专题01 集合与常用的逻辑用语（8知识9题型2易错）（期末复习知识清单）（解析版）

5/5专题01集合与常用的逻辑用语【答案】一、1、确定性无序性互异性2、属于或不属于3、列举法描述法、韦恩图二、1、为的子集，记作（或）2、是的真子集，记作（或）3、我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作4、集合与集合相等，记作.5、若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．三、1、A∩B={x|x∈A，且x∈B}2、A∪B={x|x∈A，或x∈B}3、∁UA={x|x∈U，且x∉A}四、1、p⇒q且q⇏p2、p⇏q且q⇒p3、p⇔q五、1、“所有的”、“任意一个”2、“存在一个”、“至少有一个”六、1、p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)；2、p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)．

【清单01】元素与集合（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.（2）元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为：和.（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）.（4）常见数集和数学符号数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号或特别提醒：①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中；②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.集合应满足.③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合.④列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.⑤描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.【清单02】集合间的基本关系（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）.（2）真子集（propersubset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于”或“真包含”.（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作.（4）空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

【清单03】集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为∁UA图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}【清单04】集合的运算性质（1），，．（2），，．（3），，．【解题方法总结】（1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（3）．（4）,．【清单05】充分条件与必要条件(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)几点说明若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p

【清单06】充要条件(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．(2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．【清单07】全称量词与存在量词（1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”．（2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”．【清单08】含有一个量词的命题的否定(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)；(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)．注意：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一．【题型一】集合的三要素【例1】．（25-26高一上·福建泉州·期中）下列所给对象不能构成集合的是（

）A．一个平面内的所有点 B．某校高一（1）班的高个子学生C．所有大于零的正整数 D．不等于0的偶数【答案】B【难度】0.94【知识点】判断元素能否构成集合【分析】根据集合的定义一一判断即可．【详解】对于A，“一个平面内的所有点”是确定的，能构成集合，故A不符合题意；对于B，“某校高一（1）班的高个子学生”的标准不确定，因而不能构成集合，故B符合题意；对于C，“所有大于零的正整数”的标准确定，能构成集合，故C不符合题意；对于D，“不等于0的偶数”的标准确定，能构成集合，故D不符合题意.故选：B.【变式1-1】．（25-26高一上·福建莆田·期中）下列各组对象不能构成集合的是（）A．中国古代四大发明 B．小于5的正整数C．关于方程的实数解 D．中国著名的数学家【答案】D【难度】0.85【知识点】判断元素能否构成集合【分析】根据集合的意义，逐项判断即可.【详解】对于A，中国古代四大发明可以明确可知，故可以构成集合；对于B，小于5的正整数明确可知，可以构成集合；对于C，关于方程的实数解有明确的解，可以构成集合；对于D，中国著名的数学家，对著名没有明确的标准，不可以构成集合.故选：D.【变式1-2】．（25-26高一上·江西九江·月考）（多选题）已知非空数集T满足：对任意的，都有，且集合T中的元素个数不超过4．下列说法正确的是（

）A．T可能为双元素集合 B．T中元素不可能都大于0C．T中所有元素之积为 D．T中所有元素之和可能为【答案】BCD【难度】0.65【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、集合新定义【分析】根据题意得，，得，逐项判断即可.【详解】由，，得，，要使得T为双元素集合，则x，，中必有两个相等，另外一个和它们不相等．因为，，，所以T不可能是双元素集合，所以A错误．由上知，T中必有三个元素，所以，则，所以B正确，C正确．当时，，，所以D正确．故选：BCD【题型二】元素与集合的关系【例2】．（25-26高一上·辽宁辽阳·期中）若，则（

）A． B．1 C．或1 D．或2【答案】A【难度】0.94【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据元素与集合的关系求参数【分析】根据元素与集合的关系，结合互异性即可求解.【详解】若，则，，不符合题意；若，则（舍去）或，则，符合题意．故选：A【变式2-1】．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知集合，则0与集合A的关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.85【知识点】判断元素与集合的关系【分析】先求出集合，再判断元素与集合的关系.【详解】，因为元素与集合的关系是属于和不属于，所以.故选：A.【变式2-2】．（25-26高一上·云南文山·月考）若，则，则称是伙伴关系集合，在集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（

）A．16 B．15 C．14 D．13【答案】B【难度】0.65【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义【分析】由已知，根据给出的定义列举出所有满足条件的情况即可.【详解】时，则；时，则；时，则；时，则，集合的所有满足新定义的元素有6个，那么，，，，，，，，，，，，，，，共有15个.故选：B【型三】集合与集合的关系：子集与真子集【例3】．（25-26高一上·上海·期中）设集合，则满足的集合的子集最多个数是（

