第三单元 第11课时　一次函数的实际应用

第三单元函数第11课时一次函数的实际应用1多设问串核心3分层作业本2江苏真题随堂练一、购买问题1.

中国传统手工艺品不仅是古代先民智慧和勤劳的结

晶，也是各地传统风俗的体现.某工艺品店计划购进油纸伞和团扇若干把

进行销售，已知售出10把油纸伞和20把团扇共收入2240元，其中油纸伞

的销售单价比团扇的销售单价贵8元.(1)求油纸伞和团扇的销售单价分别为多少元？

答：油纸伞的销售单价为80元，团扇的销售单价为72元；多设问串核心(2)为满足市场需求，某工艺品店准备第二次购入油纸伞和团扇共400把，

且购入油纸伞的数量不超过团扇数量的3倍，每把油纸伞，团扇的进价分

别为60元，54元，假设全部售出，求分别购入油纸伞和团扇多少把时，工

艺品店获得的利润最大；(2)设购入团扇m把，则购入油纸伞(400－m)把，∵购入油纸伞的数量不超过团扇数量的3倍，∴400－m≤3m，解得m≥100.设获得的利润为z元，则z=(80－60)(400－m)＋(72－54)m=－2m＋8000，油纸伞的销售单价为80元，团扇的销售单价为72元∵－2＜0，∴z随m的增大而减小，∴当m=100时，z取最大值，∴油纸伞为400－100=300(把).答：购入油纸伞300把，团扇100把时，工艺品店获得的利润最大；(3)某学校计划在该店购买油纸伞和团扇共100把用于表演，且购买团扇的

数量不超过油纸伞数量的3倍，请你设计出最省钱的方案.(3)设购买油纸伞a把，则购买团扇(100－a)把，购买所需的费用为W元.由题意得W=80a＋72(100－a)=8a＋7200，∵8＞0，∴W随a的增大而增大，∴当a取最小值时，W有最小值.∵100－a≤3a，解得a≥25，∴当a=25时，W取得最小值，∴100－a=75(把).答：当购买油纸伞25把，团扇75把时，最省钱.油纸伞的销售单价为80元，团扇的销售单价为72元二、行程问题2.

甲、乙两人相约一起跑步，他们同时从A地出发，甲先

匀速跑步，中途休息一段时间后，再以原速度匀速跑到B地，乙全程匀速

跑到B地，最后两人同时到达B地，在此过程中，他们距离A地的距离

y(米)与经过的时间x(分钟)之间的函数关系如图所示.(1)A，B两地的距离为

米，他们从A地到B地经过的时间

为

⁠分钟；【解法提示】由图象得，A，B两地的距离为4

000米，甲、乙两人同时到

达B地，经过的时间为26分钟.400026(2)图中a的值为

，甲中途休息了

⁠分钟；【解法提示】由图象得，甲从第16分钟到第26分钟跑的路程为4000－

2000=2000(米)，用时10分钟，∵甲的速度不变，∴甲休息前跑的2000米所用时间为10分钟，∴a=10；DE段表示甲休息时的图象，∴甲休息的时间为16－10=6(分钟).106(3)点M表示的实际意义是

⁠

⁠；(4)求y2与x之间的函数表达式；(4)设y2=kx(k≠0)，由图象得，F(26，4000)，∴4000=26k，

在甲、乙两人从A地出发后到达B地前，两

人相遇(5)请说明甲、乙两人在从A地到达B地的过程中，他们两人之间的距离随

时间的变化情况.(5)∵甲10分钟跑2000米，乙26分钟跑4000米，

∴甲跑步的速度＞乙跑步的速度.设两人之间的距离为s(米)，他们两人之间的距离随时间的变化情况如解

图所示，甲、乙两人同时从A地出发，两人之间的距离逐渐增大，直至甲

开始休息，在甲休息的过程中，乙继续跑步，两人之间的距离逐渐减小，

直至两人相遇(此时两人之间的距离为0)，随后乙超过甲，两人之间的距

离逐渐增大，甲休息完继续开始跑步，两人之间的距离逐渐减小，直至两

人同时到达B地，两人之间的距离为0.解图江苏真题随堂练命题点一次函数的实际应用类型一购买问题(3年1考)1.(2023扬州26题)近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大.

