第1章 有理数期末复习（知识清单）（答案版）-浙教版(2024)七上

第1章有理数1.整数包括正整数、0和负整数；分数包括正分数和负分数.2.有理数的概念：整数和分数统称为有理数．3.有理数的分类：（1）按概念分：；（2）按符号分：．4.数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．（3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动．5.数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理教，还可以表示其他数，比如π.6.一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.7.只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.

（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.（5）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.（6）互为相反数的两数和为0.7.绝对值的定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．8.绝对值的性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．9.绝对值的求法（1）0除外，绝对值为一个正数的数有两个，它们互为相反数．（2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．10.数轴法比较有理数的大小：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小.如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．11.有理数大小比较的符号法则两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：－个数为0正数与0：正数大于0负数与0：负数小于0两数异号正数大于负数两数同号同为正号：绝对值大的数大同为负号：绝对值大的反而小利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小.一、有理数及其概念1.相反意义的量错误：判断相反意义的量时不按规定确认正负数；注意：首先确定正数表示的含义，然后确定一个数据所表示的数的正负，然后再写出这个数。例1负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中，负数与对应的正数“数量相等，意义相反”．若气温上升6°C记作+6°C，则气温下降5°C记作【答案】-【分析】本题考查了正数和负数表示相反意义的量，由气温上升记为正，则气温下降记为负，由此即可得解，熟练掌握正数和负数的意义是解此题的关键．【详解】解：若气温上升6°C记作+6°C，则气温下降5°C故答案为：-5例2找出下列各组相反意义的量：①向南走20米；②进球8个；③高于海平面500米；④盈利2000元；⑤运出粮食330吨；⑥失球3个；⑦亏损286元；⑧运进粮食520吨；⑨向北走30米；⑩低于海平面46米．【答案】具有相反意义的量分别为：①与⑨；②与⑥；③与⑩；④与⑦；⑤与⑧【分析】具有相反意义的量必须是同类量，且只具有相反意义，量不一定相同，所以要先看它们是否是同一类量，再看它们是否意义相反，据此进行逐个分析即可作答．本题考查了正负数的意义．【详解】解：依题意，具有相反意义的量分别为：①与⑨；②与⑥；③与⑩；④与⑦；⑤与⑧．2.根据规则表示有理数错误：未正确阅读表示数的规则，导致表示错误，如下题中：如下表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，横式和纵式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示，则“”所表示的数是．错误的答案有：65、652、﹣65等注意：如上题所述的算筹的定义中，需要注意三点：①判断是几位数；②判断每个位数上的数是多少；③判断这个数的正负。因此“”表示的数应为：﹣652。例3中国古代的算筹计数法可追溯到公元前5世纪．摆法有纵式和横式两种（如图所示），以算筹计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……这样纵横依次交替，宋代以后出现了笔算，在个位数划上斜线以表示负数，如表示﹣752，表示2369，则表示．【答案】-【分析】本题考查了应用类问题．根据算筹记数的规定可知，“”表示一个4位负数，再查图找出对应关系即可得表示的数．