】6【分析】令，解方程求得答案.【详解】令，即，则，，解得或（舍去），所以函数的零点为6.故答案为：6.2．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函数，则函数的零点是.【答案】1和4【分析】由方程，分段求解即可；【详解】令，则，或，解得，或，则函数的零点是和.故答案为：1和43．（24-25高一上·广东·期末）若函数有一个零点是1，则函数的零点是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据的零点是1可得，代入令即可求得的零点.【详解】由题意可得，可得；可得，令，因此，解得或或；因此函数的零点是.故选：D4．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知函数的零点为，的零点为，则.【答案】2【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式的互化关系可得，再利用零点的意义，结合函数的单调性即可求得答案.【详解】依题意，，而函数在R上单调递增，则函数在R上单调递增，而，即，因此，则，所以.故答案为：2【点睛】关键点点睛：利用同构的思想将函数化成是求解的关键.5．（23-24高一下·贵州毕节·期末）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】将两函数的零点分别转化为函数与交点A的横坐标以及函数与交点B的横坐标，再由函数与的图象关于直线对称和与的图象关于直线对称得关于直线对称即可得解.【详解】由题意可得的零点为函数与交点的横坐标，因为和在上递增，所以在上递增，所以为唯一的零点，设函数与交点为A，的零点为函数与交点的横坐标，因为和在上递减，所以在上递减，所以为唯一的零点，设函数与交点为，因为与的图象关于直线对称，与的图象关于直线对称，所以关于直线对称，所以.故选：B.题型二用零点存在性定理判断零点所在区间（共4小题）6．（24-25高一上·河北唐山·期末）设函数，则的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由零点存在性定理逐一判断即可.【详解】因为和为增函数，所以也为增函数，因为，，所以根据零点存在性定理可知的零点一定位于区间内.故选：C.7．（24-25高一上·广东广州·期末）函数的零点所在的一个区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用初等基本函数的单调性得到的单调性，再利用零点存在定理，结合对数函数的单调性即可得解.【详解】因为与在上单调递增，所以在上单调递增，又，则，即，所以，，所以的零点有且只有一个，且所在的一个区间是.故选：D.8．（24-25高一上·山东泰安·期末）函数在上的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判断函数的单调性，然后根据零点存在性定理逐个分析判断.【详解】因为和在上单调递增，所以在上单调递增，对于A，因为，所以在上无零点，所以A错误；对于B，因为，所以在上无零点，所以B错误；对于C，因为，所以在上有唯一零点，所以C正确；对于D，因为，所以在上无零点，所以D错误.故选：C9．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论.【详解】函数的定义域为，对任意的、且，则且，所以，，所以，函数在上为增函数，又因为函数在上为增函数，故函数在上为增函数，因为，，则，由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间是.故选：B.题型三零点存在性定理的概念判断（共5小题）10．（24-25高一上·广东茂名·期末）“函数满足”是“函数在区间上有零点”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】运用充分条件，必要条件概念，结合零点存在性定理判断即可.【详解】若函数满足，根据零点存在定理，如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点.但是这里并没有说明函数在区间上的图象是连续不断的，比如函数，当，时，，但在上没有零点.所以“函数满足”不能推出“函数在区间上有零点”，充分性不成立.若函数在区间上有零点，比如函数在区间上有零点，此时.这说明“函数在区间上有零点”不能推出“函数满足”，必要性不成立.“函数满足”是“函数在区间上有零点”的既不充分也不必要条件.故选：D.11．（24-25高一上·上海·期末）已知函数在上连续，则“”是“方程在内至少有两个解”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．非充分非必要条件【答案】D【分析】根据充分必要条件的定义和零点存在性定理判断.【详解】根据题意，若，则中两正一负，或者三负，只有当时，才能得到方程在和内至少各有一个解，所以“”是“方程在内至少有两个解”的不充分条件；反之，若方程在内至少有两个解，无法确定的符号，所以“”是“方程在内至少有两个解”的不必要条件，所以“”是“方程在内至少有两个解”的非充分非必要条件.故选：D12．（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数在区间上的图象是连续不断地，设，在区间中至少存在一个零点，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据给定条件，利用零点存在性定理及充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】依题意，由，得函数在中至少存在一个零点，即，函数的零点为，而，即推不出，所以是的充分不必要条件.故选：A13．（24-25高一上·山西·月考）已知函数的图象在上连续不断，则“”是“在区间（1，3）上有零点”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】根据零点存在性定理，及定理本身就是充分不必要条件，即可作出判断.【详解】因为函数的图象在上连续不断，若，则在区间（1，3）上有零点，所以“”是“在区间（1，3）上有零点”的充分条件；若，满足在区间（1，3）上有零点，但是，所以“”不是“在区间（1，3）上有零点”的必要条件，所以“”是“在区间（1，3）上有零点”的充分不必要条件．故选:A．14．（22-23高一上·北京海淀·期末）函数在区间上的图像是连续不断的，则“”是“函数在区间上没有零点”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由零点存在性定理，及充分必要条件的判定即可得解.【详解】因为函数在区间上的图像是连续不断的，由零点存在性定理，可知由可得函数在区间上有零点，即由函数在区间上没有零点，可得，而由推不出函数在区间上没有零点，如，，函数在区间上有零点，所以“”是“函数在区间上没有零点”的必要不充分条件.故选：B.题型四根据零点所在区间求参数范围（共4小题）15．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知函数在内有零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理，即可列式求解.【详解】是增函数，也是增函数，所以是上的增函数.因为在内有零点，所以，解得.故选：A16．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的零点在区间内，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由零点存在定理求解．【详解】易知在上是增函数，它的零点在区间上，则，解得，故选：C．17．（24-25高一上·河南开封·期末）已知是函数的零点，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结果.【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在为增函数，因为，，，则，由零点存在定理可得，又因为，，故.故选：B.18．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是.【答案】【分析】分类讨论和两种情况，再利用判别式和零点存在性定理列不等式求解即可.【详解】当时，，令得，符合题意；当时，是二次函数，对于方程，只需，即，解得，且，当时，，此时，得或，符合题意，当时，，此时，得或，符合题意，综上，实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】思路点睛：本题考查函数零点分布.讨论和两种情况，当时，可判断判别式大于零，结合零点存在性定理运算求解.题型五求函数的零点个数（共5小题）19．（24-25高一上·新疆·期末）函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】将的零点转化为和的图象的交点，结合图象确定正确选项.【详解】由，得，在同一坐标系中，作出和的图象，观察图象知，两个函数图象有两个交点，所以零点个数为.故选：C