某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共

花费2

920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元.(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？解：(1)设甲种头盔的单价是a元，则乙种头盔的单价是(a－11)元，由题意得20a＋30(a－11)=2920，解得a=65，∴a－11=65－11=54.答：甲种头盔的单价是65元，乙种头盔的单价是54元；甲种头盔的单价是65元，乙种头盔的单价是54元(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促

销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只

降价6元出售.如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一

半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最

小费用是多少元？(2)设再次购进甲种头盔x只，则再次购进乙种头盔(40－x)只，总费用为

w元，由题意得w=65x×80%＋(54－6)∙(40－x)=4x＋1920，

答：应购买14只甲种头盔，可使此次购买头盔的总费用最小，最小费用是

1976元.类型二行程问题(3年3考)2.(2023淮安25题)快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地

行驶，快车到达乙地卸装货物用时30min，结束后，立即按原路以另一速

度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为70km/h.两车之间的距

离y(km)与慢车行驶的时间x(h)的函数图象如图所示.(1)请解释图中点A的实际意义；解：(1)点A的实际意义为快车从甲地出发3h后到达乙地，此时两车相距

120km；(2)求出图中线段AB所表示的函数表达式；(2)∵快车到达乙地卸装货物用时30min，

∴B(3.5，85).设线段AB所在直线的函数表达式为y=kx＋b(k≠0)，将A(3，120)，B(3.5，85)分别代入y=kx＋b中，

∴线段AB所表示的函数表达式为y=－70x＋330(3≤x≤3.5)；(3)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还

需多长时间.(3)由(2)可知B(3.5，85)，∴快车从返回到遇见慢车所用的时间为4－3.5=0.5(h)，∴快车从乙地返回甲地时的速度为85÷0.5－70=100(km/h)，由题图可知慢车行驶4h与甲车相遇，∴相遇点与甲地的距离为4×70=280(km)，∴280÷100=2.8(h)，即两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，到达甲地还需2.8h.类型三方案问题(3年1考)3.(2025连云港22题)如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方

形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等.(1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两

种纸盒各多少个？

答：用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片恰好能制作甲种纸盒40

个，乙种纸盒80个；(2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数

量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片？

答：至少需要134张正方形硬纸片.类型四阶梯收费问题(3年1考)4.(2023连云港25题)目前，我市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基

础、年为计算周期设定了如下表的三个气量阶梯：阶梯年用气量销售价格备注第一阶梯0~400m3(含400)的部分2.67元/m3若家庭人口超过4人

的，每增加1人，第

一、二阶梯年用气量的上限分别增加100m3、200m3.第二阶梯400~1200m3(含1

200)的部分3.15元/m3第三阶梯1200m3以上的部分3.63元/m3(1)一户家庭人口为3人，年用气量为200m3，则该年此户需缴纳燃气费用

为

⁠元；(2)一户家庭人口不超过4人，年用气量为xm3(x＞1200)，该年此户需缴

纳燃气费用为y元，求

y与

x的函数表达式；解：(2)y与x的函数表达式为y=400×2.67＋(1200－400)×3.15＋3.63∙(x

－1200)=3.63x－768(x＞1200)；534(3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳的燃

气费用均为3855元，求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气？(结果精

确到1m3)(3)∵400×2.67＋(1200－400)×3.15=3588＜3855，∴甲户该年的用气量达到了第三阶梯，由(2)知，当y=3855时，3.63x－768=3855，解得x≈1273.6，∵2.67×(100＋400)＋3.15×(1200＋200－500)=4170＞3855，且2.67×(100＋400)=1335＜3855，答：该年乙户比甲户多用约26立方米的燃气.∴乙户该年的用气量达到第二阶梯，但未达到第三阶梯，设乙户该年用气量为am3，则有2.67×500＋3.15(a－500)=3855，解得a=1300.0，∴1300.0－1273.6=26.4≈26m3.类型五工程问题5.(2023南通24题)为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块

运动场地.现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：信息一工程队每天施工面积(单位：m2)每天施工费用(单位：元)甲x＋3003600乙x2200(1)求x的值；

解得x=600，经检验，x=600是原方程的解，且符合题意，∴x=600；信息二(2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施

工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于15000m2.该段时间内体

育中心至少需要支付多少施工费用？(2)设甲工程队单独施工