材料力学(西安交大版)教学课件NO9压杆稳定

材料力学9.1稳定性的概念9.2两端铰支细长压杆的临界压力9.3其他支座条件下细长压杆的临界压力9.4临界压力9.5压杆稳定性的校核9.6提高压杆稳定性的措施第9章压杆稳定前面研究物体或结构的平衡问题时，只是要求满足平衡方程，而并没有考虑该平衡状态在外界的干扰下是否能够维持。如果外界的微小干扰不能打破该平衡状态，称之为稳定平衡；反之则称之为不稳定平衡。比如在光滑面上放一个小球，小球在重力和支持力作用下平衡，如图9-1所示。图9-1

9.1稳定性的概念如图9-2(a)所示，刚性杆AB在铅直力F作用下平衡，A端铰支，B端由弹性系数为k的水平弹簧连接，杆铅垂时弹簧为自由状态。B点存在横向的微小位移δ，弹簧拉力Fk=kδ，如图9-2(b)所示。

9.1稳定性的概念图9-2当力F较小时，弹簧拉力Fk对A点之矩大于铅直力F之矩，即Fkl>Fδ，AB杆将回到铅直的平衡位置，此平衡是稳定的。当力F足够大时，它对A点之矩大于弹簧拉力Fk之矩，即Fδ>Fkl，AB杆将继续倾倒，此平衡是不稳定的。当Fδ=Fkl时，AB杆可以在铅直位置附近的任意位置平衡，是稳定和不稳定的过渡状态。此时的作用力F称为临界载荷，即Fcr=kl。

9.1稳定性的概念下面是一个弹性杆受轴向压缩的问题。取一根长为300mm，横截面尺寸为20mm×1mm的钢板尺，许用应力［σ］=196MPa，按强度条件求得其轴向承压的许可载荷为F=3.92kN。实际上，两端压力不到40N钢板尺就被明显压弯。显然，钢板尺在远未达到强度极限时，就已经不能承受轴向压力，即不能维持原有平衡状态，此时弹性杆失去了稳定性，简称失稳或屈曲。当压力较小时，不发生失稳是稳定平衡状态；当压力大于某一临界值时发生失稳，此临界值就是弹性压杆的临界压力。确定压杆的临界压力是解决压杆稳定性问题的首要任务。

9.1稳定性的概念弹性构件还存在其他形式的稳定性问题。例如，均匀外压作用下的球形薄壳在外压达到临界值时，会突然发生局部内凹，如图(a)中虚线所示；均匀外压作用下的圆柱形薄壳在达到临界压力时，局部截面会突然变成扁圆，如图(b)中虚线所示；板条悬臂梁在端部集中载荷作用下发生弯曲变形，当载荷达到临界值时，会突然发生侧向偏转，如图(c)所示；

9.1稳定性的概念圆柱形薄壳在轴向压力或扭矩作用下，会突然出现局部折皱；简支平板四边受压发生屈曲，产生横向位移等。失稳后构件的承载能力会突然下降，甚至完全丧失。由于构件的失稳具有突然性，造成结构的破坏也是十分严重的，有时会发生灾难性事故。因此，研究构件的弹性稳定性是特别必要的。

9.1稳定性的概念图9-4

9.1稳定性的概念需要指出的是，本章研究的压杆是轴线为直线、材料均匀的理想压杆，承受的载荷在轴线上。而实际的压杆由于制造的缺陷，轴线往往存在初曲率，材料也不均匀，压力作用线也不可能与轴线完全重合，所以工程上的受压杆件的临界压力略低于理论结果。

9.1稳定性的概念图中给出了压杆横向最大挠度w和轴向压力F之间的关系。可以看出，当实际压力较小时，杆件已经开始弯曲变形（曲线OF）；当压力接近临界值时，弯曲挠度增加很快。当杆件制作得越精确，压力越对中，则试验曲线就越接近于理论结果。

