第2章 有理数期末复习（知识清单）（挖空版）数学苏科版-苏科版(2024)七上

第二章有理数知识点1：正数与负数1.引入正数和负数两个概念是为了表示两个 的量：例如：表示海拔高度超过海平面的用 表示，海拔高度低于海平面的用 表示；表示温度高于0摄氏度用 表示，温度低于0摄氏度用 表示；表示盈利的钱数用 表示，亏损的钱数用 表示。2.表示两个相反意义的量，哪个用正数表示，哪个用负数表示，是人为规定的，一般表示高的，上涨的，等量用 表示，相反的用 表示。3.正数：像+1、2、1.2、12、π等 的数，叫做正数；4.负数：像-1、-2、－1.2、－12、－π等 知识点2：有理数的概念及分类有理数的概念： 和 统称为有理数。有理数的四种表现形式：整数、分数、有限小数、无限循环小数。判断一个数是不是有理数，只要看看这个数是不是这四种就行了，如果是这四种中一个，那这个数一定是有理数；如果不是这四种中的任何一种，那它一定不是有理数。有理数的分类方法：（1）按概念分类： （2）按正负分类： 知识点3：数轴的概念、画法、数轴上的点与有理数的关系1.数轴是规定了 ， ， 的直线。2.数轴的三要素： ， ， 。3.数轴的画法（1）第一步：画一条 （通常画成水平的）；（2）第二步：在这条直线上描上一个点作为 ，用这个点表示 ；（3）第三步：在这条直线的 画上 ，用来表示 ；（4）第四步：根据实际需要，选取适当的长度作为 ，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，…这样，数轴就画好了。4.有理数可以用数轴上的一个点表示，但数轴上的点表示的数并不都是有理数。（1）一般地，数轴上原点右边的点表示 ，左边的点表示 ；反过来也对，即正数用数轴上原点 的点表示，负数用原点 的点表示，零用 表示．（2）任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点表示的数不一定都是有理数，还可以表示其他数（无理数），比如等．知识点4：有理数的大小比较1.可以将有理数a，b都画在数轴上，这样两个数就可以用两个点表示，两个数的大小关系就转化为两个点的左右位置关系，显然数轴上两个点的位置关系分为三种：两个数a,b的大小关系两个点的位置关系2.有理数的大小比较方法：（1）在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大（可以类比人的右手力量大于左手形象记忆）；（2）正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。3.对于有理数a，b，下列三种关系有且只有一种成立:,,4.有理数的大小关系可以借助数轴转化为点的位置关系。，说明，画在数轴上对应的点的位置关系是在的 ，，说明，画在数轴上对应的点的位置关系是在的 ，所以，一定在的 ，即。同理，我们可以得到如果,那么就有。5.有理数的大小关系与自然数一样也具有传递性：（1）如果,那么就有。（2）如果,那么就有。知识点5：绝对值1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与 的距离叫做数a的绝对值。2.绝对值的表示方法：数a的绝对值记作 .3.绝对值的代数意义：（1）一个正数的绝对值是 ；（2）一个负数的绝对值是它的 ；（3）0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：4.绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到 的 ，离原点的距离越远，绝对值 ；离原点的距离越近，绝对值 ．的几何意义：数轴上表示数的点到原点的距离。5.绝对值的性质：非负性，即任何一个数的绝对值总是 或0即6.利用绝对值比较两个有理数的大小：两数同号同为正号：绝对值大的数同为负号：绝对值大的反而两数异号正数负数－数为0正数与0：正数0负数与0：负数0知识点6：相反数1.相反数的定义：只有不同的两个数互为相反数；0的相反数是，即：不同， 相同的两个数互为相反数。2.相反数的表示方法：的相反数为。3.相反数的性质：（1）和的关系：若两数互为相反数，则；反之，若，则两数互为相反数。（2）位置关系：互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离 .4.多重符号的化简问题：多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定：若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-1)]}=1；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-1)]}=-1.知识点7：有理数的加法1.有理数的加法法则：（分类讨论的数学思想）（1）同号两数相加，取 的符号，并把 相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值 的加数的符号，并用较大的绝对值 较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数．名师点拨：如何利用加法法则进行加法运算？（1）判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则；；（2）确定和的符号(是“+”还是“－”)．（3）求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．2.加法运算律：（1）加法交换律：（2）加法结合律：名师点拨：（1）加法运算律的作用：简化运算，凑整十整百，凑同分母的，同号的数；（2）交换加数的位置时，不要忘记符号．知识点8：有理数的减法1.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的 ，即有：．名师点拨：（1）将减法转化为加法时，注意“两变”，一变是 ；二变是把减数变为它的 ”．（2）灵活使用减法法则，比较熟练的同学也可以不按步骤，直接写结果，提高效率。知识点9：有理数的加减混合运算1.做有理数的加减混合运算题目时的步骤：（1）观察问题中包含的运算，思考能否使用加法运算律，能用则用，简化运算；（2）将加减法统一成加法运算；（3）利用加法运算法则解决问题。知识点10：有理数的乘法1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘， ，并把 相乘；（2）任何数同0相乘，都得0．名师点拨：（1）不为0的两数相乘，先定符号，再把绝对值相乘．（2）当乘数中有负数时，必须用括号括起来，如5与-3的乘积，应列为5×(-3)，不应该写成5×-3．2.有理数的乘法法则的推广：（乘法的符号法则）（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由 的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．名师点拨：（1）几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘；（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．3.有理数的乘法运算律：（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等：即：．（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即：．（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：．名师点拨：（1）利用交换律时，要连同符号一起交换，符号也是乘数的一部分．（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．（3）运用运算律的目的是“简化运算”，运算是恒等变形，可以从前到后，也可以从后到前，也就是可以正用，也可以逆用．4.倒数的概念： 的两个数互为倒数．名师点拨：（1）“互为倒数”的两个数是一种关系，必须成对出现.如-2的倒数是，不能说是倒数；（2）0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；（3）互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)因此，正数的倒数必定还是正数；负数的倒数必定还是负数．知识点11：有理数的除法1.有理数除法法则：法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的 ，即。法则2：两数相除， ，并把绝对值 ．0除以任何一个不等于0的数，都得0.名师点拨：（1）0不能当除数；（2）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．2.有理数的乘除混合运算：由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．3.有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．知识点12：乘方1.乘方的定义：求 的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做 ．即有：.底数：在中，叫做底数，指数：n叫做指数.特别地，当指数=2时，一般成为 ；当指数=3时，一般成为 。名师点拨：（1）乘方与幂是不同的，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果．（2）当底数是以下几种情况时，要用括号括起来：底数是负数、底数是分数、底数不是单独的一个数而是含有运算的式子。（3）一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写．2.乘方的符号法则：（1） 的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂是 ；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的 都是非负数，即．名师点拨：（1）有理数的乘方运算，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．（2）计算幂时，可以转化成乘法计算。知识点13：科学记数法1.科学记数法的定义：把一个绝对值大于10的数表示成的形式（其中l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法.名师点拨：（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样；（2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.知识点14：有理数的混合运算1.有理数的混合运算顺序：（三原则）(1)先 ，再 ，最后 ；(2)同级运算，从 到 进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．名师点拨：（1）有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方是第三级运算；（2）在含有多重括号的混合运算中，一般都按从里向外的顺序进行，特别时候也可以从从外向里．（3）运算前要认真审题，看能否使用运算律，能用的可以简化计算，提高正确率一、有理数的定义与分类1.正数与负数：错误：认为“带负号的数就是负数，带正号的数就是正数”。注意：我们不能说带“+”的数是正数，带“-”的数是负数；判断一个数是正数还是负数必须化成最简形式与0进行大小比较，比0大的才是正数，比0小的是负数，不能只从形式上简单判断。2.根据绝对值求数错误：绝对值是2的数只有2。注意：一个数的绝对值只有一个结果，而反之根据绝对值写出原来的数一般会有两个结果（0除外）．例如，绝对值为3的数有3和-3两个。二、数轴上点的对应关系错误：认为“数轴上的点都是表示有理数”．注意：每一个有理数都能在数轴上找到唯一对应的点，反之不成立，数轴上的点不一定都表示有理数，如对应点，但它不是有理数．三、比较有理数的大小1.负数大小比较错误：认为“-3比-2大，因为3>2”．规则：负数比较时，绝对值大的反而小，所以

