广西南宁市2025-2026学年高二上学期12月教学质量检测数学试卷（含答案）

广西南宁市2025-2026学年高二上学期12月教学质量检测数学试题一、单选题1．设集合，则（

）A． B．C． D．2．在复平面内，复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知点是点在平面内的射影，则（

）A． B．9 C． D．184．椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为（

）A．8 B．12 C．32 D．725．若构成空间的一个基底，则下列选项中的向量也可以作为基底的是（

）A． B．C． D．6．已知函数是周期为4的偶函数，且当时，，则（

）A． B．2 C． D．47．已知直线与圆交于两点，则的最大值为（

）A． B． C． D．8．数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，，则的欧拉线方程为（

）A． B．C． D．二、多选题9．已知直线，直线，则下列选项正确的是（

）A．直线在轴上的截距为B．直线的斜率为C．若，则D．若，则10．如图，这是某一容量为100的样本的频率分布直方图，若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则（

）A．样本数据落在内的频数为48B．样本数据落在内的频率为0.1C．样本数据的平均数约为11.52D．样本数据的分位数约为1311．将函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的，再将所得图像向左平移个单位长度，得到偶函数的图像，则下列正确的有（

）A．B．C．图像的一个对称中心为D．的单调递减区间为三、填空题12．在一段线路中并联两个自动控制的常用开关，只要其中有一个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是，则这段时间内线路正常工作的概率为.13．双曲线的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的离心率为．14．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则．四、解答题15．在中，角所对的边分别为，已知．(1)求的面积；(2)求的值；(3)求外接圆的面积．16．已知圆，直线过点．(1)若直线在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程；(2)若直线与圆相切，求直线的方程．17．如图，在四棱锥中，平面，，，，，．(1)求；(2)求异面直线与夹角的余弦值；(3)求直线与平面所成角的大小．18．曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小．已知椭圆上点处的曲率半径公式为．已知椭圆上所有点相应的曲率半径的最大值为，最小值为．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程：(3)记椭圆的左焦点为，为椭圆上一动点，定点，求的最大值．19．已知双曲线的左顶点为，过点的直线与圆交于两点，且的最小值为，当直线平行于双曲线的渐近线时，点到直线的距离为．(1)求双曲线的方程．(2)若直线，与双曲线分别交于，两点（均不与重合），试判断直线是否过定点．若过定点，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．

1．D2．A3．C4．B5．D6．B7．D8．B9．AC10．ACD11．BCD12．0.91/13．14．1215．（1）因为，所以；（2）在中，，由余弦定理可得，所以；（3）由（2）可得，又，在中，由正弦定理可得，所以，所以外接圆的面积为．16．（1）由题意可知：满足条件的直线的斜率存在，且不为0，设直线的斜率为，则直线的方程为，令，解得；令，解得；可知直线在坐标轴上的截距分别为，则，解得或，所以直线的方程为或.（2）圆即为，可知圆心为，半径，若直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，即，可得圆心到直线的距离，解得，所以直线的方程为；若直线的斜率不存在，直线的方程为，可得圆心到直线的距离，符合题意；综上所述：直线的方程为或.17．（1）因为平面，，以为坐标原点，分别为轴，与直线平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，可得，，则，，所以.（2）由（1）可知：，，则，所以异面直线与夹角的余弦值为.（3）由（1）可知：，，，设平面的法向量为，则，令，则，可得，设直线与平面所成角为，则，可得，所以直线与平面所成角的大小为.18．（1）因为点在椭圆上，则，即，可得，因为，则，可得，所以，则，，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）因为，可知点在椭圆内，直线与椭圆必相交，设，，则线段的中点坐标为，可得，，，因为点，在椭圆内，则，两式相减得，整理可得，即，可得，所以直线的方程为，即.（3）由题意可知：，则椭圆的左、右焦点分别为，，因为，即，则，当且仅当点在的延长线上时，等号成立，所以的最大值为.19．（1）圆的圆心为，半径，因为直线过点，可知当且仅当直线，取得最小值，此时，即，解得，则，双曲线的渐近线方程为，即，直线平行于双曲线的渐近线时，直线的方程为，且点到直线的距离为，解得，所以双曲线的方程为.（2）由题意可知：直线的斜率可能不存在，但不为0，直线与圆必相交，设直线，，，，联立方程，消去x可得，则，，设直线，的斜率分别为，，则，即，若直线的斜率存在，可设直线，，联立方程，消去y可得，则，可得，，因为，整理可得，则，整