9.1稳定性的概念

9.2两端铰支细长压杆的临界压力某两端球形铰支的细长压杆如图9-6(a)所示。该压杆为等直压杆，材料均匀，承受轴向压力F的作用。当轴向压力达到临界值Fcr时，压杆可以在任意微小的弯曲位置保持平衡状态。建立图9-6所示的坐标系，设在压力F作用下压杆微弯时任意截面的挠度为w，弯矩为M，则M=Fw。考虑到图9-6(b)中弯矩的方向，采用挠曲线近似微分方程，得

即（9-1）图9-5

9.2两端铰支细长压杆的临界压力令

，式（9-1）可写为

w″+k2w=0

(9-2)此二阶常微分方程的通解为

w=Asinkx+Bcoskx

(9-3)式中，A、B为积分常数，可通过压杆的位移边界条件确定。考虑压杆左端的铰支边界条件x=0时，w=0，有

B=0再考虑压杆右端的铰支边界条件x=l时，w=0，有Asinkl=0

(9-4)

9.2两端铰支细长压杆的临界压力

9.2两端铰支细长压杆的临界压力上述推导过程中采用了挠曲线近似微分方程，压杆中点的挠度A很小，而且不确定。当弯曲变形较大时，应采用精确的挠曲线微分方程式(6-2)计算压杆的挠曲线。图9-5中曲线AC给出了中点挠度w和压力F关系的精确理论解。挠度越趋于零，近似解和精确解的差别越小。由于挠曲线微分方程仅适用于线弹性变形，所以式(9-7)要求压杆内的应力不能超过材料的比例极限σp。

9.2两端铰支细长压杆的临界压力【例9-1】

9.2两端铰支细长压杆的临界压力解：挺杆横截面的惯性矩为

挺杆上端并未完全固定，可以看成两端铰支的细长压杆，根据式(9-7)计算挺杆的临界压力为

9.2两端铰支细长压杆的临界压力

9.3其他支座条件下细长压杆的临界压力压杆的临界载荷不但与压杆本身的材料和尺寸有关，而且与支座条件关系很大。其他支座条件下细长压杆的临界压力可通过类似的方法推导。也可以应用变形比较的方法得到某种支座条件下压杆的临界压力。如图9-8(a)所示，一端固定另一端自由的细长压杆AB。在轴向压力作用下处于微弯平衡状态，由于其挠曲线微分方程及其通解与两端铰支细长压杆相同，所以挠曲线形状也一样。如果把其挠曲线对称地向下延伸一倍，得到的曲线与两端铰支压杆的挠曲线相同，如图9-8(b)所示。也就是说，两个固定自由细长压杆的变形可组成一个两端铰支细长压杆的变形。此时的临界压力相当于长度为2l的两端铰支细长压杆的临界压力，即

(9-9)同样，两端固定的细长压杆失稳后的形状如图9-8(c)，曲线有两个拐点(反弯点)，拐点处弯矩为零。曲线两个拐点之间的距离为l/2。1/2个两端固定细长压杆的变形就相当于两端铰支细长压杆的变形，其临界压力为

(9-10)

显然，也可认为端部长度的变形相当于固定自由细长压杆的变形，以此来计算其临界压力。

9.3其他支座条件下细长压杆的临界压力如果细长压杆失稳时的变形情况不易与两端铰支细长压杆的变形比较，就要从挠曲线微分方程出发，引入位移边界条件，通过微分方程的有解条件确定其临界压力。比如，一端固支、另一端简支的细长压杆AB失稳时的变形如图9-9(a)所示，它不易采用变形比较。若设简支端B处的支座横向反力为FB，距A端为x的截面的挠度为w［见图9-9(b)］，则其挠曲线微分方程为

9.3其他支座条件下细长压杆的临界压力

9.3其他支座条件下细长压杆的临界压力

9.3其他支座条件下细长压杆的临界压力图9-9

9.3其他支座条件下细长压杆的临界压力可见，固支-简支的细长压杆失稳时，C点为挠曲线的拐点。长度约为0.7l的BC段相当于两端铰支的细长压杆，如图9-9(a)所示。将不同支座条件的细长压杆的临界压力计算公式统一写成

(9-16)