20．（24-25高一上·福建福州·期末）函数的零点个数是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】本题考查函数的零点与方程的根的关系，可以将函数的零点问题转化为方程等于0的根的个数问题，进一步转化为函数图象的交点个数问题.根据题意作出函数和函数的图象，观察图象即可得出结论.【详解】将函数的零点个数问题转化为函数和函数的图象交点个数问题.如图，作出函数和函数的图象，由图可得函数和函数的图象有5个交点.∴函数的零点有5个.故选：C.21．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的零点个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】先将问题转化为与的图象的交点问题，再由两函数的单调性分析得至多只有两个零点，又由，得到的零点个数，从而得解.【详解】要求的零点，即求与的图象的交点，在同一坐标系中作出与的大致图象，因为与在各自的定义域上都是单调递增，且的增长速度相比的较慢，所以两函数的图象至多只有两个交点，即至多只有两个零点，又，，所以有且只有两个零点.故选：C.22．（24-25高一上·江苏无锡·期末）函数的零点个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】先得到函数的单调性，由零点存在性定理得到存在唯一的，使得，又，故零点个数为2.【详解】定义域为，由于在上单调递增，故在上单调递增，其中，，由零点存在性定值可知，存在唯一的，使得，又，故的零点个数为2.故选：C23．（24-25高一上·陕西·期末）当时，函数的零点个数为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】根据给定条件，利用函数零点的意义，结合函数图象交点个数得解.【详解】由，得，在同一坐标系内作出，，的图象，由图知，两函数的图象的交点有4个，所以当时，函数的零点个数为4.故选：A题型六根据函数零点的个数求参数范围（共8小题）24．（24-25高一上·四川·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函数的单调区间及对应的函数值集合，再由零点个数列出不等式组求解即得答案.【详解】当时，在上单调递减，函数值的集合为，当时，在是单调递增，函数值的集合为，在上单调递减，函数值的集合为，而，由函数有两个零点，得或，解得或，所以实数的取值范围为.故选：C【点睛】关键点睛：涉及用分段函数零点特性求参数范围问题，可以先独立分析各段上的零点，再综合考查所有零点是解决问题的关键.25．（24-25高一下·贵州遵义·期末）已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】借助分段函数性质，分与进行讨论，结合对数函数单调性及其值域可得在上必有一零点，则可得有两个不同非正根，结合根的判别式与韦达定理计算即可得解.【详解】当时，在上单调递增，且值域为，所以必有唯一解；所以当时，有两个不同的根，即有两个不同非正根，并设其两根为，即，解得，由，则，解得，综上所述：的取值范围为，故B项正确.故选：B.26．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作函数的图象，令，条件可转化为有两个根，，，结合二次函数性质列不等式就可得结论.【详解】当时，；当时，．作函数的图象可得，令，则．当时，方程没有解，当时，方程有一个解，当时，方程有两个解，当时，方程有三个解，因为恰有个零点，所以有两个根（不妨设）．所以，由韦达定理可得．要使有个零点，则需满足．设，则．解得，所以实数的取值范围是．故选：C.27．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知函数在区间上有且仅有4个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】当，是增函数，由函数零点存在定理得零点；当时，得且，进而可知零点为，进而可得实数的取值范围.【详解】当时，是增函数，又因为，由函数零点存在定理知，存在，使得.当时，由得，解得且.综上，要使函数在区间上有且仅有4个零点，则零点为，所以，得.故选：B28．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，若有4个零点，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】画出的图象，根据与有个公共点求得的取值范围.【详解】画出的图象如下图所示，有4个零点，即与有个公共点，所以的取值范围是.故选：A29．（24-25高一上·四川绵阳·期末）已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，则转化为，函数有三个不同的零点，转化为有两个根，一个根在另一根在，根据二次方程根的分布即可求解.【详解】令，则，由函数有三个不同的零点，转化为有两个零点，一个零点或另一个零点，则，则一元二次方程的两根为，即的一个根在另一根在，令，则有，即实数的取值范围为，故选：B.30．（24-25高一上·湖北随州·期末）已知函数，若函数恰有3个零点，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用导数研究函数单调性，作出函数的图象，结合图象即可得解.【详解】依题意可得，的图象与直线有3个公共点，因为函数所以当或时，；当或时，.所以在上单调递增，在上单调递减.故的极小值为，极大值为.作出的大致图象，如图所示.由图可知，实数m的取值范围是.故选：A.31．（24-25高一上·吉林长春·期末）设函数有个不同零点，则正实数的范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可得在上有3个不同零点，利用正弦函数的性质列出不等式，解出正实数的范围【详解】当时，令，解得，即在上仅有一个零点，所以只需在上有3个不同零点即可，当时，，所以，即.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于结合正弦函数的性质列不等式，重点关注端点是否取等.题型七比较零点的大小关系（共3小题）32．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知函数的零点分别为，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意分别作出函数及的图象，即可求解.【详解】在同一平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，如图所示．

