第1章 三角形期末复习（知识清单）（挖空版）数学苏科版 -苏科版(2024)八上

第一章三角形知识点1：三角形的三边关系及作用1.三角形的三边关系：文字语言： ．符号语言：2.三角形三边关系的作用：（1）判断三条已知线段能否组成三角形；（2）当已知两边时，可确定第三边的范围；（3）解决线段的最值问题．知识点2：三角形的边角关系1.同一个三角形中较 的边所对的角也比较 ，可以简称为“ ”；即：在中，，那么；2.同一个三角形中较 的角所对的边也比较 ，可以简称为“ ”；即：在中，，那么。知识点3：三角形的中线、高线、角平分线知识点4：全等三角形的性质和判定1.全等三角形的概念：能 的三角形叫做全等三角形。完全重合即 相同， 相等。2.全等三角形的性质：（下表图中AM,AM’为中线，AD,AD’为角平分线，AH,AH’为高）文字语言图形语言符号语言全等三角形的相等，对相等；全等三角形的相等，相等；全等三角形对应的、、都相等．3.全等三角形的判定方法文字语言图形语言符号语言简记有三边对应相等的两个三角形全等有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等4.常考的全等模型（1）平移全等模型，如下图：（2）翻折全等模型，如下图：（3）旋转全等模型，如下图：（4）一线三等角全等模型（5）三垂直全等模型，如图：知识点5：线段的垂直平分线1.线段的垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到 的距离相等。2.判定定理:到线段 距离相等的点在线段的垂直平分线上.知识点6：角平分线1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到 的距离相等。2.判定定理:到 距离相等的点在角的平分线上。知识点7：等腰三角形等腰三角形的定义文字语言：有 的三角形叫做等腰三角形。符号语言：AB=AC,则△ABC叫做等腰三角形等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的 。性质2：等腰三角形的 相等（简称： ）。 ∵AB=AC,∴∠B=∠C性质3：等腰三角形 平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的 、 、 重合．（简称： ）符号语言：（三种不同形式）形式①形式②形式③∵AB=AC,∠BAD=∠CAD∴BD=CD,AD⊥BC∵AB=AC,BD=CD∴∠BAD=∠CAD,AD⊥BC∵AB=AC,AD⊥BC∴BD=CD,∠BAD=∠CAD性质4：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是 ．3．等腰三角形的两个判定方法方法1：有 的三角形是等腰三角形（定义）。符号语言：∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形方法2：有 的三角形是等腰三角形。（简称：等角对等边）符号语言：∵∠B=∠C,∴△ABC是等腰三角形知识点8：等边三角形1．等边三角形的定义：都相等的三角形是等边三角形．AB=AC=BC,则△ABC叫做等边三角形2．等边三角形的性质：性质1：等边三角形的 。性质2：等边三角形的 ，且都等于 。性质3： 性质4：等边三角形是 ，对称轴是 ，有 对称轴．3．等边三角形的三个判定方法：方法1： 的三角形是等边三角形；方法2： 都相等的三角形是等边三角形；方法3：有一个角等于 的 三角形是等边三角形．知识点9：含30度角的直角三角形三角形在直角三角形中，30°角所对的直角边等于 的一半（如图）；符号语言：一、三角形的三边关系1.三角形的三边关系：错误：认为“判断三条线段能否构成三角形，只要有两条线段的和都大于第三条线段就可以”。注意：判断三条线段能否组成三角形，本来是应该判断三次，也就是任选两条线段的和都必须大于第三条线段才可以，所以需要判断三次，实际上我们只要选取较短的两条线段的和大于最大的就可以了，其他两种情况是必然成立的，不需要判断。2.三角形的边角关系错误：认为“大的边对的角也大，大的角对的边也大”注意：“大边对大角，大角对大边”这个结论成立有个前提条件——边和角都必须是同一个三角形中的。二、全等三角形的性质和判定错误：认为“边边角”可以判定两个三角形全等．注意：判定两个三角形全等只有“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”，没有“SSA”,之所以没有这个，是因为两个三角形如果满足“两条边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定是全等的”．如图所示：中，,但这两个三角形不全等。三、角平分线的性质定理错误：此性质定理的使用主要错误在于书写条件时漏掉“距离”，也就是垂直． 如下图所示：此处的主要错误是因为后面漏写注意：很多同学出现这种错误主要是因为对定理的理解不够，定理中“距离”是什么意思，如何在条件中体现来，点到线的距离就是“这个点到垂足之间线段的长度”．四、等腰三角形的“三线合一”错误：分不清“三线合一”到底是哪“三线”．注意：“三线合一”是等腰三角形特有的性质，一定要弄清是哪三线，“三线”指的是“顶角的平分线”、“底边上的中线”、“底边上的高线”，而且这个性质有三种不同的使用形式，详见上面的知识点7：等腰三角形的性质3.题型01三角形的三边关系1．下列每组数分别是三根小木棒的长度，它们首尾顺次相接能摆成三角形的是（