式中，μl表示把压杆折算成两端铰支杆的长度，或者说原压杆失稳时相当于两端铰支杆的长度，称为相当长度

，μ称为长度因数。式(9-16)又称为细长压杆临界压力的欧拉公式，它适用于细长压杆发生弹性失稳的情形。表9-1列出了几种杆端约束条件下细长压杆的临界压力。

9.3其他支座条件下细长压杆的临界压力

9.3其他支座条件下细长压杆的临界压力应当指出，实际工程中，杆端的约束情况是复杂的，理想的固定端和铰支端约束是不多见的。实际杆端的连接情况往往介于固定端和铰支端之间，很难简单地将其归纳为哪一种理想约束。这就应该根据实际情况进行具体分析，看其与哪种理想约束情况接近，从而定出近乎实际的长度因数μ。有时为了简单起见，将有一定固结程度的杆端简化为铰支端，这样简化是偏于安全的。对于各种实际的杆端约束情况，压杆的长度因素μ值可从有关的设计手册和规范中查到。

9.3其他支座条件下细长压杆的临界压力【例9-2】

9.3其他支座条件下细长压杆的临界压力解：(1)计算在xy平面内失稳时的临界力。此时两端为铰支，长度因数μ=1，根据式(9-16)得临界力为(2)计算在xz平面内失稳时的临界力。此时认为两端固定，长度因数μ=0.5，根据式(9-16)得

9.3其他支座条件下细长压杆的临界压力(3)比较上面两种情况下的临界力值，显然压杆首先在xy平面内发生失稳，故此压杆的临界力为

Fcr=F″cr=259kN

有时杆件两端铰链在xz平面内并非完全加紧，有微小的活动余量。工程上可把该平面内的约束简化为一端固定、另一端铰支的情况，取μ=0.7，此时F″cr=235kN，则压杆的临界力为

9.3其他支座条件下细长压杆的临界压力若从压杆的强度考虑，Q235钢的屈服点σs=235MPa，使此压杆产生塑性屈服破坏的轴向压力为Fs=σsA=235MPa×40mm×60mm=564×103

N=564kN由于Fcr<Fs，因此该细长压杆的承载能力是由其稳定性来决定的。

9.3其他支座条件下细长压杆的临界压力

9.4临界应力当压杆上的压力达到临界压力时，压杆处于直线或近似直线(微弯)平衡状态，横截面上的压应力可以认为平均分布，称为临界应力，用σcr表示。根据欧拉公式，细长压杆的临界应力表达式为

(9-17)式中，为横截面的惯性半径(回转半径)。引入无量纲的参数

(9-18)临界应力的表达式变为

(9-19)

可见，λ越大，压杆的临界应力越小，杆越容易失稳。λ体现了压杆失稳的容易程度，称为压杆的柔度或长细比。它综合反映了杆端约束、压杆长度和截面几何性质对临界应力的影响。

9.4临界应力通过前面学习知道，应用欧拉公式时材料要在弹性范围内，也就是临界应力不应超过比例极限σp，即

或可见，要应用欧拉公式计算压杆的临界压力，压杆的柔度λ不能低于一个极限值，即

(9-20)

9.4临界应力

λ1与材料的弹性模量E和比例极限σp有关，不同材料的λ1是不同的。例如，Q235钢材，弹性模量E=206GPa，比例极限σp=200MPa，则

而铝合金材料的弹性模量E=10GPa，比例极限σp=175MPa，则

所以，Q235的压杆在λ≥100时才可以用欧拉公式求其临界压力，而铝合金压杆只需λ≥62.8就可以。

9.4临界应力若压杆的柔度λ＜λ1，则其临界应力σcr超过了材料的比例极限σp，就不能再用欧拉公式计算其临界压力。应力超出比例极限时，压杆进入非线弹性状态。非细长压杆的临界应力计算一般采用经验公式。经验公式的依据是大量的试验结果和分析，常见的经验公式有直线公式和抛物线公式。

9.4临界应力对由合金钢、铝合金、铸铁、松木等制作的非细长压杆，可用直线经验公式计算临界应力。该经验公式的一般表达式为

(9-21）式中，a和b是与材料性能有关的常数（单位：MPa）。

9.4临界应力

9.4临界应力柔度很小的短杆（如压缩用的金属短柱或水泥块），受压时并不会出现弯曲变形。其破坏主要是因为应力达到屈服极限(塑性材料)或强度极限(脆性材料)而造成的，所以σcr应不大于材料的压缩强度极限σcu。例如，塑性材料的压缩极限应力为屈服极限σs，则应有

