2025-2026学年第四章 相似三角形 单元试卷 浙教版九年级数学上学期 含答案

/第四章相似三角形培优试卷浙教版2025-2026学年九年级上册一．单项选择题（每小题4分，满分40分）题号1345678910答案1．下列四组线段中，是成比例线段的是（

）A． B．C． D．2．已知，则下列式子正确的是（）A． B． C． D．3．如图，直线，直线AB和DE被，，所截，，，，则的长为（

）A．2 B．3 C．4 D．54．下列说法正确的是（

）A．菱形都是相似图形 B．矩形都是相似图形C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直的四边形是菱形5．如图，点、点均在反比例函数的图象上，分别连结、，若，则点的坐标为（

）A． B． C． D．6．如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（

）A． B． C． D．第5题图第5题图第6题图第2题图第6题图第2题图7．将一个三角形的各边扩大为原来的3倍，则这个三角形的面积扩大为原来的（

）A．3 B．6 C．9 D．128．若一个多边形的各边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则另一个多边形的最短边长为（

）A．6 B．8 C．10 D．129．如图，已知和是以点C为位似中心的位似图形，且和的周长之比为，点C的坐标为，若点A的坐标为，则点E的坐标为（）A． B． C． D．10．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD的中点，BF与CE相交于点H，直线EN交CB的延长线于点N，作CM⊥EN于点M，交BF于点G，且CM=CD，有以下结论：①BF⊥CE；②ED=EM；③S四边形DEHF=4S△CHF，其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．0个第10题图第11题图第9题图第10题图第11题图第9题图二．填空题（每小题5分，满分20分）11．如图，在中，于点D，且，点E在上，连接，若，，，则的长．12．如图，一束光线从点出发，经过x轴上的点反射后经过点，则的值是．第12题图第13题图第12题图第13题图13．如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H．若，则．14．已知非负数a、b、c满足，若，则S的最大值与最小值之差为；三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）15．等腰直角三角形中，，点D是的中点，连接，点E是上一点，交于点F，于点G．(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，连接，若，求的值．16．【综合运用】如图，将矩形放置在如图所示的平面直角坐标系内，点与坐标原点重合，点坐标为，点为对角线上一点，射线交轴于点，射线交轴于点．(1)当时，求的长度；(2)设，，当时，求关于的函数表达式；(3)如图，连接，交于点，若，求点的坐标．17．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，．(1)以点为旋转中心，顺时针旋转，得到，画出．(2)在所给图形中，以原点为位似中心，位似比为，画出放大后的图形；(3)与的周长比是___________；面积比是___________．18．如图1，内接于，和的平分线交于点，射线交于点，交于点，连接．(1)若，求的度数．(2)若，，求的长．(3)如图2，连接，若的半径为4，弦，设，，求与之间的函数关系式及的最大值．19．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．连接，．(1)求抛物线的表达式；(2)设点D在直线下方的抛物线上；①如图2，连接，设的面积为，的面积为，当的值最大时，求点D的坐标；②如图3，连结，交于点E，若∽，求点D的横坐标．20．如图，在中，，平分，交于点，交于点，作交于点，交于点，且．(1)求的度数；(2)探究线段的数量关系，并说明理由；(3)若，求的值．（直接写出计算的结果）参考答案一、选择题题号12345678910答案BCBCCDCBBC二、填空题11．8【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解一元二次方程，勾股定理，解决本题的关键是综合相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，线段垂直平分线的性质解决问题．作的垂直平分线交于点，连接，根据已知条件证明，可得，设，，再根据勾股定理即可求出和的值，进而可得结论．【详解】解：如图，作的垂直平分线交于点，连接，，，，，，，，，，设，，，，，，，整理得，在中，根据勾股定理，得，即，把代入，整理得，解得，（不符合题意舍去），．．故答案为：8．12．2【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，点的坐标，代数式求值，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．过点作轴，过点作轴，过点作轴，先证，得出再根据点、、的坐标即可求出答案．【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴，过点作轴，，根据入射角等于反射角得，，，，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，，故答案为：2．13．3【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键．先根据正方形的性质证明，再利用相似三角形的性质列式计算即可求解．【详解】解：∵正方形，，∴，，∵正方形，，∴，，∴，，∴，∴，即，解得∶．故答案为：3．14．3【分析】本题考查比的应用，设，将、、分别用含的代数式表示出来，设，将、、分别用含的代数式表示出来，根据、、为非负数列关于的一元一次不等式组并求其解集，将、、分别代入并化简，从而将用含的代数式表示出来，进而分别求出的最大值和最小值，再求出二者之差即可．【详解】解：设，则，，，、、为非负数，，解得，，当时值最大，，当时值最小，，．故答案为：3．三、解答题15．(1)见解析(2)【分析】（1）取的中点T，连接，三角形的中位线定理，得到，且证明，即可得证；（2）过点A作交的延长线于点T，先证明，得到，证明，得到，设，，求出，平行线分线段成比例，得到，取的中点K，连接，证明得到进而求出的值即可．【详解】（1）证明∶如图1，取的中点T，连接．∵T为的中点，D为的中点，∴，且∵，∴．∵，∴．在和中，，；（2）解∶如图2，过点A作交的延长线于点T．∵，，D为的中点，∴，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴．在和中，，∴，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴，设，，∴，整理，得：∴解得(舍去)，

