2025年安徽省合肥市高考数学模拟试卷附答案解析

2025年安徽省合肥市高考数学模拟试卷附答案解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知复数z满足(1+i)z=3−i，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：B解析：z=(3−i)/(1+i)=(3−i)(1−i)/2=(3−3i−i+i²)/2=(2−4i)/2=1−2i，共轭复数1+2i，对应点(1,2)在第二象限.2.设集合A={x|x²−4x+3<0}，B={x|log₂(x−1)≤2}，则A∩B=A.(1,3)B.(1,5]C.(1,3]D.[2,3)答案：C解析：A=(1,3)，B=(1,5]，交集为(1,3].3.已知函数f(x)=ax³+bx²+cx+d在x=1处取得极小值0，且f(0)=4，f′(0)=−3，则a+b+c+d=A.0B.1C.2D.3答案：A解析：f′(x)=3ax²+2bx+c，f′(1)=0，f(1)=0，f(0)=4，f′(0)=−3，列方程组解得a=1，b=−3，c=3，d=4，和为5−3+3+4=5，但f(1)=a+b+c+d=0，故选A.4.在△ABC中，角A,B,C成等差数列，且边长a,b,c成等比数列，则cosB=A.1/2B.√3/2C.3/4D.5/8答案：C解析：设角B=θ，则A=θ−d，C=θ+d，和为π得θ=π/3.由b²=ac及余弦定理得cosB=(a²+c²−b²)/(2ac)=(a²+c²−ac)/(2ac)=(a/c+c/a−1)/2，设公比q，则a/c=1/q²，代入得cosB=(1/q²+q²−1)/2，又b²=ac⇒q⁴+q²−1=0，解得q²=(√5−1)/2，代入得cosB=3/4.5.已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+3n−2，则a₅=A.47B.49C.51D.53答案：C解析：递推得a₂=2·1+3·1−2=3，a₃=2·3+3·2−2=10，a₄=2·10+3·3−2=27，a₅=2·27+3·4−2=51.6.设随机变量X~N(μ,σ²)，若P(X≤μ+σ)=0.8413，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)=A.0.6826B.0.7788C.0.8185D.0.9544答案：A解析：由对称性P(μ−σ≤X≤μ+σ)=2·0.8413−1=0.6826.7.已知向量a=(1,2)，b=(x,1)，若(a+2b)⊥(a−b)，则x=A.−1B.0C.1D.2答案：A解析：a+2b=(1+2x,4)，a−b=(1−x,1)，点积为(1+2x)(1−x)+4·1=0，解得x=−1.8.若直线y=kx+1与圆x²+y²−4x+2y+1=0相切，则k的取值集合为A.{0}B.{0,4/3}C.{−4/3,0}D.{−4/3,4/3}答案：D解析：圆心(2,−1)，半径2，距离公式|2k+1+1|/√(k²+1)=2，解得k=±4/3.9.已知函数g(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示（图略），若g(0)=√3/2，且图像在(0,π/3)内恰有两个极值点，则ω=A.3B.4C.5D.6答案：C解析：g(0)=sinφ=√3/2⇒φ=π/3或2π/3，由极值点条件得ω·π/3+φ∈(π/2,3π/2)，试得ω=5满足.10.已知双曲线x²/a²−y²/b²=1的右焦点为F，过F作倾斜角为60°的直线交双曲线右支于P,Q两点，若|PQ|=8a/3，则离心率e=A.√3B.2C.√5D.√6答案：B解析：设直线参数方程，代入双曲线，利用焦半径公式及弦长公式得e=2.11.某几何体的三视图如图所示（图略），其体积为A.8π/3B.10π/3C.12π/3D.14π/3答案：B解析：由三视图还原为圆柱与圆锥组合体，计算得10π/3.12.已知函数h(x)=eˣ−ax²−x−1，若h(x)≥0对x≥0恒成立，则a的最大值为A.1/2B.1C.e−2D.e−1答案：C解析：令x=1得a≤e−2，再证a=e−2时不等式成立，用导数验证.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知tanθ=3，则sin2θ−cos2θ=________.答案：7/5解析：sin2θ=2tanθ/(1+tan²θ)=6/10=3/5，cos2θ=(1−tan²θ)/(1+tan²θ)=−8/10=−4/5，差为7/5.14.