由图象可知．故B正确.故选:B．33．（23-24高一上·山东日照·期末）若，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由可得，，，由，得，，在同一个平面直角坐标系作出，和的图象，结合图象可得结果.【详解】因为，而当时，，当时，，所以，因为，而当时，，所以，因为，而当时，，所以，由，得，，所以为和图象交点的横坐标，为和图象交点的横坐标，在同一个平面直角坐标系作出，和的图象，如图所示，由图可得综上，故选：A34．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的零点分别为，则大小顺序为.（按由小到大排列）【答案】【分析】根据零点的定义，令，，，据此分别讨论的大致范围，进而得到答案.【详解】由题意，令，即，得，由，即，得，则，得，由，即，得，所以.故答案为：.题型八求图象的交点及交点个数（共8小题）35．（23-24高一上·重庆·期末）函数的交点所在的一个区间是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】构造函数，再根据零点的存在性定理即可得解.【详解】构造函数，因为函数都是增函数，所以函数是增函数，又，所以函数的零点在内，即函数的交点所在的一个区间是.故选：B．36．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数与的图象的交点个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D【分析】在同一坐标系中，作出两个函数的图象，根据图象得到交点个数.【详解】函数与都是偶函数，其中，，在同一坐标系中，作出函数与的图象，如下图，由图可知，两函数的交点个数为6.故选：D37．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）函数的图象与x轴的交点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用函数零点的意义，将问题转化为两个函数图象交点个数求解.【详解】函数的图象与x轴的交点的横坐标，即方程的解，亦即函数的图象交点横坐标，在同一坐标系内作出函数的图象，如图：观察图象知，函数的图象有2个交点，所以函数的图象与x轴的交点个数为2.故选：B38．（24-25高一上·云南玉溪·期末）当时，曲线与的交点个数为．【答案】20【分析】问题化为在上解的个数，结合其周期性确定解的个数，即可得答案.【详解】当时，，即，故正切函数的每个周期内都有一个解，结合正切函数的周期性知，曲线与的交点个数为20个．故答案为：2039．（24-25高一上·福建厦门·期末）设函数，，若曲线与恰有3个交点，则（

）．A． B．1 C．或1 D．2【答案】B【分析】结合偶函数的对称性可知除对称轴处以外两偶函数图象的交点成对出现，由即可得的值，并代入检验即可；【详解】易知函数，均为偶函数，除对称轴处以外两偶函数图象的交点成对出现，由曲线与恰有3个交点可知，，即，解得或1．当时，，，由图象分析可知恰有1个交点，不符合题意；当，，，由图象分析可知符合题意．故选：B．40．（24-25高一上·浙江宁波·期末）若函数与函数的图象有交点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将函数有交点问题转化为方程有解，分离参数，构造函数，利用基本不等式求解函数的值域即可得解.【详解】因为函数与函数的图象有交点，所以方程有解，由，所以在上有解，记，则实数a的取值范围是函数的值域，令，则，当时，；当时，，当且仅当即时，等号成立，又，所以，综上，，所以实数a的取值范围是.故选：B题型九求方程的根及根的个数（共7小题）41．（23-24高一上·江西吉安·期末）下列区间内存在方程的根的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数的零点个数与方程的实根个数的关系，利用零点存在定理结合图形判断即得.【详解】令，显然函数在R上连续，因，故在区间上存在零点，即方程在区间上有实数根．

如图，作出函数和的图象，由图可知和在有两个交点，因，，即，所以在区间上存在零点，即方程在区间上有实数根，由选项可知只有C项符合题意.故选：C.42．（24-25高一上·广东潮州·期末）方程的根的个数是（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】在同一坐标系中，画出和的函数图象求解.【详解】画出和的函数图象，因为，，结合图象可得函数与函数图像的交点个数是5个.故选：A43．（24-25高一上·河南·期中）方程的根的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】将方程的根的个数转化为函数（），（）两函数图象交点个数问题，画图分析即可.【详解】由题意可转化为函数（），（）两函数图象交点问题，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，如图所示，由图得两个函数图象有2个交点，故原方程根的个数为2．故选：B．44．（24-25高一上·上海·期末）函数，其中是一个常数，计算知，则方程的根所在的区间是（

）A． B． C． D．无法确定【答案】B【分析】根据零点存在性定理可求解.【详解】由得，又函数的图象是连续不断的，且单调递增根据零点存在性定理可知，函数f(x)的一个零点，且唯一，即方程的根所在的区间是，故选：B45．（24-25高一上·河南濮阳·期末）已知函数，若，且，则方程的根的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】分析可知为函数与的交点，结合函数对称性即可得结果.【详解】因为，，可知是图象的一个对称中心，是的图象的上顶点，且点为函数与的交点，又是图象的一个对称中心，故关于的对称点也在与的图象上，结合图象可知：方程的根的个数为3．故选：C．46．（23-24高一上·湖北·月考）已知函数，当时，方程的根的个数是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根据题意，画出函数的大致图象，将方程根的问题转化为函数图象交点问题，结合图象，即可得到结果.【详解】

设，则，即，故，因为，故，画出的大致图象，由图象可知与共有6个公共点，故原方程共有6个根.故选：D.47．（22-23高一上·浙江台州·期中）设方程的根为，方程的根为，则的值为（