）A． B．C． D．2．已知三角形的周长是，则以下哪个长度不可能是该三角形的边长（

）A．4 B．5 C．6 D．73．现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（

）A．9 B．10 C．11 D．124．以三个连续的偶数为三角形的三条边长，构不成三角形的是（

）A．4，6，8 B．8，10，12 C．18，20，22 D．2，4，65．在中，厘米，那么的长度有可能是（

）A．8厘米 B．7.2厘米 C．6厘米 D．5.4厘米题型02三角形的边角关系1．综合实践课中，李老师带领同学们探究了这样的问题：【课本回顾】学习等腰三角形时，学习了定理：在一个三角形中，等边对等角．反之，等角对等边．【问题探究】（1）在一个三角形中，如果边不等，那么所对的角有什么关系呢？同学们猜测：大边对大角．如图1，中，，求证：．

经同学们的讨论，李欣同学提出可以利用对称思想解决．由此，以下三位同学给出了自己的解决方法：李欣张晶王皓思路与辅助线分析：作的平分线，交于D，在上截取，连接．分析：作的平分线，交于D，在的延长线上截取，连接．分析：作于D，在上截取，连接．图形

请你用上述同学的思路方法，完整写出其中一个证明．证明：【知识应用】（2）如果一个三角形最大边所对的角是锐角，那么这个三角形是（

）A．锐角三角形

B．钝角三角形

C．直角三角形

D．不能确定（3）在中，已知：，用“”连接、、应为；【问题拓展】（4）如果把“在一个三角形中，如果边大，那么边所对的角大”作定理．①写出这个定理的逆定理：；②证明这个逆定理（要求：画出图形，依照图形写出完整证明过程）．2．证明命题：“在任意三角形中，大边对大角．”请补全命题的证明：已知：如图，在中，．求证：______．证明：如图，由于，故在边上截取，连接BD．（在图中补全图形），______．（______）（填推理的依据）是的外角，．（______）（填推理的依据）．．，．．3．小李和小夏学习了等腰三角形后，知道了：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等，这时小李提出：不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎么样呢？大边所对的角也大吗？于是她们对这个问题进行了探究：她们在查阅资料后发现，早在古代的时候，前人在《几何原本》中就记载了“在任意三角形中，大边对大角”．经过思考，小李的探究思路是：如下图，在中，如果，将折叠，使边落在上，点落在上的点，折线交于点．利用上述结论，回答下面的问题．(1)小李的探究思路可以证明吗？如果能，请你根据题意补全图形，并证明；如果不能，请你说明理由．(2)根据以上证明的结论，回答下面问题：①在中，已知，请你直接写出，，有怎样的大小关系？②在中，已知，且，那么是_____（填锐角、钝角或直角）三角形．4．阅读与思考小明周末去图书馆学习，偶然间发现一本《几何原本》，阅读第一卷，就对其中的一个命题很感兴趣，于是将这段抄录在笔记本上，并完成了证明．下面是小明的笔记内容，请仔细阅读并完成相应任务．《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义，公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义，公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角”．下面是上述命题的证明．已知：如图1，在中，．求证：．证明：如图2，由于，故在边上截取，连接．，，（依据1）是的外角，，（依据2），．，，．任务：(1)填空：材料中的依据1是指：__________；依据2是指：__________．(2)如图3，在四边形中，，．请猜想和的关系，并证明你的结论．5．综合与实践：【回归教材】在八年级我们探究了三角形中边与角之间的不等关系，发现：在三角形中，大边对大角，大角对大边．小明的探究方法如下：如图1，在中，如果，作的角平分线交于点，在边上截取，连接，进而证明，则．这说明“在三角形中，大边对大角”．如图2，在中，如果，作垂直平分交于点，则，．这说明“在三角形中，大角对大边”．【尝试探究】（1）如图3，在中，为的角平分线交于点，试证明：；【进阶思考】（2）如图4，在中，分别为的角平分线，求证：；【拓展运用】题型03全等三角形的性质和判定1．作一个角等于已知角∠ABC，①以B为圆心作圆弧分别与BA，BC交于点，；②以O为圆心为半径作圆弧与射线OG交于点D；③以D为圆心为半径作圆弧与②中所作圆弧交于点E；④作射线OE，则∠DOE为所作的角；上述尺规作图中用到了下面（

