2023-2024学年广州市各区高一上学期数学期末试题汇编《三角函数》含答案

高中2023~2024学年广东省广州市各区高一上学期数学期末试题汇编：三角函数解答题（原卷版）公式应用与化简求值1.（2024年广东省广州市番禺区）在中，，，求、与的值.2.（2024年广东省广州市黄埔区某校）已知．（1）求的值；（2）求的值．3.（2024年广东省广州市花都区某校）如图，角的终边与单位圆交于点，且.（1）求；（2）求.4.（2024年广东省广州市九区）若角的终边经过点，且.（1）求；（2）求的值.5.（2024年广东省广州市三校）已知，（1）化简，并求.（2）若，求的值.6.（2024年广东省广州市海珠区某校）已知θ是第二象限角，，求：（1）；（2）.7.（2024年广东省广州市天河区）已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点．（1）若，求的值：（2）若，求的值．8.（2024年广东省广州市荔湾区某校）已知，，其中，（1）求角；（2）求．二、三角函数图像性质1.（2024年广东省广州市黄埔区某校）设函数．（1）若对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（2）若关于x的方程在有实数解，求实数a的取值范围．2.（2024年广东省广州市九区）已知函数，.（1）求函数的单调递增区间；（2）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围.（3）若函数有且仅有3个零点，求所有零点之和.3.（2024年广东省广州市三校）已知，函数的最小正周期为.（1）求函数的单调递增区间；（2）若，，求的值.4.（2024年广东省广州市番禺区）已知函数其中，，函数最小正周期为；从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求：（1）的单调递增区间；（2）在区间的最大值和最小值.条件①：函数图象关于点对称；条件②：函数图象关于对称.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.5.（2024年广东省广州市海珠区某校）已知函数图象的一条对称轴方程为，且其图象上相邻两个零点的距离为.（1）求的解析式；（2）若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围.6.（2024年广东省广州市越秀区）已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）若，求的值．7.（2024年广东省广州市海珠区某校）已知函数（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）若函数在上有两个不同的零点、，求实数的取值范围，并计算的值．8.（2024年广东省广州市黄埔区某校）设函数．（1）在给定的平面直角坐标系中，用“五点法”画出函数在区间上的简图（请先列表，再描点连线）；（2）若，求的值．9.（2024年广东省广州市天河区）已知函数．（1）求函数的最小正周期以及单调递减区间；（2）设函数，求函数在上的最大值、最小值．10.（2024年广东省广州市越秀区）已知函数．（1）求函数的单调递减区间；（2）把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在区间上的最小值．11.（2024年广东省广州市花都区某校）已知函数，其中，若实数满足时，的最小值为.（1）求的值及的单调递减区间；（2）若不等式对任意时恒成立，求实数应满足的条件；三、其他1.（2024年广东省广州市荔湾区某校）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在，使成立，则称该函数为“圆满函数”.已知函数；（1）判断函数是否为“圆满函数”，并说明理由；（2）设，证明：有且只有一个零点，且.2.（2024年广东省广州市三校）如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数，的图像，图象的最高点为.边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且.游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧.（1）求曲线段FGBC的函数表达式和半径OD的长度；（2）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时的值.