【详解】解：由已知可得：“”表示的是4位负整数，是-7516．故答案为：-7516二、有理数的分类1.分类时忽略“0”的分类错误：在分类时忘记将“0”分类进去，如将整数只分为正整数和负整数；有理数只分为正数与分数.注意：整数可以分为正整数，0和负整数，因此也需要知道：0既不是正整数，也不是负整数。例4在13.9，-26，+13，0，-0.6，+45这些数中，正数有()，负数有【答案】13.9，+13，+45-26【分析】本题主要考查了有理数的知识，熟练掌握相关概念是解题关键．比0大的数叫正数，正数前面常有一个符号“+”，通常可以省略不写；比0小的数叫做负数，负数用负号“-”和一个正数标记．利用正数、负数和0的意义可得出答案．【详解】解：在13.9，-26，+13，0，-正数有13.9，+13，负数有-26，-0既不是正数也不是负数．故答案为：13.9，+13，+45；-26，-2.判断一个数的类别时考虑不全错误：只考虑有理数的正负性，或者只考虑有理数是整数还是分数。比如将-3注意：在对每个数判断类别时，要充分。例5在以下各数中：167；-0.05；-614；-3.3145；+10；-2.3；【答案】6【分析】本题主要考查了分数的定义，负分数是小于0有限小数和无限循环小数的统称，据此可得答案．【详解】解：在数167；-0.05；-614；-3.3145；+10；-2.3；-227；0；-0.101001；323中，属于负分数的，-故答案为；6．3.无限不循环小数不是有理数错误：认为π是有理数，对标了分数13注意：π是无限不循环小数，不是有理数；而分数是有限小数或无限循环小数，是有理数。例6下列7个数，-74，1.010010001，433，0，-2，0.12，-3.2626626662…（每两个2A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】D【分析】本题考查了有理数的概念，解题的关键是根据有理数的定义（整数和分数，即有限小数或无限循环小数），逐一判断各数是否属于有理数．【详解】解：-74，1.010010001，433，0，-2，0.12，-3.2626626662...-71.010010001：有限小数，属于有理数．433：分数形式，化为小数是无限循环小数0.0：整数，属于有理数．-20.12：有限小数，属于有理数．-3.2626626662…（每两个2之间依次多一个6综上，前6个数均为有理数，共6个故选：D．三、数轴及作图1.画图时忽略数轴的三要素错误：画图时未规定正方向，或者漏掉原点的标注，或者没有规定单位长度。注意：原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可2.数轴的单位长度不一致错误：注意：例7下列所画数轴正确的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查了数轴，规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．根据数轴的三要素进行判定即可．【详解】解：A、缺少单位长度，本选项不符合题意；B、缺少正方向，本选项不符合题意；C、三要素具备，本选项符合题意；D、不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，本选项不符合题意．故选：C．3.有理数与数轴上的点的对应关系错误：认为数轴上的点与有理数一一对应注意：每一个有理数都能在数轴上找到唯一对应的点，但反之不成立，有些点不表示有理数。例8公元十七世纪，法国数学家笛卡尔从蜘蛛网获得了启示，提出了“数轴”的概念．如图，数轴上点M所表示的数可能是（）A．-5 B．-3 C．-1.5【答案】B【分析】本题主要考查了数轴和数学常识，熟练掌握数轴上点表示的数的方法进行求解是解题的关键．根据题意可得M所表示的数在-4与-【详解】解：设M表示的数为x，由数轴可知：-4<所以点M所表示的数可能是-3故选：B．例9在直线上表示下列各数：-1.5，2，-72，2.5【答案】见解析【分析】本题考查了用数轴表示出有理数，画出数轴在数轴上表示出各数即可．熟练掌握用数轴表示有理数的方法是解题关键．【详解】解：画出数轴并在数轴上表示出各数如图所示：4.满足数轴上的点的位置的分类讨论错误：一个有理数在数轴上的点到已知点的距离已知的情况下，忽略分类讨论只考虑一种情况。注意：到数轴上已知点的相同距离（距离不为零）满足的点有两个，他们分别位于已知点的左右两侧。例10如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是-3(1)则B所表示的数是______．(2)数轴上有点P，且P到A、B两点的距离相等，则P点表示的数为______．