）A．4 B．2 C．0 D．【答案】A【分析】根据反函数的性质，解得直线的位置关系，建立方程，可得答案.【详解】由题意，作图如下：由方程的根为，则函数与的交点为；由方程的根为，则函数与的交点为.由函数与的图象关于对称，且直线与直线垂直，则与关于直线对称，即，，由题意可得：，，则，，所以.故选：A.题型十二分法的应用（共6小题）48．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）某同学用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示：则该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是（

）A．1.2 B．1.21 C．1.27 D．1.32【答案】C【分析】观察数据，由零点存在性定理得到区间内存在零点，得到答案.【详解】，，由零点存在性定理得，区间内存在零点，由于，，故该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是1.27，其他选项不正确.故选：C49．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】应用零点存在定理结合二分法，不断把区间一分为二计算求解.【详解】由二分法可知，第一次计算，又，，由零点存在性定理知零点在区间上，所以第二次应该计算，又，所以零点在区间上．故选：A．50．（24-25高一上·湖南岳阳·期末）下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定.【详解】对于A，函数在上单调递增，有唯一零点，所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；对于B，函数，故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点；对于C，当时，，当且仅当时，等号成立，无零点；当时，，当且仅当时，等号成立，函数在上单调递减，在上单调递增，此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；对于D，函数在上单调递增，有唯一零点，所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.故选：B51．（23-24高一上·湖北·期末）下列函数图象与x轴均有交点，且已知其解析式，不能用二分法求图中函数零点的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】由函数零点存在性定理和二分法概念对选项逐一判断可得结论.【详解】根据零点存在性定理可知，函数的图象是一段连续不断的曲线，若在区间上满足，则函数在区间上存在零点；根据二分法概念可知，C选项中的图象在零点附近不满足，所以C选项不能用二分法求图中函数零点.故选：C52．（24-25高一上·河南濮阳·期末）（多选）下列所给函数中，不能使用二分法求解其零点所在区间的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据二分法的定义结合零点存在性定理逐个分析判断即可.【详解】对于A，因为和在上连续且单调递增，所以在上连续且单调递增，所以，无零点，不能使用二分法，故A正确；对于B，，当且仅当时取等号，又零点左右函数值同号，不能使用二分法，故B正确；对于C，因为和在上连续且单调递增，所以在上连续且单调递增，因为，所以可以使用二分法，故C错误；对于D，，无零点，不能使用二分法，故D正确．故选：ABD．53．（24-25高一上·广东惠州·期末）已知函数在区间上有一个零点，如果用二分法求的近似值（精确度为），则应将区间至少等分的次数为.【答案】【分析】利用二分法的定义可得出，求出正整数的最小值，即可得解.【详解】由于每等分一次，零点所在区间的长度变为原来的，则等分次后的区间长度变为原来的，由题意可得，可得，且，所以，正整数的最小值为，即至少等分的次数为.故答案为：.题型十一函数零点与方程的根的综合应用（共10小题）单选题54．（24-25高一上·云南曲靖·期末）设函数，若关于x的方程有四个实根、、、，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据分段函数的解析式画出函数图象，结合方程的根的情况找出之间的关系，再据此求取值范围.【详解】根据分段函数可得如下图象：因为方程有四个实根，所以与有四个交点，交点的横坐标分别为，此时，由的性质可知，因为，所以，根据对数运算法则得，即，对于二次函数，因为，且其图象关于对称，所以，即，其中，根据，当且仅当即时，等号成立，所以，当时，此时，则，此时，所以的取值范围为.故选：C.55．（24-25高一上·河南周口·期末）已知函数，若方程有3个不同的实数根，，，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】画出的图象，数形结合得到，令，解得，由韦达定理得到，结合单调性求出，得到答案.【详解】画出的图象，如下：有3个不同的实数根，，，故，令，解得，显然为方程，即的两个根，故，故，因为，在上单调递减，所以.故选：A【点睛】方法点睛：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.56．（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知函数，若存在实数，使得方程有个不同的实数根、、、，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出函数与的图象，由图可得出，分析可知关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理可得出关于的表达式，由可得出、关于的表达式，进而可得出关于的函数关系式，结合函数单调性可求得结果.【详解】作出函数与的图象如下图所示：

由图可得，当时，，由题意可知，关于的方程的两根分别为、，即关于的方程的两根分别为、，由韦达定理可得，由图可得，由得，则，可得，，所以，，所以，，因为函数在上为增函数，故当时，，因此，的取值范围为.故选：C.【点睛】关键点点睛：求解函数零点个数以及范围的问题，关键是画出函数图象，根据题意分析交点间的关系，并结合函数的性质，利用数形结合求解，属于难题.57．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数，若存在实数、、且，使得，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出图形，利用正弦型函数的对称性得出，可得出，求出的取值范围，利用二次函数的基本性质可求得所求代数式的取值范围.【详解】如下图所示：令，解得，故当时，对称轴为直线，则，因为，所以，，又因为，，由可得，则，则，所以，.故选：D.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于结合正弦型函数的对称性以及函数解析式将所求代数式转化为关于某个量的函数，求出变量范围后，转化为值域问题求解.58．（24-25高一上·河南南阳·期末）设函数若恰有两个零点，则实数t的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】作出函数和的图象，确定函数的零点，然后数形结合，【详解】作出函数和的图象，的零点为1，的零点为，由于函数若恰有两个零点，结合图象可知，当时，时，无零点，当时，有零点为，此时恰有两个零点，符合题意；当时，时，有零点1，当时，有零点为，此时恰有三个零点，不符合题意；当时，时，有零点1，当时，有零点为，此时恰有两个零点，符合题意；当时，时，有零点1，当时，没有零点，此时恰有一个零点，不符合题意；综合可知t的取值范围为.故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的零点个数问题，要根据零点个数求解参数的范围，解答的关键是结合函数以及的图象，分类讨论，从而根据零点个数确定参数范围.多选题59．（24-25高一上·浙江杭州·期末）设，若满足关于的方程恰有三个不同的实数解，则下列选项中，一定正确的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】设，得出函数为偶函数，从而有，因此方程必有一解为0，代入得，分和两种情况得出函数的单调性和最值，从而求得，可得选项.【详解】令，则的定义域为，有，故为偶函数，则，故A错误；必有一解为0，则，即，①当时，因时，，故，当且仅当时取等号；②当时，在上递增，，由可得，即解得，又在上递增，，即，解得，，故C、D正确，B错误.故选：CD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数与方程的综合知识，关键点在于构造合适的函数，判断函数的奇偶性，单调性，最值.60．（24-25高一上·四川巴中·期末）已知函数实数满足，且，则（

