南昌市重点中学2026届数学高三上期末复习检测试题含解析

南昌市重点中学2026届数学高三上期末复习检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．要得到函数的图像，只需把函数的图像（）A．向左平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位2．已知函数f(x)=xex2+axeA．1 B．-1 C．a D．-a3．已知函数，则下列结论中正确的是①函数的最小正周期为；②函数的图象是轴对称图形；③函数的极大值为；④函数的最小值为．A．①③ B．②④C．②③ D．②③④4．已知实数集，集合，集合，则（）A． B． C． D．5．若函数在处有极值，则在区间上的最大值为（）A． B．2 C．1 D．36．将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（）A． B． C． D．7．“”是“函数的图象关于直线对称”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为cm，高度为cm，现往里面装直径为cm的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（）（附：）A．个 B．个 C．个 D．个9．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.若，的面积为，则（）A．5 B． C．4 D．1610．设a，b，c为正数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不修要条件11．已知，，，则（）A． B．C． D．12．函数的大致图象是A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．将函数的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数图象，则________．14．若函数(R，)满足，且的最小值等于，则ω的值为___________.15．在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：x2＋（y－1）2＝r2（r>0）上存在点P，且点P关于直线x－y＝0的对称点Q在圆C2：（x－2）2＋（y－1）2＝1上，则r的取值范围是________．16．为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量与时间的函数关系为（如图所示），实验表明，当药物释放量对人体无害.（1）______；（2）为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过______分钟人方可进入房间.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的正整数存在，求的值；若不存在，说明理由.设正数等比数列的前项和为，是等差数列，__________，，，，是否存在正整数，使得成立？18．（12分）已知数列中，，前项和为，若对任意的，均有（是常数，且）成立，则称数列为“数列”.（1）若数列为“数列”，求数列的前项和；（2）若数列为“数列”，且为整数，试问：是否存在数列，使得对任意，成立？如果存在，求出这样数列的的所有可能值，如果不存在，请说明理由.19．（12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，点、分别为，的中点，且平面平面.（1）求证：平面.（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.20．（12分）已知，.（1）解；（2）若，证明：.21．（12分）已知，函数.（Ⅰ）若在区间上单调递增，求的值；（Ⅱ）若恒成立，求的最大值.（参考数据：）22．（10分）如图，在直三棱柱中，，点P，Q分别为，的中点.求证：（1）PQ平面；（2）平面.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得以及,按四个选项分别对变形，整理后与对比，从而可选出正确答案.【详解】解：.对于A：可得.故选:A.【点睛】本题考查了三角函数图像平移变换，考查了辅助角公式.本题的易错点有两个，一个是混淆了已知函数和目标函数;二是在平移时，忘记乘了自变量前的系数.2、A【解析】

令xex=t，构造g(x)=xex，要使函数f(x)=xex2+axex-a有三个不同的零点x1,x2,【详解】令xex=t，构造g(x)=xex，求导得g'(x)=故g(x)在-∞,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，且x<0时，g(x)<0，x>0时，g(x)>0，g(x)max=g(1)=1e，可画出函数g(x)的图象（见下图），要使函数f(x)=xex2+axex-a有三个不同的零点x1,x若a>0，即t1+t2=-a<0t1故1-x若a<-4，即t1+t2=-a>4t1故选A.【点睛】解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.3、D【解析】

因为，所以①不正确；因为，所以，，所以，所以函数的图象是轴对称图形，②正确；易知函数的最小正周期为，因为函数的图象关于直线对称，所以只需研究函数在上的极大值与最小值即可．当时，，且，令，得，可知函数在处取得极大值为，③正确；因为，所以，所以函数的最小值为，④正确．故选D．4、A【解析】

可得集合,求出补集,再求出即可.【详解】由,得,即,所以,所以.故选:A【点睛】本题考查了集合的补集和交集的混合运算,属于基础题.5、B【解析】

根据极值点处的导数为零先求出的值，然后再按照求函数在连续的闭区间上最值的求法计算即可.【详解】解：由已知得，，，经检验满足题意.，.由得；由得或.所以函数在上递增，在上递减，在上递增.则，，由于，所以在区间上的最大值为2.故选：B.【点睛】本题考查了导数极值的性质以及利用导数求函数在连续的闭区间上的最值问题的基本思路，属于中档题．6、D【解析】

先化简函数解析式,再根据函数的图象变换规律,可得所求函数的解析式为,再由正弦函数的对称性得解.【详解】,

将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,所得函数的解析式为,

再向右平移个单位长度,所得函数的解析式为,，可得函数图象的一个对称中心为，故选D.【点睛】三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．7、A【解析】

先求解函数的图象关于直线对称的等价条件，得到，分析即得解.【详解】若函数的图象关于直线对称，则，解得，故“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件．故选：A【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，考查了学生逻辑推理，概念理解，数学运算的能力，属于基础题.8、C【解析】

计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为cm，得到最上层球面上的点距离桶底最远为cm，得到不等式，计算得到答案.【详解】由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切，这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为cm的正面体，易求正四面体相对棱的距离为cm，每装两个球称为“一层”，这样装层球，则最上层球面上的点距离桶底最远为cm，若想要盖上盖子，则需要满足，解得，所以最多可以装层球，即最多可以装个球．故选：【点睛】本题考查了圆柱和球的综合问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.9、C【解析】