2023~2024学年广东省广州市各区高一上学期数学期末试题汇编：三角函数解答题（解析版）公式应用与化简求值1.（2024年广东省广州市番禺区）在中，，，求、与的值.【答案】,,【解析】【分析】根据同角三角函数基本关系求出，再由诱导公式及两角和的正余弦公式求出、，由同角三角函数基本关系求.【详解】中，由可得，由，可知，所以，所以所以.2.（2024年广东省广州市黄埔区某校）已知．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意，结合同角三角函数的关系，借助平方差，平方和公式计算即可;（2）由（1）问，将的分母展开代入即可.【小问1详解】，解得：，，解得：，，，，．【小问2详解】由（1）知，，.3.（2024年广东省广州市花都区某校）如图，角的终边与单位圆交于点，且.（1）求；（2）求.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义，平方关系以及点的位置可求出，再由商数关系即可求出；（2）利用诱导公式即可求出．【小问1详解】由三角函数定义知,所以,因为,所以,所以.【小问2详解】原式.4.（2024年广东省广州市九区）若角的终边经过点，且.（1）求；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义直接求解即可；（2）利用诱导公式化简，然后求值即可.【小问1详解】角的终边经过点，，；【小问2详解】由（1）知角的终边经过点，，，.5.（2024年广东省广州市三校）已知，（1）化简，并求.（2）若，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用三角函数诱导公式将化简，将代入求值即可；（2）利用将变形为，继而变形为，代入求值即可.【小问1详解】，则【小问2详解】由（1）知，．则6.（2024年广东省广州市海珠区某校）已知θ是第二象限角，，求：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，求得，结合三角函数的基本关系式，即可求解；（2）由（1）知，根据三角函数的基本关系式和诱导公式，化简为齐次式，即可求解.【详解】（1）由题意，角是第二象限角，且，可得，可得，所以，所以，因为是第二象限角，可得.（2）由（1）知，又由.7.（2024年广东省广州市天河区）已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点．（1）若，求的值：（2）若，求的值．【答案】19.20.【解析】【分析】（1）根据条件，先求出，的值，再用诱导公式化简，代入求值；（2）利用求值.【小问1详解】因角为第二象限角，为其终边和单位圆交点，且，所以，.由诱导公式得：原式.【小问2详解】因为角为第二象限角，且，所以为第一象限角，且.所以.即.8.（2024年广东省广州市荔湾区某校）已知，，其中，（1）求角；（2）求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据，然后利用两角差的余弦代入即可.（2）根据，利用倍角公式算出，代入即可求解.【小问1详解】解：由题意得：又【小问2详解】，二、三角函数图像性质1.（2024年广东省广州市黄埔区某校）设函数．（1）若对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（2）若关于x的方程在有实数解，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）令，可得，转化为任意，恒成立，结合二次函数的性质，求得函数的最大值和最小值，列出不等式组，即可求解；（2）根据题意，转化为在上有实数解，结合二次函数的性质，求得函数的最大值与最小值，列出不等式，即可求解.【小问1详解】解：由函数，令，可得，因为对一切实数恒成立，即对任意的，恒成立，又由函数的图像开口向上，对称轴为，当时，；当时，，则，解得，所以实数a的取值范围.【小问2详解】解：由，令，要使得方程关于x的方程在有实数解，即在上有实数解，即在上有实数解，令，由，可当在上单调递减，在单调递增，当时，，当或时，，则，解得，即实数的取值范围为.2.（2024年广东省广州市九区）已知函数，.（1）求函数的单调递增区间；（2）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围.（3）若函数有且仅有3个零点，求所有零点之和.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据正弦函数的单调增区间即可得出答案；（2）由题可知在区间内有两个相异的实根，即图像与的图像有两个不同的交点结合图像可得结果.（3）关于成中心对称，而关于成中心对称，设三个零点为，则，即可得出答案.【小问1详解】由，得.故函数的单调递增区间为：【小问2详解】若函数在区间上有两个零点，令，即与在区间上有两个交点，令，由，则，即与在区间上有两个交点，画出与在区间上的图象，如下：由图可知：.【小问3详解】函数有且仅有3个零点，因为关于成中心对称，而关于成中心对称，设三个零点为，则，所以所有零点之和.3.（2024年广东省广州市三校）已知，函数的最小正周期为.（1）求函数的单调递增区间；（2）若，，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）化简的解析式，先求得，然后利用整体代入法求得的单调递增区间；（2）利用同角三角函数的基本关系式、两角和的余弦公式求得正确答案.【小问1详解】.因为的最小正周期为，所以，即.所以,由，，可得，.所以函数的单调递增区间为，.【小问2详解】由（1）知，所以，所以,又，所以，所以.所以.4.（2024年广东省广州市番禺区）已知函数其中，，函数最小正周期为；从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求：（1）的单调递增区间；（2）在区间的最大值和最小值.条件①：函数图象关于点对称；条件②：函数图象关于对称.