-3<-2−3<−2．2.负数与0比较错误：认为“0是最小的数”．注意：在小学没学负数之前，确实0是最小的数，但在有理数范围内，没有最小的数．四、多重符号的化简错误：认为．注意：这两种多重符号化简是不一样的，读法不同，意义不同，结果不同．表示的绝对值的相反数，结果为，所以上面这个式子前半是正确的；表示的相反数，结果是2，所以学习数学重在理解，切不可死记硬背所谓的规律口诀，理解基础上再记忆一些规律才有用。题型01正数与负数1．下列算式中，运算结果为负数的是（

）A． B． C． D．2．下列各数中，是负数的是（

）A． B． C． D．3．在，，，0，中，负数的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．下列说法中正确的有（

）①一定是负数；②若，则这个数一定是负数；③一个负数减去一个正数，差一定为负数；④0可以是非负整数，也可以是非正整数；⑤负数的平方为正数．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．下列各数中，是负数的是（

）A． B． C． D．题型02根据一个数的绝对值求这个数1．一个数的绝对值等于8，这个数的等于．2．如果一个负数的绝对值是6，那么这个数是．3．已知一个数的绝对值是1，则这个数是．4．绝对值等于6.5的数是．5．如果一个数的绝对值为，那么这个数是．题型03数轴上的点与有理数的对应关系1．下列说法中正确的有（

）（1）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；（2）符号相反的数互为相反数；（3）整数和分数统称为有理数；（4）一个有理数的绝对值必为正数；（5）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．下列说法错误的是（

）A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示B．在数轴上表示3和的两个点之间的距离是5C．数轴上存在可以表示的点D．数轴上表示的点一定在原点的左边3．下面结论正确的是（

）A．几个有理数相乘，负因数个数为奇数，则乘积为负数B．数轴上的每一个点均表示一