）．A．4 B．8 C．16 D．32【答案】C【难度】0.85【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数【分析】先由并集分析集合的元素可能个数，再求子集个数即可.【详解】因为集合，则满足，所以集合的元素可能是2个，3个，4个，所以集合的子集最多个数是个.故选：C【变式3-1】．（25-26高一上·江苏南京·期中）若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（

）A． B． C． D．无法确定【答案】A【难度】0.85【知识点】判断两个集合是否相等【分析】对分奇偶进行讨论，即可判断集合，之间的关系.【详解】对于集合，当时，，当时，，所以.故选：A.【变式3-2】．（2026高三·全国·专题练习）已知集合，若，则实数的取值集合为（）A． B．C． D．【答案】B【难度】0.65【知识点】根据两个集合相等求参数【分析】根据，可得，再分和两种情况讨论即可.【详解】因为，所以，当时，则，所以，得，此时；当时，则，所以，所以，所以，则，此时，综上所述，实数的取值集合为.故选：B.【型四】集合的运算：交集、并集与补集【例4】．（25-26高三上·重庆·月考）已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】C【难度】0.85【知识点】交集的概念及运算、列举法表示集合【分析】应用列举法表示出集合，再由集合的交运算求结果.【详解】由题设，，所以.故选：C【变式4-1】．（25-26高一上·广东惠州·月考）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【难度】0.94【知识点】并集的概念及运算【分析】根据并集的定义进行运算即可.【详解】因为，，所以.故选：B.【变式4-2】．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知集合，集合．(1)若，求和．(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)，或(2)【难度】0.65【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、并集的概念及运算【分析】（1）解分式不等式求得集合，进而求得，可求和．（2）由题意可得，分与讨论，列出不等式，计算可求得实数的取值范围.【详解】（1）由，得，所以，所以所以，解得，所以，所以，当时，，所以，或；（2）由，则，由（1）可知若，则，解得，满足；若，由，得，解得，即，综上所述：实数的取值范围为．【型五】含有一个量词的命题的否定【例5】．（25-26高一上·辽宁大连·期中）命题“”的否定为（

）A． B．C． D．【答案】C【难度】0.85【知识点】特称命题的否定及其真假判断【分析】根据题意，结合全称量词命题与存在量词命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可知命题“”的否定为“”.故选：C.【变式5-1】．（25-26高一上·江苏南京·期中）命题“，”的否定为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【难度】0.94【知识点】全称命题的否定及其真假判断【分析】根据全称命题的否定是存在量词命题即可得到答案.【详解】命题“”的否定为“”.故选：A.【变式5-2】．（24-25高一上·江苏南通·月考）命题：“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】B【难度】0.94【知识点】特称命题的否定及其真假判断【分析】根据存在量词命题否定的结构形式可得正确的选项.【详解】命题：“”为存在量词命题，故其否定为：，故选：B.【题型六】命题真假的判断【例6】．（25-26高一上·江西赣州·月考）（多选题）下列命题中，是真命题的有（

）．A．已知集合，，则的真子集个数为3B．设集合，，若，则或C．若，，则D．【答案】AD【难度】0.4【知识点】判断命题的真假、判断集合的子集（真子集）的个数、交集的概念及运算、根据两个集合相等求参数【分析】对于A计算进而得的真子集个数即可判断，对于B由计算，验证是否满足集合的互异性即可判断，对于C根据不等式的性质即可得的范围进而判断，对于D根据集合的子集的定义即可判断.【详解】对于A，因为集合，，所以．故的真子集个数为3，A为真命题；对于B，集合，，由，得或，解得或，当时，，符合题意；当时，，不符合题意，所以，B为假命题；对于C，因为，所以．因为，所以，所以，C为假命题；对于D，，所以，所以，D为真命题．故选：AD．【变式6-1】．（24-25高一上·贵州遵义·月考）（多选题）下面命题正确的是（）A．若且，则，至少有一个大于1B．直角三角形的外心一定不在斜边上C．如果实数集的非空子集是有限集，那么中的元素必然有最大值D．任何分数都是有理数【答案】ACD【难度】0.85【知识点】判断命题的真假、判断元素与集合的关系【分析】借助反证法可得A、C；结合直线三角形性质与外心定义可得B；利用分数与有理数定义可得D.【详解】对A：假设，都小于或等于，则，与已知矛盾，故假设错误，故A正确；对B：直角三角形的外心在斜边中点,故B错误；对C：假设非空集合中的元素无最大值，则集合必为无限集，这与实数集的非空子集是有限集矛盾，故中的元素必然有最大值，故C正确；对D：由有理数定义可知，任何分数都是有理数，故D正确.故选：ACD.【变式6-2】．（23-24高一上·重庆·期中）（多选题）下列命题是真命题的是（

