专题01 集合与常用的逻辑用语（8知识9题型2易错）（期末复习知识清单）（原卷版）

5/5专题01集合与常用的逻辑用语

【清单01】元素与集合（1）集合中元素的三个特性：、、.（2）元素与集合的关系：或，数学符号分别记为：和.（3）集合的表示方法：、、.（4）常见数集和数学符号数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号特别提醒：①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中；②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.集合应满足.③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合.④列举法：把集合的元素出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.⑤描述法：用集合所含元素的表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.【清单02】集合间的基本关系（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中都是集合中的元素，我们就说这两个集合有，称，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）.（2）真子集（propersubset）：如果集合，但，且，我们称集合是集合的，记作（或）.读作“真包含于”或“真包含”.（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作.（4）空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做，记作；是任何集合的，是任何非空集合的

【清单03】集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为∁UA图形表示集合表示【清单04】集合的运算性质（1），，．（2），，．（3），，．【解题方法总结】（1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（3）．（4）,．【清单05】充分条件与必要条件(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的，q是p的．(2)几点说明若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p是q的充要条件p是q的既不充分也不必要条件

【清单06】充要条件(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．(2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．【清单07】全称量词与存在量词（1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做，并用符号“”表示．含有全称量词的命题叫做．全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”．（2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做，并用符号“”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”．【清单08】含有一个量词的命题的否定(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：；(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：．注意：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一．【题型一】集合的三要素【例1】．（25-26高一上·福建泉州·期中）下列所给对象不能构成集合的是（

）A．一个平面内的所有点 B．某校高一（1）班的高个子学生C．所有大于零的正整数 D．不等于0的偶数【变式1-1】．（25-26高一上·福建莆田·期中）下列各组对象不能构成集合的是（）A．中国古代四大发明 B．小于5的正整数C．关于方程的实数解 D．中国著名的数学家【变式1-2】．（25-26高一上·江西九江·月考）（多选题）已知非空数集T满足：对任意的，都有，且集合T中的元素个数不超过4．下列说法正确的是（

）A．T可能为双元素集合 B．T中元素不可能都大于0C．T中所有元素之积为 D．T中所有元素之和可能为【题型二】元素与集合的关系【例2】．（25-26高一上·辽宁辽阳·期中）若，则（

）A． B．1 C．或1 D．或2【变式2-1】．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知集合，则0与集合A的关系为（

）A． B． C． D．【变式2-2】．（25-26高一上·云南文山·月考）若，则，则称是伙伴关系集合，在集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（

）A．16 B．15 C．14 D．13【型三】集合与集合的关系：子集与真子集【例3】．（25-26高一上·上海·期中）设集合，则满足的集合的子集最多个数是（

）．A．4 B．8 C．16 D．32【变式3-1】．（25-26高一上·江苏南京·期中）若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（

）A． B． C． D．无法确定【变式3-2】．（2026高三·全国·专题练习）已知集合，若，则实数的取值集合为（）A． B．C． D．【型四】集合的运算：交集、并集与补集【例4】．（25-26高三上·重庆·月考）已知集合，则（

）A． B．C． D．【变式4-1】．（25-26高一上·广东惠州·月考）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【变式4-2】．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知集合，集合．(1)若，求和．(2)若，求实数的取值范围．

【型五】含有一个量词的命题的否定【例5】．（25-26高一上·辽宁大连·期中）命题“”的否定为（

）A． B．C． D．【变式5-1】．（25-26高一上·江苏南京·期中）命题“，”的否定为（

）A．， B．，C．， D．，【变式5-2】．（24-25高一上·江苏南通·月考）命题：“”的否定是（

）A． B．C． D．【题型六】命题真假的判断【例6】．（25-26高一上·江西赣州·月考）（多选题）下列命题中，是真命题的有（

）．A．已知集合，，则的真子集个数为3B．设集合，，若，则或C．若，，则D．【变式6-1】．（24-25高一上·贵州遵义·月考）（多选题）下面命题正确的是（）A．若且，则，至少有一个大于1B．直角三角形的外心一定不在斜边上C．如果实数集的非空子集是有限集，那么中的元素必然有最大值D．任何分数都是有理数【变式6-2】．（23-24高一上·重庆·期中）（多选题）下列命题是真命题的是（

）A．所有平行四边形的对角线互相平分B．若是无理数，则一定是有理数C．若，则关于的方程有两个负根D．两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比【题型七】根据命题的真假求参数的取值范围【例7】．（25-26高一上·山东聊城·期中）若“，”是真命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式7-1】．（25-26高一上·北京·月考）已知命题p：，；命题q：，，若命题p，q均为假命题，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【变式7-2】．（24-25高一上·江苏苏州·月考）已知命题，都有，命题存在，若与不全为真命题，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【题型八】充分、必要及充要条件的判断【例8】．（25-26高一上·江苏南京·期中）“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式8-1】．（25-26高一上·广东深圳·期中）“”是“幂函数在区间上单调递减”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【题型九】根据充分、必要及充要条件求参数的取值范围【例9】．（25-26高三上·广东梅州·月考）已知“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为．【变式9-1】．（25-26高一上·河北衡水·期中）已知集合，非空集合．若是的必要条件，则实数的取值范围是．【变式9-2】．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知集合，．(1)当时，求；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

【易错题型一】在解含参数集合问题时忽略空集易错分析：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合就有可能忽视了，导致解题结果错误．尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况．考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面．【例1】．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知命题，命题．(1)已知，命题都是真命题，求的取值范围；(2)若是的充分不必要条件，求的取值范围．【变式1-1】．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知集合，.(1)若，求和；(2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数的取值范围.

【易错题型二】在解含参数集合问题时忽略空集易错分析：(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p