或

9.4临界应力可见，对于非细长压杆，应用直线经验公式计算临界应力，其柔度的最小值为

(9-22)若λ<λ2，就应利用强度条件判断其安全性，即

(9-23)对于脆性材料，只需将上面的极限应力换用压缩强度极限表示。

9.4临界应力总之，当压杆的柔度λ≥λ1时为大柔度杆，用欧拉公式计算其临界应力；当λ<λ2时，压杆称为小柔度杆，要按强度问题处理；当λ1>λ≥λ2

时，压杆称为中柔度杆，应用直线经验公式计算其临界应力。在上述三种情况中，用σcu表示材料压缩极限应力，临界应力(或极限应力)随柔度的变化曲线如图9-11所示，称为压杆的临界应力图。

9.4临界应力图9-11

9.4临界应力

对由结构钢、低合金结构钢等材料制作的非细长压杆，也可用抛物线经验公式计算其临界应力，该公式的一般表达式为

σcr=a1-b1λ2

(0<λ<λC)(9-24）式中，a1和b1也是与材料性能有关的常数；λC为抛物线经验公式与欧拉公式分界点的柔度。比如，Q235钢：λC=123，a1=235MPa，b1=0.00669MPa；16锰钢：λC=102，a1=343MPa，b1=0.0142MPa。

9.4临界应力根据欧拉公式和抛物线经验公式也可以作出压杆的临界应力图，如图9-12所示。图9-12

9.4临界应力【例9-3】图9-13

9.4临界应力由式(9-18)，丝杠的柔度为

从表9-2中查得，硅钢的λ2=60，λ1=100，此丝杆的柔度介于两者之间，为中柔度杆，故应按经验公式计算其临界力。(2)计算临界力。从表9-2中查得a=578MPa，b=3.744MPa，由式(9-21)可得临界应力为

σcr=a-bλ=578MPa-3.744MPa×75=297.2MPa故丝杠的临界力为

9.4临界应力

9.5压杆的稳定校核实际的受压杆件在稳定性方面要有一定的安全储备。设构件的临界应力为σcr，考虑稳定性，要求其工作应力σ应满足

(9-25)式中，nst为稳定安全因数。压杆的稳定条件式(9-25)也可写为

或(9-26)式中，Fcr=Aσcr为压杆的临界压力；F为压杆的工作压力；n称为工作安全因数。实际压杆可能存在初曲率、压力偏心、材料不均匀和支座缺陷等不利因素，降低了临界压力。由于这些因素对压杆的稳定性影响大于对强度问题的影响，所以稳定安全因数nst一般比强度问题的安全因数大。满足式(9-26)的压杆既符合稳定性条件，又符合强度条件。

9.5压杆的稳定校核利用压杆的稳定性条件可以进行压杆的稳定性校核、确定许用载荷和设计截面三方面的工作。应当指出，临界压力的计算无论采用欧拉公式还是经验公式，都是以整个杆件的整体弯曲变形为基础的。局部的截面削弱对压杆的稳定性影响很小，稳定性计算中一般不需考虑，但必要时应对削弱了的横截面进行强度校核。

9.5压杆的稳定校核压杆稳定性问题的解题步骤如下：（1）判断结构中的压杆，计算压杆的工作压力F。（2）计算压杆的柔度λ=μl/i，判断属于哪类压杆。如果压杆在多个方向都存在失稳的可能，就要计算各个方向上的柔度。取柔度较大的方向进行稳定性计算。（3）计算临界压力Fcr=Aσcr，当λ≥λ1时，采用欧拉公式计算；当λ<λ1时，采用经验公式计算。（4）应用压杆稳定性条件求解许用载荷或截面尺寸，或进行稳定性校核。也可以计算工作应力，然后和临界应力比较求解稳定性问题。