(3)数轴上有点C，且与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为______．【答案】(1)4(2)0.5(3)2或6【分析】本题主要考查数轴的特点，掌握数轴的三要素，数轴上点与有理数的对应关系是解题的关键．（1）根据点A表示的数，确定原点，由此即可求解；（2）根据数轴上中点的计算即可求解；（3）根据题意，运用数轴上两点之间距离的计算方法，分类讨论即可．【详解】（1）解：点A表示的数是-3∴点B表示的数为4，故答案为：4；（2）解：点A表示的数是-3，点B表示的数为4所以A，B两点的距离为7，点A与点B的中点到点A与点B的距离为7÷2=3.5，即在0.5的位置，∴则P点表示的数为0.5，故答案为：0.5；（3）解：点B表示的数为4，∴当点C在点B左边时，点C表示的数为2；当点C在点B的右边时，点C表示的数为6，故答案为：2或6．四、相反数及其性质1.求一个数的相反数时只看符号错误：认为a的相反数是﹣a，﹣a一定是负数。注意：要先确定a是正数还是负数还是0,0的相反数是它本身。如果a是正数，则﹣a为负数；如果a是负数，那么﹣a是正数。例11如图，以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B；C刚好对应着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10．设点A，B，C所表示的数的和是m，该数轴的原点为O，向右为正方向．(1)若点A所表示的数是-3，则点C所表示的数是_______(2)若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点O对应直尺上的刻度为_______；(3)若点B，O之间的距离为4，求m的值．【答案】(1)5(2)6(3)-16或【分析】本题考查了数轴上两点的距离，有理数的加减法运算，数形结合是解题的关键．（1）根据数轴上两点距离进行计算即可求解；（2）根据AC的距离，得出点A表示是的数为-4，点C表示的数为4，由图中点C所在的位置为10，即可得出原点O对应直尺上的刻度为10-4=6（3）分当O在点B的左边和右边两种情况讨论即可求解．【详解】（1）解：∵数轴上的点A，B，C对应着直尺上的刻度2，8和10，∴AC=8∵点A所表示的数是-3∴点C所表示的数是由﹣3在数轴上的位置向右平移8个单位到有理数5，故答案为：5；（2）解：∵AC=10-2=8，点A，C∴则点A表示是的数为-4，点C表示的数为4∵图中点C所在的位置为10，∴数轴的原点O对应直尺上的刻度为10-4=6，故答案为：6；（3）解：∵点B，O之间的距离为4，点B对着直尺上的刻度8，①当O在点B的左边时，即点O对着直尺上的刻度4，∴B点表示的数为4，∵AC=8∴此时点A表示的数为-2，点C表示的数为6∴m=8②当O在点B的右边时，即点O对着直尺上的刻度12，∴B点表示的数为-4∵AC=8∴此时点A表示的数为-10，点C表示的数为-∴m=-16综上，m的值为-16或8五、绝对值及其性质1.认为一个数的绝对值一定是正数错误：在判断“一个数的绝对值一定是正数”时认为是正确的，忽略了0的存在。注意：“一个数的绝对值一定是正数”这句话是错误的，因为0的绝对值还是0,0是非负数，因此此句因为“一个数的绝对值一定是非负数”例12如果|-a|=-a，那么a【答案】a【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键．根据绝对值的定义进行计算即可．【详解】解：|-a∴这个数是非负数，即-a∴a≤0故答案为：a≤02.在数轴上标注带有绝对值的数错误：在数轴上标注带有绝对值的数时，只看数的部分。如将“|﹣3|”标注在“﹣3”的位置。注意：标注带有绝对值的数，应先化简这个绝对值，然后再判断它在数轴上的位置。例13把下列各数在数轴上表示出来，-1.5，--3，--4【答案】数轴表示见解析【分析】本题考查了绝对值，化简多重符号，准确化简是解题的关键．根据绝对值的性质，相反数的定义分别化简，然后在数轴上表示即可．【详解】解：--3=3数轴表示如下：3.用绝对值的性质计算方程时，缺乏分类讨论的思想错误：如：在计算|a|=3时，求得a=3注意：应考虑a是正数和负数的两种可能性。所以解得a应为±3.例14如果x=2025，那么x=（A．-2025 B．2025 C．±2025 D．【答案】C【分析】本题考查了绝对值的意义，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可．【详解】解：∵±2025=2025∴x=±2025故选：C．例15已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示．