）A．所有平行四边形的对角线互相平分B．若是无理数，则一定是有理数C．若，则关于的方程有两个负根D．两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比【答案】AD【难度】0.94【知识点】判断命题的真假【分析】根据真命题的定义对各个选项逐一判断即可.【详解】对于A，所有平行四边形的对角线互相平分，所以A正确；对于B，当时，是无理数，所以B错误；对于C，由关于的方程有两个负根，得解得，所以C错误．对于D，两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比，所以D正确．故选：AD【题型七】根据命题的真假求参数的取值范围【例7】．（25-26高一上·山东聊城·期中）若“，”是真命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【难度】0.85【知识点】根据全称命题的真假求参数【分析】由，且，分析得解.【详解】因为，且，所以等价于，则，所以实数的取值范围为.故选：C.【变式7-1】．（25-26高一上·北京·月考）已知命题p：，；命题q：，，若命题p，q均为假命题，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【难度】0.65【知识点】根据或且非的真假求参数、根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数【分析】结合全称量词命题及存在量词命题的真假关系即可求解．【详解】命题p：，；命题q：，，若命题p，q均为假命题，则，为真命题，且，为真命题.在上恒成立，且有解，故且，解得或.故选：D.【变式7-2】．（24-25高一上·江苏苏州·月考）已知命题，都有，命题存在，若与不全为真命题，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【难度】0.85【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数【分析】求得为真命题，实数的取值范围；为真命题，实数的取值范围；进而可得与全为真命题时，实数的取值范围，进而可得结论.【详解】若为真命题，则，又，所以，所以，若为真命题，则有解，所以，解得或，所以与全为真命题时，实数的取值范围是或，所以与不全为真命题，则实数的取值范围是或.故选：D.【题型八】充分、必要及充要条件的判断【例8】．（25-26高一上·江苏南京·期中）“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【难度】0.85【知识点】判断命题的充分不必要条件【分析】先求解出方程的根，然后根据互相推出关系判断出结果.【详解】由解得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.【变式8-1】．（25-26高一上·广东深圳·期中）“”是“幂函数在区间上单调递减”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【难度】0.65【知识点】由幂函数的单调性求参数、充要条件的证明、根据函数是幂函数求参数值【分析】先根据幂函数的定义求出的值，再结合函数单调性判断条件.【详解】是幂函数，则，求解得，，时，在区间上单调递减，充分性成立，时，在区间上单调递增，故舍去，若幂函数在区间上单调递减，则，必要性成立，因此“”是“幂函数在区间上单调递减”的充要条件，故选：A【题型九】根据充分、必要及充要条件求参数的取值范围【例9】．（25-26高三上·广东梅州·月考）已知“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为．【答案】．【难度】0.65【知识点】根据充分不必要条件求参数【分析】根据充分不必要条件判断集合间的包含关系，进而列出不等式，求出参数范围即可.【详解】由题可得：，，因为“”是“”的充分不必要条件，则集合是集合的真子集；所以，解得：，检验：时，，满足条件；时，，满足条件；所以综上，实数的取值范围为：；故答案为：【变式9-1】．（25-26高一上·河北衡水·期中）已知集合，非空集合．若是的必要条件，则实数的取值范围是．【答案】【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数、必要条件【分析】由题意得是的子集，再根据包含关系列出不等式组即可求解.【详解】因为是的必要条件，所以是的子集，所以，解得，所以的取值范围是.故答案为：.【变式9-2】．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知集合，．(1)当时，求；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、根据充分不必要条件求参数【分析】（1）根据交集的定义域运算直接得出结果；（2）根据充分条件、必要条件的定义可得，结合集合的包含关系建立关于的不等式组，解之即可求解.【详解】（1）当时，，所以.（2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集.由，知集合为非空集合，则且等号不能同时成立，解得，即实数的取值范围为.

【易错题型一】在解含参数集合问题时忽略空集易错分析：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合就有可能忽视了，导致解题结果错误．尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况．考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面．【例1】．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知命题，命题．(1)已知，命题都是真命题，求的取值范围；(2)若是的充分不必要条件，求的取值范围．【答案】(1)(2)【难度】0.65【知识点】根据充分不必要条件求参数、已知命题的真假求参数【分析】（1）代入，根据命题为真命题分别表示出对应的取值范围，再由集合交集运算可知结果；（2）根据和进行分类讨论，然后可求结果.【详解】（1）当时，，当为真命题时，的取值范围是，当为真命题时，的取值范围是，当都是真命题时，因为，所以的取值范围是.（2）当时，命题对应的集合为，且，故满足条件；当时，若为真命题，则，且为真命题时，，因为是的充分不必要条件，所以，解得(经检验，取等号时满足