用公式法分解因式第2课时

用公式法分解因式（第2课时）

1．提公因式法

一般地，如果多项式的各项有_______，可以把这个_______提取出来，将_______写成_______与另一个因式的______的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法．

2．运用平方差公式分解因式

两个数的平方差，等于这两个数的___与这两个数的___的___．

a2－b2＝___________．公因式公因式多项式公因式乘积和差积(a＋b)(a－b)多项式a2＋2ab＋b2与

a2－2ab＋b2

有什么特点？思考

这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍．我们把a2＋2ab＋b2

和a2－2ab＋b2

这样的式子叫作完全平方式．你能将a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2

分解因式吗？思考利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式分解因式．把整式乘法的完全平方公式

(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2的等号两边互换，就得到a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，

a2－2ab＋b2＝(a－b)2．

两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．

下列式子能用完全平方公式进行因式分解的是（）．

A．a2＋4a＋4

B．a2－3a＋9

C．a2＋4a－4

D．

a2－4a－4问题

解析：选项A，a2＋4a＋4

＝(a＋2)2，符合题意；

选项B，C，D均无法运用完全平方公式分解因式，

故选A．A归纳

可套用完全平方公式的式子的特点（1）含有三部分；

（2）有两部分可以分别写成某个数（或式子）的平方，并且这两部分的符号相同；

（3）第三部分是这两个数（或式子）的乘积的2倍．

例1分解因式：（1）x2＋4x＋4

；（2）16x2－24x＋9．

分析：在（1）中，由于4＝22，4x＝2·x·2，所以x2＋4x＋4是一个完全平方式，即

x2＋4x＋4＝x2＋2·x·2＋22．a2＋2·a·b＋b2

在（2）中，由于16x2＝(4x)2，9＝32，

24x＝2·4x·3，所以16x2－24x＋9是一个完全平方式．

解：（1）x2＋4x＋4

＝x2＋2·x·2＋22

＝(x＋2)2；

例1分解因式：（1）x2＋4x＋4

；（2）16x2－24x＋9．（2）

16x2－24x＋9＝(4x)2－2·4x·3＋32＝(4x－3)2．

分析：在（1）中，将a＋b看作一个整体，设a＋b＝m，则原式化为完全平方式m2－12m

＋36

；

例2分解因式：（1）(a＋b)2－12(a＋b)

＋36

；（2）－x2＋4xy－4y2

．

对于（2），可通过添括号将原式写成－(x2－4xy＋4y2)

，括号内的式子为完全平方式．

解：（1）

(a＋b)2－12(a＋b)

＋36

＝(a＋b)2－2·(a＋b)·6＋62

＝(a＋b－6)2；

例2分解因式：（1）(a＋b)2－12(a＋b)

＋36

；（2）－x2＋4xy－4y2

．（2）

－x2＋4xy－4y2

＝－(x2－4xy＋4y2)＝－［x2－2·x·2y＋(2y)2]＝－(x－2y)2．归纳

可以看出，把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式．运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法．

例3分解因式：（1）x4－y4；（2）a3b－ab．

分析：在（1）中，x4－y4可以写成(x2)2－(y2)2的形式，可用公式法分解因式；

对于（2），a3b－ab的两项有公因式ab，可以先提出公因式，再进一步分解因式．

例3分解因式：（1）x4－y4；（2）a3b－ab．

解：（1）x4－y4

＝(x2＋y2)(x2－y2)＝(x2＋y2)(x＋y)(x－y)；（2）a3b－ab

＝ab(a2－1)

＝ab(a＋1)(a－1)．分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．归纳对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用提公因式法和公式法．

分析：（1）中需先提取公因式_____，再用________公式分解因式；（2）中x4＝_____，整理后满足_________公式，注意因式分解要彻底；（3）中需先提出公因式____，再用_________公式分解因式；（4）中需先将b－a变为________，再提出公因式______，最后用_______公式分解因式．

例4

把下列多项式进行因式分解：（1）4x3y－36xy3；（2）x4－2x2＋1；

（3）x3y＋2x2y2＋xy3；（4）9x2(a－b)＋y2(b－a)

．平方差完全平方完全平方平方差(x2)24xyxy－(a－b)a－b

解：（1）4x3y－36xy3＝4xy(x2－9y2)＝4xy(x＋3y)

(x－3y)．（2）x4－2x2＋1＝(x2－1)2＝［(x＋1)

(x－1)]

2＝(x＋1)

2(x－1)

2．

（3）x3y＋2x2y2＋xy3＝xy(x2＋2xy＋y2)＝xy(x＋y)

2．

（4）9x2(a－b)＋y2(b－a)

＝9x2(a－b)－y2(a－b)＝(a－b)(9x2－y2)

＝(a－b)(3x

＋y)

(3x

－y)．

例4

把下列多项式进行因式分解：（1）4x3y－36xy3；（2）x4－2x2＋1；

（3）x3y＋2x2y2＋xy3；（4）9x2(a－b)＋y2(b－a)

．归纳

因式分解的步骤

一“提”：看有无公因式，若有，则提取公因式；

二“套”：考虑是否可用公式法分解，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式；

三“检查”：检查分解因式是否彻底，若不彻底则继续分解．

例5求证：若n为正整数，则代数式(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1

的值一定是某个整数的平方．∵

n为正整数，

∴n2＋3n＋1为正整数，∴原代数式的值一定是某个整数的平方．

证明：(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1

＝(n2＋3n＋2)(n2＋3n)＋1＝(n2＋3n)2＋2(n2＋3n)＋1＝(n2＋3n＋1)2．

例6我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：

15×15＝225＝1×2×100＋25，

25×25＝625＝2×3×100＋25，

35×35＝1225＝3×4×100＋25，

……

你能写出一般的规律吗？你能用所学知识证明你的结论吗？