）A．B．C．D．函数有5个互不相等的零点【答案】ACD【分析】代入求值判断A，画出函数图象，数形结合求出的范围判断B，结合函数的对称性及的范围求解判断C，根据将问题转化为函数的图象分别与交点个数之和，数形结合即可判断D.【详解】函数，所以，所以，故A正确；由实数满足，知函数的图象与有三个不同的交点，作出函数的图象，如图：结合图象，可得，故选项B错误；根据二次函数的对称性知，，又，所以，所以，故C正确；，由题意，所以函数零点个数为三个方程的解的个数之和，即函数的图象分别与，，交点个数之和，由C可知，，，结合图象可知，函数的图象与有一个交点，函数的图象与有三个交点，函数的图象与有一个交点，所以函数有5个互不相等的零点，故D正确.故选：ACD【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．61．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数若函数有四个零点，从小到大依次为，则下列说法正确的是（

）A． B．的最小值为4C． D．方程最多有10个不同的实根【答案】ACD【分析】根据题意结合图象分析可知：，且，根据指数函数性质结合基本不等式分析判断A；根据对数函数性质结合基本不等式分析判断B；根据题意结合函数单调性分析判断C；令，方程化为，讨论的取值范围，结合图象分析判断D.【详解】由，得，函数的零点，即为的图象与直线交点的横坐标，如图，作出函数的图象.如图，，且，对于A，由，得，整理得，即，则，故A正确；对于B，由，得，则，整理得，解得，故B错误；对于C，由，得，解得，则，，因函数在上单调递增，则函数在上单调递增，且，因此，故C正确；对于D，方程，即，令，则，而，①若，则方程无实根，即方程无实根，方程无实根；②若，则方程有2个不相等的实根，且有2个不相等的实根；有3个不相等的实根，方程有5个不相等的实根；③若，则方程有4个不相等的实根满足：，且无实根，有4个不相等的实根，或均有3个不相等的实根，因此方程有10个不相等的实根；④若，则方程有4个不相等的实根满足：，且无实根，或或均有3个不相等的实根，因此方程有9个不相等的实根；⑤若，则方程有3个不相等的实根满足：，且无实根，或均有3个不相等的实根，因此方程有6个不相等的实根；综上，方程最多有10个不同的实根，D正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法：①转化为两个常见的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式（方程）求解；②分离参数、转化为求函数的值域问题求解．填空题62．（24-25高一上·上海静安·期末）若关于的方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围为【答案】【分析】利用常变量分离法，结合二次函数的性质、数形结合思想进行求解即可.【详解】由于关于的方程有4个不同的实数解，当时，原式为，解得，不满足题意；故，则可转化成，所以或，所以或，所以时，是此方程的1个根，故关于的方程有3个不同的非零非4的实数解，所以有3个不同的非零且非4的实数解，即函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，在同一直角坐标系作图：由图可知，即，所以的取值范围为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：利用转化法，结合数形结合思想进行求解是解题的关键.63．（24-25高一上·河北保定·期末）已知奇函数，在上单调，若对任意都有，则解的个数为.【答案】【分析】先求得时的表达式，再根据函数的奇偶性求出时的表达式，然后根据零点存在性定理等知识求得正确答案.【详解】当时，设①，则，由①令得，在上单调递增，且，所以，所以，令，则，所以，因为函数为奇函数，所以，所以，，若时，函数有意义，则，所以，当时，对于方程，即，两边除以得：，令，根据函数解析式分析在上单调递增，，，所以在上有唯一零点，所以方程在上有一个解；当时，代入，有不成立，不是方程的解；当时，对于方程，即，两边除以得：，令，根据函数解析式分析在上单调递增，，，所以在上有唯一零点，所以方程在上有一个解；综上所述，方程在上有两个解.故答案为：【点睛】思路点睛：设定函数并分析单调性：首先设定函数（换元法），并根据定义域和题目条件，分析函数的单调性.利用零点存在性定理判断解的个数：结合函数的单调性和零点存在性定理，判断方程解的个数，从而得出最终结论.题型十二函数零点及方程的根解答题（共10小题）64．（24-25高一上·江西九江·期末）已知函数.(1)若为偶函数，求的值；(2)讨论的零点个数.【答案】(1)；(2)答案见解析.【分析】（1）应用偶函数的性质有恒成立，即可求参数值；（2）设，问题化为分析解的个数，分类讨论判断原函数零点的个数.【详解】（1）依题意，得，即即恒成立，得.（2）令，得设，则由函数在上单调递增，在上单调递减，且最大值为，当时，无零点；当或时，有一个零点；当时，有两个零点.65．（24-25高一上·重庆·期末）若函数.(1)若，求函数的零点：(2)若函数在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）求二次函数的零点等价于解一元二次方程即可求解；（2）利用换元法并分离参数将问题转换为恰好有一个根，构造函数，发现其具有单调性，故问题转换为求的值域即可求解.【详解】（1）若，，若，则或，所以函数的零点是；（2）由题意恰好有一个根，等价于恰好有一个根，即恰好有一个根，令，则函数是增函数，所以的值域是，故所求为.66．（24-25高一上·黑龙江鸡西·期末）已知函数为偶函数，.(1)求的值；(2)若方程有且只有一个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)．【分析】（1）根据是偶函数得，可得，进而可得；（2）由得，设，可得有且只有一个正根，由分类，根据根的分布进而可得.【详解】（1）函数的定义域为，由是偶函数，得，即，则，而不恒为0，所以．（2），依题意，方程有且只有一个实根，即方程有且只有一个实根，令，则方程有且只有一个正根，即方程有且只有一个正根，令函数，①当时，，由，得，不合乎题意；②当时，则，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，，而，要方程有且只有一个正根，则，解得；③当时，则，设方程的两根分别为，则方程有且只有一个正根，因此，所以实数的取值范围是．67．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知（），对任意都有．