）判定三角形全等．A．“SSS” B．“AAS” C．“SAS” D．“SSA”2．下列是胡老师带领学生，探究是否能判定两个三角形全等的过程，请帮助他们完成填空．如图：已知，在和中，，（

），（

），（

）则和满足两边及一边的对角分别相等，即满足“”（字母表示），很显然：_____，（填“全等于”或“不全等于”）下结论：_____（填“能”或“不能”）判定两个三角形全等．3．两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形一定不能全等吗？在学完全等三角形的判定后，我们知道判定两个三角形全等的方法有：、、、以及共五种，而、都不能判定两个三角形全等．那么符合“”条件的两个三角形一定不能全等吗？下面我们来进行一下探究．【提出问题】在与中，，，，判断与是否全等？【探究1】填空：如图，如果，那么与_______（填“一定”、“不一定”或“一定不”）全等，理由是：_______．【探究2】如图，如果，那么与是否一定全等？如果全等，请证明；如果不全等，请画出反例．【探究3】如图，已知，①如果，那么这时与不一定全等，请利用尺规及图中给定的长度为4的线段，在图中直接画出满足条件且两个不全等的三角形；（不写作图过程，保留作图痕迹）②填空：在①的条件下，改变、的长度，设，如果与一定全等，那么t的取值范围是_______．4．学完“探索三角形全等的条件”后，小轩同学对“”的探究很感兴趣，他查阅资料，发现“等边对等角”的知识（例如在中，如果，那么），这让小轩想到：在与中，如果，，，虽然不能直接判定，但与的数量关系是可以确定的．(1)请你通过特殊化策略，猜想并填空：①当时，与的数量关系是______；②当时，与的数量关系是________．(2)请直接运用上述知识及猜想，解决以下问题：如图，已知与是两个大小不一样的等边三角形，连接交于点G，连接交于点H，且，请判定B，C，D三点是否在同一条直线上？并说明理由．(3)已知，点D与点E分别在两边与上，延长至点G，使得，连接．过D，E的直线交于点F，且．根据上述信息作草图（不要求准确）并证明：．5．【教材呈现】如图为人教版八年级上册数学教材第页的部分内容．思考：如图，把一长一短的两根木板的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木板，得到，这个实验说明了什么？(1)【应用发现】小明通过以上思考得到结论：有两边和其中一边的对角分别相等（即“”对应相等）的两个三角形不一定全等．同时他受此启发，展开了以下探究：如图1，如果和中，，，．则可证．证明：在上取一点，使．，①______．又而．②______．，③______．又．（AAS）．．小红提出：如图2，若在的延长线上取一点，使，也可证得结论．请补全小明证明中①②③④所缺的内容．总结发现：两个三角形中，当一角和它所对的边对应相等，另一组对应角互补时，此时这两个三角形不全等，但可通过“割大或补小”构造全等三角形．(2)【拓展探究】为等腰三角形，，点在的延长线上，点在线段上，连接交于点．①如图3，若，求证：点为的中点；（说明：用一种解题思路解答正确即得5分，用两种思路解答全