根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得,再根据面积公式可求得,再代入余弦定理求解即可.【详解】中,,由正弦定理得,又,∴,又,∴,∴,又,∴.∵,∴,∵,∴由余弦定理可得,∴,可得.故选：C【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.10、B【解析】

根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：，，为正数，当，，时，满足，但不成立，即充分性不成立，若，则，即，即，即，成立，即必要性成立，则“”是“”的必要不充分条件，故选：．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键．11、C【解析】

利用二倍角公式,和同角三角函数的商数关系式,化简可得,即可求得结果.【详解】，所以，即.故选:C.【点睛】本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数,难度较易.12、A【解析】

利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.【详解】由题意可知函数为奇函数，可排除B选项；当时，，可排除D选项；当时，，当时，，即，可排除C选项，故选：A【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据平移后关于轴对称可知关于对称，进而利用特殊值构造方程，从而求得结果.【详解】向左平移个单位长度后得到偶函数图象，即关于轴对称关于对称即：本题正确结果：【点睛】本题考查根据三角函数的对称轴求解参数值的问题，关键是能够通过平移后的对称轴得到原函数的对称轴，进而利用特殊值的方式来进行求解.14、1【解析】

利用辅助角公式化简可得,由题可分析的最小值等于表示相邻的一个对称中心与一个对称轴的距离为,进而求解即可.【详解】由题,,因为,,且的最小值等于,即相邻的一个对称中心与一个对称轴的距离为,所以,即,所以,故答案为:1【点睛】本题考查正弦型函数的对称性的应用,考查三角函数的化简.15、【解析】

设圆C1上存在点P（x0，y0），则Q（y0，x0），分别满足两个圆的方程，列出方程组，转化成两个新圆有公共点求参数范围.【详解】设圆C1上存在点P（x0，y0）满足题意，点P关于直线x－y＝0的对称点Q（y0，x0），则，故只需圆x2＋（y－1）2＝r2与圆（x－1）2＋（y－2）2＝1有交点即可，所以|r－1|≤≤r＋1，解得.故答案为：【点睛】此题考查圆与圆的位置关系，其中涉及点关于直线对称点问题，两个圆有公共点的判定方式.16、240【解析】

（1）由时，，即可得出的值；（2）解不等式组，即可得出答案.【详解】（1）由图可知，当时，，即（2）由题意可得，解得则为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过分钟人方可进入房间.故答案为：（1）2；（2）40【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、见解析【解析】

根据等差数列性质及、，可求得等差数列的通项公式，由即可求得的值；根据等式，变形可得，分别讨论取①②③中的一个，结合等比数列通项公式代入化简，检验是否存在正整数的值即可.【详解】∵在等差数列中，，∴，∴公差，∴，∴，若存在正整数，使得成立，即成立，设正数等比数列的公比为的公比为，若选①，∵，∴，∴，∴，∴当时，满足成立.若选②，∵，∴，∴，∴，∴方程无正整数解，∴不存在正整数使得成立.若选③，∵，∴，∴，∴，∴解得或（舍去），∴，∴当时，满足成立.【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求法，等比数列通项公式及前n项和公式的应用，递推公式的简单应用，补充条件后求参数的值，属于中档题.18、（1）（2）存在，【解析】

由数列为“数列”可得,，，两式相减得，又，利用等比数列通项公式即可求出,进而求出;由题意得，，，两式相减得，，据此可得,当时,,进而可得,即数列为常数列,进而可得,结合，得到关于的不等式,再由时，且为整数即可求出符合题意的的所有值.【详解】因为数列为“数列”，所以，故，两式相减得，在中令，则可得，故所以，所以数列是以为首项,以为公比的等比数列，所以，因为，所以.（2）由题意得，故，两式相减得所以，当时，又因为所以当时,所以成立,所以当时，数列是常数列，所以因为当时,成立,所以，所以在中令，因为，所以可得，所以，由时，且为整数，可得,把分别代入不等式可得,，所以存在数列符合题意,的所有值为.【点睛】本题考查数列的新定义、等比数列的通项公式和数列递推公式的运用;考查运算求解能力、逻辑推理能力和对新定义的理解能力;通过反复利用递推公式,得到数列为常数列是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.19、（1）见解析（2）【解析】

（1）首先可得，再面面垂直的性质可得平面，即可得到，再由，即可得到线面垂直；（2）过点做平面的垂线，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角；【详解】解：（1）∵，点为的中点，∴，又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴，又∵，分别为，的中点，∴，∴，又平面，平面，，∴平面.（2）过点做平面的垂线，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，∵，∴，，，，∴，，，设平面的法向量为，由，得，令，得，∴，∴直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的判定，面面垂直的性质定理的应用，利用空间向量法求线面角，属于中档题.20、（1）；（2）见解析.【解析】

（1）在不等式两边平方化简转化为二次不等式，解此二次不等式即可得出结果；（2）利用绝对值三角不等式可证得成立.【详解】（1），，由得，不等式两边平方得，即，解得或