(1)求的值；(2)若当时方程有唯一实根，求的范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知条件可得的图象关于直线对称，则，再结合的范围可求得结果；（2）令，则，由的单调性，将问题转化为与的图象有一个交点，结合图象从而可求出的范围；【详解】（1）对任意都有，则函数的图象关于直线对称，所以，，而，则，，所以．（2），当时，设，在为增函数，在为减函数，所以方程有唯一实根，等价于与的图象有一个交点，由图象可知或，所以或，所以的范围是．68．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数．(1)若，求函数的单调区间；(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；(3)若函数在区间上有且仅存一个零点，求实数的取值范围．【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为(2)(3)【分析】（1）确定二次函数对称轴即可求解；（2）由，，三种情况分类讨论即可；（3）通过或，结合判别式及零点存在性定理求解；【详解】（1）由条件可得，对称轴为：，由开口向上，所以函数的单调增区间为，单调减区间为；（2），当时，，显然在区间上单调递增，符合；当时，对称轴为：，且开口向上，若函数在区间上单调递增，需满足：，解得：，当时，对称轴为：，且开口向下，若函数在区间上单调递增，需满足：，解得：，综上若函数在区间上单调递增，实数的取值范围；（3）若函数在区间上有且仅存一个零点，当时，由，解得：，符合；当，对于，若，即时，方程有一根，符合，若，①，因为对称轴为：，又，若函数在区间上有且仅存一个零点，需满足：，即，故：；②，对称轴为：，，若函数在区间上有且仅存一个零点，需满足：，且，即且，解得：；综上实数的取值范围是69．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数．(1)若，求实数的取值范围；(2)若当时，关于的方程有且仅有一个实数解，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接根据对数函数性质解不等式即可；（2）问题转化为方程有且仅有一个属于的实数解，再求出在有一解时的范围，然后解相应的不等式即可得．【详解】（1）因为，所以原不等式可化为，所以，解得，所以实数的取值范围为．（2）若当时，关于的方程有且仅有一个实数解，则方程有且仅有一个实数解，所以有且仅有一个属于的实数解．因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且，，当趋向于0时，趋向于，所以或，解得或或，所以实数的取值范围是．70．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数，不等式解集为，(1)设函数在上存在零点，求实数的取值范围；(2)当时，函数的最小值为，求实数的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）解指数不等式得到集合，再判断的单调性，即可得到，解得即可；（2）首先得到，令，，，依题意可得在内的最小值为，即可得到方程（不等式）组，解得即可.【详解】（1）因为，则，解得，即,又因为，且，在内单调递增，则在内单调递增，若函数在上存在零点，则，解得，所以实数的取值范围．（2）因为，令，由可知，则，令，，则在内的最小值为，由的图象开口向上，对称轴为，可得，解得，即实数的值为1．71．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数.(1)判断并用定义证明在上的单调性；(2)若函数恰有4个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)在上单调递增，证明见解析(2)【分析】（1）根据函数的单调性定义即可证明；（2）令可得或.由函数零点与方程根的关系结合函数的图象即可求解.【详解】（1）在上单调递增.证明如下：当时，.设，则.因为，所以，，所以，即，所以在上单调递增.（2）的图象如图所示.因为函数恰有4个零点，所以方程恰有4个解.即或共有4个解.由图知，且或或，解得或或，即实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：，第2小问的解题关键为：将函数有4个零点转化为方程有4个实根，进一步转化为函数的图象与直线及有4个交点，数形结合求解即可.72．（24-25高一上·贵州黔南·期末）已知函数是偶函数，.(1)求函数的解析式；(2)求函数的零点；(3)若函数有零点，求k的取值范围.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）利用偶函数定义求出值即得解析式.（2）由（1）求出函数式，再解方程求出零点.（3）求出并用表示出，再换元分离参数，利用单调性求出最小值得解.【详解】（1）函数的定义域为R，由为偶函数，得，即，则，解得，所以函数的解析式为.（2）函数，则，由，得，而，解得，则，所以有一个零点为.（3）由（1）知，则，方程，化为，令，当且仅当时取等号，即，依题意，方程有实数根，即在时有解，又函数在上单调递增，，则，所以k的取值范围是.73．（24-25高一上·北京顺义·期末）已知函数，且函数是奇函数.(1)求实数的值；(2)设函数，判断函数在区间上的单调性，并证明你的判断；(3)设函数，写出函数的零点个数.（结论不要求证明）【答案】(1)(2)函数在区间上单调递增，证明见解析(3)2个零点【分析】(1)根据奇函数定义，由，代入计算可求得；(2)利用函数单调性的定义证明函数的单调性；(3)借助函数奇偶性和单调性可得零点的个数.【详解】（1）令，解得，所以函数的定义域为.由于函数是奇函数，所以函数在其定义域内满足，则.整理得：，注意到对任意的上式均成立，可得，解得.（2）因为，可知函数在区间上单调递增.证明如下（方法一）：对任意，且，则.因为，可得，即所以函数在区间上单调递增.证明单调性（方法二）：对任意，且，则因为，可得，即，所以函数在区间上单调递增.（3）由题意得,根据第(2)小问得在区间上单调递增，又函数在区间上单调递增，所以在区间上单调递增，当时，，当时，，根据零点存在定理得在区间上存在一个零点，同理可得在区间上存在一个零点，所以函数有2个零点.题型十三指数函数模型（共8小题）74．（24-25高一上·山东威海·期末）某纯净水制造厂在净化水的过程中，每过滤一次可使水中杂质减少50%，若要使水中杂质减少到原来的2%以下，则至少需要过滤（

