探讨几何最值问题的解法

探讨几何最值问题的解法知识点：教材中哪些结论与线段长度最短有关一、两点之间，线段最短。二、连结直线外一点和直线上所有点的线段中，垂线段最短。下面就知识点一进行学习探究.基本图形：两点一线型，一点两线型，两点两线型基本方法：对称或平移基本思想：化折为直(本质是转化思想)题型一：两点一线型教材原型：七年级下P228如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站修在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？数学问题：（1）在直线l上找点P，使PA+PB值最小方法：作对称化同侧为异测依据：两点之间，线段最短思想：化折为直

利用这一题例的结论，可以解决一些同根异形关联题，下面试举几例：

【关联题1】(2007山西中考数学)如图，直线l是一条河，P、Q两地相距8千米，P、Q两地到l的距离分别为2千米、5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）．PMPMMMMQllllPQPQPQPQABCD(第20题图)lPMMMMQllllPQPQPQPQABCD(第20题图)l变式1：如图，直线l是一条河，P、Q两地相距8千米，P、Q两地到l的距离分别为2千米、5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，并从点M直接向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）．PPMMMMQllllPQPQPQPQABCD(第20题图)l变式2：如图，直线l是一条河，P、Q两地相距10千米，P、Q两地到l的距离分别为2千米、5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）．PMPMMMMQllllPQPQPQPQABCD(第20题图)l

【关联题2】（2007年乐山市中考题）如图3，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）

析解：连结OA，由∠AMN=30°得∠AON=60°，取点B关于MN的对称点B＇，连结OB＇、AB＇，AB＇交MN于点P，则AB＇的长为PA+PB的最小值，且易知∠AOB＇=90°，即△AOB＇为等腰Rt△，故。

【关联题3】（2008年湖北黄石市中考题）

如图4，在等腰⊿ABC中，∠ABC=120°，点P是底边AC上一个动点，M、N分别是AB、BC的中点，若PM+PN的最小值为2，则⊿ABC的周长是（）

析解：把等腰⊿ABC沿AC翻折可得一菱形，由上面【关联题1】的解答可知，PM+PN的最小值就是菱形的边AB的长，故AB=2，由AB=BC=2，∠ABC=120°易求得，因此⊿ABC的周长是()。

【关联题4】（威海市2009年中考题）

如图5，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（－1，0），（3，0），（0，3），过A，B，C三点的抛物线的对称轴为直线l，D为对称轴上l一动点，(1)求抛物线的解析式；

(2)求当AD+CD最小时点D的坐标；

(3)以点A为圆心，以AD为半径作⊙A，①证明：当AD+CD最小时，直线BD与⊙A相切。

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标。

析解：（1）可设y=a(x+1)(x－3)，再代入点C坐标，即可求得y=－x2+2x+3。

（2）利用点A、B关于直线l：x=1对称，连结BC交l于D，则此时AD+CD取得最小值；设l与x轴交点为E，由⊿BED∽⊿BOC可求得DE=2，BD=2姨2=AD，所以D的坐标为(1，2)。

（3）①如图6,连结AD，由点A、B、D、E的坐标易知⊿ADE和⊿BDE均为等腰Rt△，故∠ADE=∠BDE=45°所以∠ADB=90°，所以直线BD与⊙A相切。

②由对称性知点D的另一个坐标是（1，－2）。

【关联题5】（2008年湖北荆门市中考题）

如图2，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_____________．

析解：利用菱形的对称性，在AD上找出点M关于AC的对称点M＇（即AD的中点），连结M＇N交AC于P，则PM+PN的最小值为线段M＇N的长，而M＇、N分别为边AD、BC的中点，故M＇N的长等于菱形的边长5。【关联题4】（2012山东济南3分）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【】A．B．C．5D．【答案】A。【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。【分析】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，∵OD≤OE+DE，∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=AB=1。DE=，∴OD的最大值为：。故选A。上述源命题还可作进一步引申：