取的中点K，连接，∵D为的中点，∴，16．(1)(2)(3)【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，一次函数等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．（1）可求得直线的解析式为：，直线的解析式为：，进而得出坐标，进而得出直线的解析式，进一步得出结果；（2）作于，可表示出和及，根据可表示出，进而表示出的面积，根据可表示出，从而表示出的面积，进一步得出结果；（3）连接，根据，得出，进而得出，从而，，从而得出，，进而得出，从而求得的值，进一步得出结果．【详解】（1）解：，点坐标为，则，直线的解析式为：，，直线的解析式为：，当时，解得：设直线的解析式为解得：直线的解析式为：（2）如图1，四边形是矩形，，，，，作于，，，，，，同理可得，，（3）如图2，连接，交于，则，，，，，，，，，，，，，，即，，则，，，，，17．(1)见解析(2)见解析(3)；【分析】本题考查坐标与图形变换-旋转，熟练掌握作旋转图形，旋转的性质，作位似图形是解题的关键．（1）根据旋转的性质作图求解即可；（2）根据位似的性质作图即可；（3）根据位似图形的性质求解即可．【详解】（1）解：如图，即为所求作：（2）解：如图，即为所求作：（3）解：∵与的位似比为，∴与的周长比是，面积比是．故答案为：；．18．(1)(2)(3)的最大值是4【分析】（1）由角平分线得，再利用圆周角定理可得，等量代换即可得解；（2）由题可知平分，平分，设，从而可得，所以，再设，证，利用相似性质建立方程求出值，进而得解；（3）连接，过点作于点，则，作，连接，利用勾股表示，从而得到关于的式子，再求解即可．【详解】（1）解：∵，，∵和的平分线交于点，，，．（2）解：∵平分平分，∴设，，，，，设，，，，，，，，，解得，．（3）解：如图，连接，连接交于点，，，垂直平分，，，在中，，，由（2）得，当平分平分时，有，，作，连接，在中，，在中，，，，，即，，，∴y的最大值是4．19．(1)(2)①

②2【分析】（1）根据抛物线交点式，得到、两点坐标，再根据正切值求出点坐标，代入抛物线解析式求出的值即可；（2）①设点，分别用含的式子表示出、，进而得出，再利用二次函数的最值求解即可；②求出直线的解析式，连结，交于点E，设，根据∽，则求出过点E作于F，则证得∽，根据对应边成比例求出，得，求出直线的解析式，联立得方程组，即可求出点D的横坐标为2．【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点∴，∴在中，∴∴∴将代入抛物线得：解得：∴抛物线的表达式为；（2）解：①如图，设点∵点D在直线下方的抛物线上，，∴∵∴∵∴当时，的值最大为12此时点D的坐标为；②设直线的解析式为，则

，解得：∴直线的解析式为连结，交于点E，设若∽，则，即∴，则过点E作于F，则∴∽∴即解得：∴设直线的解析式为，则

解得∴直线的解析式为联立得方程组

整理得：，解得：（舍），∴点D的横坐标为2．20．(1)(2)，理由见解析(3)【分析】（）设，则，，再根据三角形内角和定理即可求解；（）证明即可求证；（）过点