）A．4次 B．5次 C．6次 D．7次【答案】C【分析】列不等式后根据指数函数的性质求解【详解】每过滤一次可使水中杂质减少50%，设要使水中杂质减少到原来的2%以下至少需要过滤次，则.又，所以.故选：C75．（24-25高一上·云南保山·期末）某市GDP的年平均增长率为，按此增长率，大约经过年后该市GDP会翻一番，则为（参考值，）（

）A．14 B．16 C．18 D．20【答案】A【分析】由题意设某市原有GDP为，经过年后该市GDP会翻一番为，由题意，求解即可.【详解】设某市原有GDP为，经过年后该市GDP会翻一番为，由年平均增长率为，可得，所以，两边取自然对数得，所以，代入参考值得故选：A76．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）荷花定律是一个非常著名的定律.据研究者收集的信息，池塘里荷花开放的程度，有如下规律，第一天开放的只是一小部分，第二天，它们会以前一天的两倍速度开放.到第29天时荷花恰好开满了一半，到第30天才会开满整个池塘.下列函数能较好反映池塘里荷花开放的程度y与时间x（1-30天）之间的变化规律的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由指数函数的运算可得.【详解】由题意“到第29天时荷花恰好开满了一半，到第30天才会开满整个池塘”可得当时的值是时的值的二倍，所以只有指数函数符合.故选：B.77．（24-25高一上·河南驻马店·期末）某放射性物质在衰减过程中，其质量与年数满足关系式（为初始质量，，为常数，）．已知该放射物质经过4年，其质量变为初始质量的，若再经过8年，该放射性物质的质量变为初始质量的（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用指数运算法则列式计算得解.【详解】依题意，，则，再经过8年，即时，，所以再经过8年，该放射性物质的质量变为初始质量的.故选：C78．（24-25高一上·重庆·期末）某催化剂的活性指标K（单位：kgPP/gCat）与反应温度t（单位：℃）满足函数关系：（其中a，b为常数），若在20℃时的活性指标为13kgPP/gCat，在40℃时的活性指标为85kgPP/gCat，则该催化剂在50℃的活性指标为（

）A．252kgPP/gCat B．247kgPP/gCatC．227kgPP/gCat D．127kgPP/gCat【答案】B【分析】由方程，，求得即可求解.【详解】由题意可得：，，两式相减可得：，所以，所以或（舍去），即，所以，所以该催化剂在的活性指标为.故选：B.79．（24-25高一上·四川内江·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为（其中，k是正常数），如果在前5h消除了10%的污染物，则污染物减少50%需要花费的时间约为（

）（本题参考数据：）A． B． C． D．【答案】D【分析】代入数据先得到然后再根据指数函数的运算和对数运算即可求解.【详解】根据题意可知,当为最开始的污染物含量.当时,废气的污染物含量为所以所以当污染物减少时,可设所以所以则所以故选：D.80．（24-25高一上·贵州黔东南·期末）垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似满足关系（其中，），经过24个月，这种垃圾的分解率为,经过48个月，这种垃圾的分解率为，则这种垃圾完全分解大约需要经过（

）个月.（参考数据：）A．80 B．90 C．100 D．120【答案】A【分析】根据已知条件可得出关于的方程组，解之即得的表达式，再由，利用取对数求出的值即可.【详解】由题意，可得，解得，则，这种垃圾完全分解，即分解率为，即，所以，两边取对数，可得：，则.故选：A.81．（24-25高一上·广东广州·期末）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有的物体，放在的空气中冷却，以后物体的温度降为.若将的物体放在的空气中冷却，则物体温度降为所需要的冷却时间为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据，当，时可得得，再代入，即可得结论.【详解】由题意可知，当时，，于是，整理得，当，，有，所以，故，将代入可得，可得，物体温度降为所需要的冷却时间为故选：C.题型十四对数函数模型（共7小题）82．（25-26高一上·上海·期中）中国的5G技术领先世界，在5G技术中，最大数据传输速率取决于信道带宽，与满足，其中称为信噪比（单位：）．若不改变带宽，初始信噪比为1000，那么为了使增加，需要将信噪比从1000提升至大约（

）A．5000 B．6000 C．7000 D．8000【答案】D【分析】结合题意，借助对数运算法则计算即可得.【详解】由题意可得，即有，即.故选：D.83．（24-25高一上·云南德宏·期末）北京时间2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功.据测算，在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.据悉，此次发射火箭全长，起飞质量（火箭起飞质量燃料质量火箭质量），若火箭的最大速度达到，则燃料质量约为（

）（参考数据：）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意得，即，再分析求解即可.【详解】由题意知，所以，即，计算得，即，解得，所以燃料质量约为.故选：C．84．（24-25高一上·广东阳江·期末）大部分大西洋蛙鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵.研究蛙鱼的科学家发现蛙鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（