(1)试判断a，b，c的正负性：a______0；b______0；c______0（用“>”“<”“=”填）；(2)根据数轴化简：a=______；b=______；c(3)若a=5.5，c=4，求a，【答案】(1)<；>；>(2)-a；b；(3)a【分析】本题主要考查了有理数与数轴，绝对值，正确读懂数轴是解题的关键．（1）在原点左边的数小于0，原点右边的数大于0，据此可得答案；（2）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可得答案；（3）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可得答案．【详解】（1）解：由数轴可知a<0（2）解：∵a<0∴a=-a，b=（3）解：∵a=5.5，c=4，∴a=-5.5六、比较有理数的大小1.在比较两个负数时规则混淆错误：比较两个负数的大小时，判断﹣2＜﹣3.注意：比较两个负数的大小时，绝对值大的那个数反而更小，因为|﹣2|＜|﹣3|，所以﹣2＞﹣3.例16把有理数-3、-3、0、--13用“A．-3<--1C．--13【答案】B【分析】此题主要考查了有理数的比较大小，关键是掌握有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．根据有理数大小比较方法解答即可．【详解】解：∵-3=3，∵3>∴-3<0<-故选：B．例17有理数a，(1)请在数轴上标出-a(2)比较a，b，c，【答案】(1)画数轴见解析(2)a【分析】本题考查在数轴上表示有理数、利用数轴比较有理数大小，涉及相反数的性质等知识，熟练掌握数轴性质是解决问题的关键．（1）由相反数性质，互为相反数的两个数关于原点对称，直接根据有理数a，b，（2）利用数轴性质：数轴上的有理数，右边的数大于左边的数比较大小即可得到答案．【详解】（1）解：∵-a，-∴根据互为相反数的两个数关于原点对称，在数轴上表示如图所示：（2）解：如图所示：∴由数轴性质比较有理数大小得到a<-1.下列各数中，比-1小的数是（

A．0 B．-4 C．4 D．【答案】B【分析】本题主要考查了有理数比较大小，根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大其值越小进行求解即可．【详解】解：-4∴-4<-1<0<1<4故选：B．2.如果规定向东走为正，则向东走20m记作()m，向西走40m记作()m，原地不动记作()m【答案】+20-40【分析】本题主要考查了相反意义的量，正负数是一对具有相反意义的量，若向东走“+”表示，那么向西走就用“-”表示，原地不动用“0表示”，据此求解即可．【详解】解：如果规定向东走为正，则向东走20m记作+20m，向西走40m记作-40故答案为：+20；-40；03.如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b=0．若AB=6，则点A．-9 B．-3 C．0 D【答案】D【分析】本题考查了数轴，相反数的定义，根据a+b=0，得到点A、B分别表示a、b互为相反数，即点A【详解】解：∵点A、B分别表示数a、b，且a+∴a、b互为相反数，∵AB=6∴A，B两点到原点的距离为3，∵B点位于数轴上正半轴，∴B点表示的数为3，故选：D．4.下列说法正确的是（

）A．-a一定是负数 BC．有理数分为正数，负数和零 D．正整数和负整数统称为整数【答案】B【分析】本题考查了有理数的基本概念．根据有理数的基本概念逐一分析即可．【详解】解：A：当a为负数时，-aB：根据有理数的定义，整数和分数统称为有理数，故原说法正确；C：有理数分为正有理数、负有理数和零，而非笼统的“正数、负数和零”，故原说法错误；D：整数包括正整数、负整数和零，选项中遗漏了零，故原说法错误；故选：B．5.有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（

）．

A．a B．b C．c D．d【答案】A【分析】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值表示数轴上的点到原点的距离，距离越大，绝对值越大，进行判断即可．【详解】解：由图可知，表示数a的点到原点的距离最大，∴绝对值最大的是a；故选A．6.实数a，b互为相反数，其在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论中，正确的是（）A．a-1<b-1 B．a【答案】D【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数的定义，利用数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大逐项分析即可．【详解】解：A．∵a，b互为相反数，∴a=b，∵a<0，B．∵a，b互为相反数，b>1，∴aC．