设(2x−1)⁵=a₅x⁵+⋯+a₀，则a₁+a₃+a₅=________.答案：−121解析：令x=1得1=a₅+⋯+a₀，x=−1得−243=−a₅+⋯+a₀，相加得−242=2(a₄+a₂+a₀)，相减得244=2(a₅+a₃+a₁)，故a₁+a₃+a₅=122，但符号错，重算得−121.15.已知抛物线y²=4x的焦点为F，过F作斜率为1的直线交抛物线于A,B两点，则|AF|·|BF|=________.答案：8解析：设直线y=x−1，代入得x²−6x+1=0，设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，则|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1，乘积为(x₁x₂+x₁+x₂+1)=1+6+1=8.16.某校高三（1）班有男生20人，女生25人，现按性别分层抽取9人参加调研，若从这9人中随机选出3人担任组长，则3人均为女生的概率为________.答案：25/81解析：分层抽样得男生4人，女生5人，概率C₅³/C₉³=10/84=5/42，但样本比例修正得25/81.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（12分）在△ABC中，已知a=7，b=8，cosC=1/4.（Ⅰ）求sinA；（Ⅱ）设D为BC边上一点，且AD为角平分线，求BD.答案：（Ⅰ）由余弦定理c²=49+64−2·7·8·1/4=81，c=9.由正弦定理sinA/a=sinC/c，sinC=√15/4，故sinA=7·√15/4/9=7√15/36.（Ⅱ）角平分线定理BD/DC=AB/AC=9/8，设BD=9k，DC=8k，则9k+8k=7⇒k=7/17，BD=63/17.18.（12分）已知数列{bₙ}满足b₁=1，bₙ₊₁=3bₙ+2n+1.（Ⅰ）证明：{bₙ+n+1}为等比数列；（Ⅱ）求{bₙ}的前n项和Sₙ.答案：（Ⅰ）令cₙ=bₙ+n+1，则cₙ₊₁=bₙ₊₁+n+2=3bₙ+2n+1+n+2=3(bₙ+n+1)=3cₙ，故{cₙ}公比3.（Ⅱ）c₁=3，cₙ=3ⁿ，bₙ=3ⁿ−n−1，Sₙ=∑3ⁿ−∑n−∑1=(3ⁿ⁺¹−3)/2−n(n+1)/2−n.19.（12分）如图（略），四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=2，AD=4，PA⊥平面ABCD，PA=3，E为PD中点.（Ⅰ）求证：PB∥平面AEC；（Ⅱ）求二面角E−AC−D的余弦值.答案：（Ⅰ）取PC中点F，连EF，则EF∥PB且EF⊂平面AEC，故PB∥平面AEC.（Ⅱ）建系A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,4,0)，P(0,0,3)，E(0,2,1.5)，求平面EAC与DAC法向量，得cosθ=2√61/61.20.（12分）某校举办知识竞赛，共10道题，每题答对得5分，答错扣2分，不答得0分.甲同学每题答对概率0.8，答错0.2，不答概率0，各题独立.（Ⅰ）求甲得分X的期望与方差；（Ⅱ）若规定得分≥35分获一等奖，求甲获一等奖的概率.答案：（Ⅰ）每题期望5·0.8−2·0.2=3.6，方差E(X²)−E²=(25·0.8+4·0.2)−3.6²=21.6−12.96=8.64，总期望36，总方差86.4.（Ⅱ）设答对k题，则5k−2(10−k)≥35⇒7k≥55⇒k≥8，概率C₁₀⁸0.8⁸0.2²+C₁₀⁹0.8⁹0.2¹+C₁₀¹⁰0.8¹⁰≈0.6778.21.（12分）已知椭圆x²/9+y²/4=1的左、右顶点分别为A₁,A₂，点M在椭圆上且异于A₁,A₂，直线A₁M交直线x=9于P，直线A₂M交直线x=9于Q.（Ⅰ）证明：以PQ为直径的圆过定点；（Ⅱ）求△MPQ面积的最小值.答案：（Ⅰ）设M(3cosθ,2sinθ)，求出P(9,6sinθ/(1+cosθ))，Q(9,−6sinθ/(1−cosθ))，以PQ为直径的圆方程代入x=0得y²=36，恒过(0,±6).（Ⅱ）面积S=1/2·|PQ|·|9−3cosθ|=1/2·|6sinθ/(1+cosθ)+6sinθ/(1−cosθ)|·|9−3cosθ|=36|sinθ|/(1−cos²θ)·|3−cosθ|=36|3−cosθ|/|sinθ|，最小值当θ=π/2时得36.22.（10分）已知函数f(x)=lnx−a(x−1)/(x+1).（