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）（2）,【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式，结合正弦型函数的对称轴与对称中心，建立方程，可得函数解析式，再由正弦型函数的单调性求解；（2）根据自变量取值范围，利用整体思想，转化为正弦函数值域问题求解即可.【小问1详解】若选①：因为函数的最小正周期为，所以，解得，因为的图象关于点对称，所以，解得，由，则，故.若选②：因为函数的最小正周期为，所以，解得，因为的图象关于直线对称，所以，则，由，则，故.综上，不论选择①还是②，都有，令，解得，，故函数的单调增区间为【小问2详解】当时，，所以，即当时，，时，.5.（2024年广东省广州市海珠区某校）已知函数图象的一条对称轴方程为，且其图象上相邻两个零点的距离为.（1）求的解析式；（2）若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可得周期为，则可求出的值，再由一条对称轴方程为，可得，可求出的值，从而可求得解析式，（2）由题意得对恒成立，所以利用三角函数的性质求出即可，从而可求出实数m的取值范围【小问1详解】因为图象上相邻两个零点的距离为，所以周期为，所以，得，所以，因为图象的一条对称轴方程为，所以，即，所以，因为，所以，所以【小问2详解】由（1）得对恒成立，因为，所以，所以，则，所以，解得，所以实数m的取值范围为6.（2024年广东省广州市越秀区）已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由辅助角公式化简后结合正弦型函数的性质即可得；（2）由题意结合象限可得、，借助二倍角公式即可得的值.【小问1详解】，则，即函数的最小正周期为；【小问2详解】，故，又，故，.7.（2024年广东省广州市海珠区某校）已知函数（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）若函数在上有两个不同的零点、，求实数的取值范围，并计算的值．【答案】（1），递增区间为；（2）实数的取值范围是，.【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换公式化简，利用正弦函数的周期公式和正弦函数的递增区间可求得结果；（2）转化为函数与函数的图象在上有两个不同的交点，作出图象，根据图象可得的范围，根据对称性可得，进而可求出其正切值.【详解】（1）.所以的周期.由，得．所以函数的单调递增区间为．（2）函数在上有两个不同的零点、，等价于函数与函数的图象在上有两个不同的交点，交点的横坐标分别为，画出函数在上的图象，如图所示，由图象可知，当且仅当时，函数与函数的图象在上有两个不同的交点，交点的横坐标分别为，且，故.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.8.（2024年广东省广州市黄埔区某校）设函数．（1）在给定的平面直角坐标系中，用“五点法”画出函数在区间上的简图（请先列表，再描点连线）；（2）若，求的值．【答案】19.图象见解析；20..【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简求出，利用“五点”作图法列表作图即可；（2）通过得到，并借助诱导公式化简计算即可.【小问1详解】结合题意可得：，列表如下：1001区间内的图象如图所示：【小问2详解】由（1）问可得：，，即，，即.9.（2024年广东省广州市天河区）已知函数．（1）求函数的最小正周期以及单调递减区间；（2）设函数，求函数在上的最大值、最小值．【答案】（1）;（2）最大值为，最小值为.【解析】【分析】（1）将函数化为，结合三角函数的图象与性质即可得出所求；（2）利用三角恒等变换将化为，采用换元法及二次函数的图象与性质即可得出所求.【小问1详解】因为函数，所以，最小正周期为,当时，即时，为减函数，则的单调递减区间为【小问2详解】因为函数，令，则，因为在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以在上的最大值为5，最小值为.10.（2024年广东省广州市越秀区）已知函数．（1）求函数的单调递减区间；（2）把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在区间上的最小值．【答案】20.21.【解析】【分析】（1）借助三角恒等变换公式将化简为正弦型函数后结合正弦型函数的单调性计算即可得；（2）平移后得到的解析式，结合正弦型函数的性质计算即可得.【小问1详解】，令，则，故函数的单调递减区间为；【小问2详解】将函数的图象向左平移个单位长度，则，当时，，则当时，即时，有最小值，且最小值为.即在区间上的最小值为.11.（2024年广东省广州市花都区某校）已知函数，其中，若实数满足时，的最小值为.（1）求的值及的单调递减区间；（2）若不等式对任意时恒成立，求实数应满足的条件；【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）化简，结合最小正周期求得，得到，结合三角函数的性质，即可求解函数的单调递减区间；（2）化简，令，得到，结合函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：由题意，函数，因为的最小值为，所以的最小正周期，解得，所以，由，解得，所以的单调递减区间为.【小问2详解】解：由，因为，可得令，则，所以，，即，即令，可得，又由函数在为递减函数，所以，所以，解得，即实数的取值范围是.三、其他1.（2024年广东省广州市荔湾区某校）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在，使成立，则称该函数为“圆满函数”.已知函数；（1）判断函数是否为“圆满函数”，并说明理由；（2）设，证明：有且只有一个零点，且.【答案】（1）不是“圆满函数”，理由见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）取特殊值，代入“圆满函数”的定义，判断是否有实数能满足；（2）当时，利用零点