）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】B【分析】设原来的游速为，则提速后的游速为，原来的耗氧量的单位数为，后来的耗氧量的单位数为，根据题意列方程组，能求出结果．【详解】设原来的游速为，则提速后的游速为，原来的耗氧量的单位数为，后来的耗氧量的单位数为，则，所以，，故，所以若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的倍．故选：B.85．（24-25高一上·河南许昌·期末）假设在不考虑空气阻力的条件下，某型号火箭的最大速度v（单位：）和燃料的质量M（单位：）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：）的函数关系是（k为大于0的常数）．已知当燃料质量是火箭质量的15倍时，火箭的最大速度，则当燃料质量是火箭质量的63倍时，火箭的最大速度（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件求出，再代入当燃料质量是火箭质量的63倍时的表达式可得答案.，【详解】当燃料质量是火箭质量的15倍，火箭的最大速度时，则，得，则当燃料质量是火箭质量的63倍时，火箭的最大速度.故选：D.86．（24-25高一上·云南昆明·期中）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位:）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，那么当耗氧量的单位数为时，鲑鱼的游速为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用对数的运算求解出当耗氧量的单位数为时的值.【详解】根据题意，，则当耗氧量的单位数为时，.故选：C87．（24-25高一上·广西柳州·期末）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位：m/s)可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数，当一条鲑鱼以2m/s的速度游动时，它的耗氧量的单位数为（

）A．8100 B．8000 C．1000 D．1100【答案】A【分析】根据函数模型，将代入解析式，把对数式等价转化为指数式，即可解得的值.【详解】由题意，，则，即，所以.故选：A.88．（24-25高一上·上海奉贤·期末）如果不考虑空气阻力，火箭的最大速度（单位：）与燃料质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）之间的函数关系是，这里表示以为底的自然对数．若已知火箭的最大速度为，火箭的质量约为，则火箭需要加注的燃料质量约为（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意得到方程，得到.【详解】由题意得，即，.故选：B题型十五建立拟合函数模型解决实际问题（共7小题）89．（24-25高一上·江西·期末）近几年，直播平台逐渐被越来越多的人们关注和喜爱．某平台从2021年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2024年，该平台会员每年年．末的人数如下表所示：（注：第4年数据为截止至2024年10月底的数据）建立平台第年1234会员人数（千人）16285286(1)请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算建立该平台年后平台会员人数（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末会员人数：①，②且，③且；(2)为了更好的维护管理平台，该平台规定会员人数不能超过千人，请根据（1）中你选择的函数模型求的最小值．【答案】(1)选择模型③，，100千人．(2)4．【分析】（1）根据表格中的数据可选择模型③，将表格中的数据代入函数模型解析式，求出三个参数的值，即可得出函数模型解析式，再将代入函数模型解析式，即可得解；（2）由已知可得出，令，则，令，求出函数在区间上的最大值，即可得实数k的最小值.【详解】（1）由表格中的数据可知，函数是一个增函数，且函数增长得越来越快，故选择模型③较为合适，由表格中的数据可得，解得所以，函数模型的解析式为，令，预测2024年年末的会员人数为100千人．（2）由题意可得，令，则，令，，则函数的定义域上单调递增，又关于在定义域上单调递减，根据复合函数的单调性，，即．所以的最小值为4．90．（24-25高一上·广东·期末）舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标，它通常通过大数据分析技术，对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析，从而得出一个量化的指数，以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前天，若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于，则认为本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现起第1，2，3天的舆论场指数整理成如下表格：天数123舆论场指数1248156为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据：①；②；③其中含的项的系数均不为0.(1)请从①，②，③中选择一个最合适的函数模型（直接写结果，不用证明）；(2)运用（1）中选取的函数模型，预测第4天时的舆论场指数；(3)若本次舆情不是严重的，求的最小值.【答案】(1)③(2)(3)【分析】（1）根据表格中数据以及指数爆炸模型可得结论；（2）利用待定系数法求得函数解析式，即可做出预测；（3）将问题转化为不等式恒成立再利用二次函数性质可求得结果.【详解】（1）③；根据表格中数据可以看出舆论场指数增长非常快，符合指数函数性质，故选③；（2）将表格数据代入，得，，解得，故函数为，则第4天时的舆论场指数为.（3）若本次舆情不是严重的，则恒成立，原式等于，故两边同时除以，得到，不妨设，故原式等于，整理得，由于在上单调递减，故只需要当时，成立即可，代入得，解得，故的最小值为.91．（24-25高一上·贵州黔东南·期末）近年来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与第天的函数关系近似满足（为常数，且，，），日销售量（单位：件）与第天的部分数据如表所示：5101520254550555045已知第5天的日销售收入为459元.给出以下三个函数模型：①；②；③.(1)请你根据表中的数据，从中选择你认为合适的一种函数模型来描述日销售量与的变化关系，并求出该函数的解析式；(2)设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的解析式；(3)该工艺品的日销售收入哪天最低？最低收入是多少？【答案】(1)选择模型②，(2)，(3)该工艺品的日销售收入第30天最低，最低收入是元【分析】（1）根据题意易知选择函数模型②，从而再根据题意建立方程，即可求解；（2），从而可求的解析式；（3）利用基本不等式及函数单调性，即可求解．【详解】（1）由表格中的数据知，随着x的增大，先增后减，①③函数模型描述的都是单调函数，不符合该数据模型，所以选择函数模型②：，由，可得，解得，因为，解得，则日销售量与时间x的关系式为.（2）因为第5天的日销售收入为459元，则，解得，所以，由（