【引申题】小明在某景区游玩，他打算从景点A到河边（直线l）走一段（长度为已知线段a）再到景点B，怎么走最近？

析解：如图7，本题的关键是确定直线l上的两点D、E，因DE=a为定长，故只需AE+BD为最小即可；作线段AC∥l且AC=a，作点C关于直线l的轴对称点C＇，连接C＇B交直线l于点D，在直线l上截取DE=a，连接AE，则小明应走的路线是AE→ED→DB。理由是：连接CD，则CD=AE=C＇D，因DE=a为定长，故只须AE+BD(=CD+BD)最小即可。

【关联题1】已知平面直角坐标系内两点A（2，－3），B（4，－1）,(1)若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a=_____时，四边形ABCD的周长最短。

（2）设M、N分别为x轴和y轴上的动点，是否存在这样的点M（m，0），N（0，n）,使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m、n的值；若不存在，请说明理由。

析解：（1）如图8，本题中AB和CD（a+3－a=3）均为定长，故只需AC+BD取最小值即可；平移点A到A1，使AA1=CD=3，作点A1关于x轴的对称点A2，连结A2B交x轴于D，作AC∥A1D交x轴于点C，由上述“引申题”结论知此时AC+BD取得最小值；求得直线A2B的解析式为y=4x－17，可得

（2）如图9，本题中AB为定长，分别作点A、B关于y轴、x轴点对称点A1、B1，连接A1B1交x轴于M，交y轴于N，则根据上述“源命题”的结论，M、N为所求的点；易得直线A1B1的解析式为，令y=0得

拓展：在直线l上找点P，使PA－PB绝对值最大（2014•无锡）如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是3．考点：轴对称－最短路线问题；菱形的性质；相切两圆的性质．分析：利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D重合时PE+PF的最小值，进而求出即可．解答：解：由题意可得出：当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小，连接BD，∵菱形ABCD中，∠A=60°，∴AB=AD，则△ABD是等边三角形，∴BD=AB=AD=3，∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1，∴PE=1，DF=2，∴PE+PF的最小值是3．故答案为：3题型二：一点两线型（2009年漳州中考）如图8，，是内一点，，、分别是和上的动点，求周长的最小值。解析：分别作关于、的对称点、，连接，则，当、在线段上时，周长最小，∵，∴。

则周长的最小值为题型三：两点两线型（架桥问题）教材原型：八年级上P95如图4，河岸两侧有、两个村庄，为了村民出行方便，计划在河上修一座桥，桥修在何处才能两村村民来往路程最短？两点两线型（马吃草喝水问题）练习：1.已知：∠MON=30°，A在OM上，OA=2，D在ON上，OD=4，C是OM上一点，B是ON上一点，则折线ABCD的最短长度为____.(2)2.（2012甘肃兰州4分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为【】A．130°B．120°C．110°D．100°【答案】B。【考点】轴对称（最短路线问题），三角形三边关系，三角形外角性质，等腰三角形的性质。【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN＋∠ANM＝2(∠AA′M＋∠A″)即可得出答案：如图，作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值。作DA延长线AH。∵∠BAD＝120°，∴∠HAA′＝60°。∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°。∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°。故选B。3.抛物线上的动点问题（2010江苏南通，28，14分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C（0，－2）的直线l与x轴平行，O为坐标原点．（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线l与⊙A的位置关系，并说明理由；－1yxO（第28题）1234－2－4－33－1－2－3－1yxO（第28题）1234－2－4－33－1－2－3－4412△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积．【分析】（1）由条件，利用待定系数法求解.（2）依题意可由勾股定理求出圆的半径，进而利用直线与圆的关系求解.（3）由（2）可进一步求解.【答案】（1）因为当x=3和x=－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等，故b=0.设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（－4，3）、B（2，0）代入到y＝ax2＋bx＋c，得解得∴这条抛物线的解析式为y＝x2－1.设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（－4，3）、B（2，0）代入到y=kx+b，得解得∴这条直线的解析式为y＝－x+1.（2）依题意，OA=即⊙A的半径为5.而圆心到直线l的距离为3+2=5.即圆心