9.5压杆的稳定校核【例9-4】

9.5压杆的稳定校核图9-14

9.5压杆的稳定校核(2)计算两杆的许可轴力。AC杆为拉杆，其许可轴力由强度条件确定；AB杆是压杆，其许可轴力由稳定条件确定。由型钢表查得AC杆总的横截面面积A1=2×5.688cm2=1137.6mm2，AB杆的横截面面积A2=2×14.3cm2=2860mm2，惯性半径i=41.4mm。根据杆的强度条件

9.5压杆的稳定校核

9.5压杆的稳定校核【例9-5】图6-10

9.5压杆的稳定校核

解：该结构为超静定结构，在主动力F作用下，杆2的变形大于杆1的变形，其轴力也大于杆1，所以杆2首先发生失稳，但是此时结构仍能够承载。只有当杆1也达到临界载荷时，结构才会失稳。此时结构的变形很小，杆1和杆2的轴力均为其临界压力。结构受力如图9-15所示，列平衡方程，即

9.5压杆的稳定校核主动力达到Fmax时，结构达到失稳的临界状态。此时，

，代入平衡方程，可得

从例题中可以看出，解决此超静定结构的稳定性问题时并没有求解超静定。由于结构失稳的临界状态变形很小，两杆均处于微弯状态，它们的轴力都可以按其临界载荷考虑。

9.5压杆的稳定校核压杆的临界压力和临界应力的大小反映了压杆稳定性的高低。由压杆的临界应力图可知，压杆的临界应力与材料的机械性能和压杆的柔度有关。根据柔度的表达式可知，横截面的截面形状和尺寸、压杆的长度和约束条件对压杆的稳定性影响较大。构件的加工和安装对压杆的稳定性也有影响。因此可根据这些因素，采用适当的措施来提高压杆的稳定性。

9.6提高压杆稳定性的措施尽量减少压杆杆长1.因为细长杆的临界压力与杆长的平方成反比，所以减少压杆的支承长度可以十分有效地降低压杆的柔度、提高压杆的稳定性。在条件允许的情况下，应尽可能减少压杆的长度。例如，把图(a)中的桁架改为图(b)中所示的结构，压杆①、④的稳定性会得到明显提高。

9.6提高压杆稳定性的措施图所示为空气压缩机的结构示意图，如果把活塞与活塞杆在A处的固支改为压力通过B处传递，则受压杆长度可由l减到l1，从而大大提高活塞杆的抗失稳能力。

9.6提高压杆稳定性的措施加强压杆的约束条件2.长度因数μ反映了约束条件对压杆临界载荷的影响程度。通过增强压杆的现有约束可以减小长度因数μ，也就降低了压杆柔度、提高了压杆稳定性。例如，将自由端换为铰支、铰支端换为固定都是压杆约束的加强。表9-1给出的是压杆在理想约束下的长度因数，而实际约束很难达到理想状态。实际上，柱形铰链的侧向约束并非完全不能转动，轴承对轴的约束也与轴承的长度有关。通过减小实际约束与构件之间的间隙和增加约束的长度等办法改善实际约束，也可以使约束情况得到一定的加强，从而接近于理想约束。增加中间约束也是提高压杆稳定性的有效办法。

9.6提高压杆稳定性的措施图9-4(a)所示钢铁厂无缝钢管车间的穿孔机，在顶杆中段增加了一个抱辊装置，加强了对顶杆的约束，因而可轧制强度较高的材料；图9-4(d)所示车床上的丝杠与溜板间的联系除对开螺母外，增加一导套，这样加强了溜板丝杠的约束作用，因而增强了丝杠的稳定性；塔式起重机的塔身在建筑物上的附着和脚手架的水平横杆均增加了压杆的中间约束，提高了塔身和脚手架竖杆的稳定性。

9.6提高压杆稳定性的措施合理选择截面形状3.在横截面面积不变的情况下，设法增加横截面的惯性矩I和惯性半径i是减小压杆的柔度、提高压杆的稳定性的又一方法。为此，应尽量使截面材料远离截面的中性轴。比如空心圆管的临界应力就要比相同截面积的实心圆杆的临界压力大得多。当然，也不能为了取得较大的I和i而无限制地增加截面尺寸，这将使压杆变成薄壁构件，有发生褶皱而引起局部失稳的危险。

9.6