∵a，b互为相反数，a>1-D．∵a，b互为相反数，b>1，a-故选∶D．7.如图，数轴上点A表示的数是-1，点B表示的数是3，则A、B两点之间的距离是【答案】4【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，正确把握数轴上两点之间距离求法是解题关键．直接利用数轴上两点之间距离求法进而得出答案．【详解】解：∵数轴上点A表示的数是-1，点B表示的数是3∴A，B两点间的距离是：3--故答案为：4．8.若x-3+y-4=0【答案】34【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值具有非负性是解题的关键．根据绝对值的非负性即可解答．【详解】解：∵x-∴x-3=0，∴x=3，y故答案为：3；4．9.比较大小：-34-712．（填“>”“<”或【答案】<【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值的意义，根据有理数的大小比较方法即可求解，掌握有理数的大小比较方法是解题的关键．【详解】解：-34=∵912>7∴-3故答案为：<．10.若x，y的平均数为4，x，y，z的和为0，则z=【答案】-【分析】根据题意得出x+【详解】解：∵x，y的平均数为∴x+∵x+所以x+y与z互为相反数。∴z=-8故答案为：-811.已知数轴上A点为-3，点B由点A向右移动6个单位长度，点C距离点B两个单位，则点C在数轴上对应的数为【答案】5或1【分析】本题考查了数轴，掌握平移的关键在于点对应的数的大小变化和平移的规律．数轴上的点平移时和数的大小变化规律：左减右加．【详解】解：∵A点为-3，点B由点A向右移动6∴B是-3+6=3∵点C距离点B两个单位，∴①当点C在点B的右边时：3+2=5；②当点C在点B的左边时：3-2=1；∴点C在数轴上对应的数为5或1，故答案为：5或1.12.把下列各数填在相应的集合中：15,-正有理数数集合：｛……｝负分数集合：｛……｝非负整数集合：｛……｝有理数集合：｛……｝【答案】见解析【分析】本题考查了有理数的分类，化简多重符号，根据有理数的分类逐一填写即可．【详解】解：15,-正有理数数集合：｛15，227……负分数集合：｛-12，-81%非负整数集合：｛15，0……｝有理数集合：｛15，-12，-81%，227，0，13.比较下列每对数的大小（写出比较过程）(1)--3(2)-45【答案】(1)-(2)-【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较方法是解题的关键．（1）分别利用绝对值、相反数的定义化简，再比较大小即可；（2）根据负数的大小比较方法即可求解．【详解】（1）解：--34∵-3∴--（2）解：-45=-∵-3645=3645∴-36即-414.如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题：(1)如果点A,B表示的数互为相反数，那么点(2)如果点D,B表示的数互为相反数．那么点【答案】(1)-(2)1，-【分析】本题考查了相反数，数轴，熟练掌握相反数的定义并确定出原点的位置是解题的关键．（1）根据互为相反数的定义确定出点O的位置，再根据数轴写出点C表示的数即可；（2）根据互为相反数的定义确定出点O的位置，再根据数轴写出点C、D表示的数即可．【详解】（1）解：因为点A,B表示的数互为相反数，所以表示数0的点O在点A,B中点位置，如图1，所以点（2）解：因为点D,B表示的数互为相反数，所以表示数0的点O在点D,所以点C表示的数是1，点D表示的数是-515.在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个实心球，直径可以有±0.02毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如表：做实心球的同学李明张兵王敏余佳赵平蔡伟检测结果+0.031-+0.023-+0.022-(1)请你指出哪些同学做的实心球是合乎要求的？(2)哪个同学做的质量最接近标准质量？【答案】(1)张兵和蔡伟同学做的实心球是合乎要求的(2)蔡伟同学做的质量最接近标准质量【分析】本题主要考查了绝对值的意义、正负数的意义等知识点，正确掌握正负数的实际意义是解题的关键．（1）比较各个数据的绝对值，绝对值小于0.02是实心球是合乎要求，据此即可解答；（2）比较各个数据的绝对值，绝对值最小的实心球的质量最接近标准质量，据此即可解答．【详解】（1）解：∵+0.031=0.031>0.02，-∴张兵和蔡伟同学做的实心球是合乎要求的．（2）解：+0.031=0.031，-∵0.031>0.023>0.021>0.017>0.011，∴蔡伟同学做的质量最接近标准质量．16.我们知道，有